ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 531
Скачиваний: 1
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ õîðîøî èçâåñòíûì íàì ãðà-
ôèêîì ôóíêöèè
y
=
x
2
è ïðîèçâåäåì åãî ëèíåéíîå
ïðåîáðàçîâàíèå.
Ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì èñõîäíóþ ôóíêöèþ, à èìåííî:
âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé
x
.
Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà âûíåñåì èç ïåðâûõ äâóõ ñëàãàåìûõ
ìíîæèòåëü, ñòîÿùèé ïåðåä
x
2
çà ñêîáêó:
y
= 3
x
2
−
4
x
+ 5 = 3
µ
x
2
−
4
3
·
x
¶
+ 5
,
à çàòåì â ñêîáêàõ ñêîíñòðóèðóåì âûðàæåíèå, êîòîðîå
äàñò íàì ôîðìóëó ïîëíîãî êâàäðàòà
(
x
±
a
)
2
=
x
2
±
2
xa
+
a
2
, ïðè ýòîì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîñòåéøèå
ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè:
a
=
a
+
b
−
b
(¾ïðèáàâèòü è
îòíÿòü¿) è
a
=
a
·
b
b
,
ãäå
b
6
= 0
(¾óìíîæèòü è ðàçäåëèòü¿)
y
= 3
µ
x
2
−
2
·
4
2
·
3
·
x
¶
+ 5 =
= 3
Ã
x
2
−
2
·
2
3
·
x
+
µ
2
3
¶
2
−
µ
2
3
¶
2
!
+ 5 =
ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ â ñêîáêàõ äàäóò íàì ïîëíûé
êâàäðàò:
= 3
"µ
x
−
2
3
¶
2
−
µ
2
3
¶
2
#
+ 5 =
ðàñêðîåì òåïåðü êâàäðàòíûå ñêîáêè:
= 3
µ
x
−
2
3
¶
2
−
3
·
4
9
+ 5 = 3
µ
x
−
2
3
¶
2
+
11
3
.
Òàêèì îáðàçîì, íàøà ôóíêöèÿ ïðèíÿëà âèä:
y
= 3
x
2
−
4
x
+ 5 = 3
µ
x
−
2
3
¶
2
+
11
3
.
26
Òåïåðü ìû ãîòîâû ïåðåéòè ê ïîñòðîåíèþ ãðàôèêà
ôóíêöèè.
2
x
y
=
2
3x
y
=
3
11
3
2
2
)
3(x
y
-
+
=
3
11
3
2
x
y
Ðèñ. 24
1) Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
y
=
x
2
è ðàñòÿíåì åãî
âäîëü îñè
Oy
â òðè ðàçà, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíê-
öèè
y
= 3
x
2
.
2) Ñäâèíåì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3
x
2
íà
2
3
åäèíèö
âïðàâî âäîëü îñè
Ox
, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3
¡
x
−
2
3
¢
2
.
3) Cäâèíåì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3
¡
x
−
2
3
¢
2
íà
11
3
åäèíèö ââåðõ âäîëü îñè
Oy
, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíê-
öèè
y
= 3
¡
x
−
2
3
¢
2
+
11
3
(ñì. ðèñ. 24).
Ïðèìåð 10
Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3 sin(2
x
−
3
π
4
)
.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè
y
= sin
x
è
ïðîèçâåäåì åãî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå.
27
1) Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= sin
x
è ñîæìåì åãî
âäîëü îñè
Ox
â äâà ðàçà, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= sin 2
x
.
1
π
π
-
2
π
2
π
-
1
-
π
2
-
x
sin
y
=
2x
sin
y
=
y
x
Ðèñ. 25
2) Ñäâèíåì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= sin 2
x
íà
3
π
8
åäèíèö
âïðàâî âäîëü îñè
Ox
, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= sin 2
µ
x
−
3
π
8
¶
= sin
µ
2
x
−
3
π
4
¶
.
3) Ðàñòÿíåì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= sin
¡
2
x
−
3
π
4
¢
âäîëü îñè
Oy
â òðè ðàçà, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
y
= 3 sin
¡
2
x
−
3
π
4
¢
(ñì. ðèñ. 26).
x
2
sin
y
=
)
(2x
3sin
y
4
3π
-
=
3
3
-
1
8
3π
8
3π
-
8
5π
8
7π
-
8
11π
-
π
π
2
-
8
π
8
13π
)
(2x
sin
y
4
3π
-
=
y
π
2
x
Ðèñ. 26
28
Óïðàæíåíèå 4
Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé:
1.
y
=
|
x
+ 2
|
;
2.
y
=
|
x
+ 1
|
+ 2;
3.
y
=
−|
x
−
3
| −
4;
4.
y
= 2
|
x
−
1
|
+ 1;
5.
y
= 2
x
2
−
3
x
+ 1;
6.
y
=
−
3
x
2
+ 8
x
+ 3;
7.
y
=
x
2
+ 5
x
−
1;
8.
y
=
−
x
2
+ 4
x
+ 5;
9.
y
= 2 cos
x
+ 1;
10.
y
=
−
log
2
(
x
+ 2);
11.
y
= 2 sin(
x
−
π/
4);
12.
y
=
1
2
+
1
π
arctg
x.
Ïîñòðîèòü ãðàôèêè äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé, âûäå-
ëèâ èç äðîáè öåëóþ ÷àñòü:
13.
y
=
1
−
x
1 +
x
;
14.
y
=
3
x
+ 2
2
x
−
3
.
Öåëîé ÷àñòüþ ÷èñëà
x
íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå
÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå äàííîå. Îáîçíà÷àåòñÿ:
[
x
]
öåëàÿ
÷àñòü ÷èñëà
x
.
Íàïðèìåð,
[2
,
14] = 2
, à
[
−
2
,
31] =
−
3
.
Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà
x
íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó
÷èñëîì
x
è åãî öåëîé ÷àñòüþ. Îáîçíà÷àåòñÿ:
{
x
}
äðîáíàÿ
÷àñòü ÷èñëà
x
.
Íàïðèìåð,
{
3
,
15
}
= 3
,
15
−
[3
,
15] = 3
,
15
−
3 = 0
,
15;
{−
2
,
6
}
=
−
2
,
6
−
[
−
2
,
6] =
−
2
,
6 + 3 = 0
,
4
.
Ôóíêöèÿ signum (çíàê ÷èñëà) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
sign
x
=
1
,
x >
0;
0
,
x
= 0;
−
1
,
x <
0
.
Óïðàæíåíèå 5
Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé:
29
1.
y
= [
x
]
;
2.
y
= [
x
−
2]
;
3.
y
= [
x
] + 1
.
4.
y
=
{
x
}
;
5.
y
=
{
x
} −
1;
6.
y
=
{
x
}
+ 2;
7.
y
= sign
x
;
8.
y
= sign(
x
+ 3)
.
6. Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ãðàôèêîâ
1. Ñëîæåíèå ãðàôèêîâ
Ïóñòü äàíû ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
è
y
=
g
(
x
)
. Òîãäà íà
îáùåé ÷àñòè èõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü çà-
äàíà ôóíêöèÿ
y
=
f
(
x
) +
g
(
x
)
. Ïóñòü òî÷êà
M
(
x
0
, y
1
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, à òî÷êà
M
(
x
0
, y
2
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
g
(
x
)
.
Òîãäà òî÷êà
M
(
x
0
, y
1
+
y
2
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíê-
öèè
y
=
f
(
x
) +
g
(
x
)
. Çíà÷èò, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà
ôóíêöèè
y
=
f
(
x
) +
g
(
x
)
íàäî:
à) îñòàâèòü òå òî÷êè ãðàôèêîâ
y
=
f
(
x
)
è
y
=
g
(
x
)
, ó
êîòîðûõ
x
âõîäèò â îáùóþ ÷àñòü îáëàñòåé îïðåäåëå-
íèÿ ýòèõ ôóíêöèé;
á) äëÿ êàæäîãî òàêîãî
x
ïðîèçâåñòè àëãåáðàè÷åñêîå
ñëîæåíèå îðäèíàò ( ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííîìó
x
) ýòèõ
äâóõ ãðàôèêîâ.
2. Óìíîæåíèå ãðàôèêîâ
Ïóñòü äàíû ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
è
y
=
g
(
x
)
. Òîãäà íà
îáùåé ÷àñòè èõ îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü çà-
äàíà ôóíêöèÿ
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
. Ïóñòü òî÷êà
M
(
x
0
, y
1
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
, à òî÷êà
M
(
x
0
, y
2
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè
y
=
g
(
x
)
.
Òîãäà òî÷êà
M
(
x
0
, y
1
y
2
)
ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíê-
öèè
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
. Çíà÷èò, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà
ôóíêöèè
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
íàäî:
à) îñòàâèòü òå òî÷êè ãðàôèêîâ
y
=
f
(
x
)
è
y
=
g
(
x
)
, ó
30