ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 530
Скачиваний: 1
êîòîðûõ
x
âõîäèò â îáùóþ ÷àñòü îáëàñòåé îïðåäåëå-
íèÿ ýòèõ ôóíêöèé;
á) äëÿ êàæäîãî òàêîãî
x
ïðîèçâåñòè óìíîæåíèå îðäè-
íàò ( ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííîìó
x
) ýòèõ äâóõ ãðàôè-
êîâ.
Óïðàæíåíèå 6
Ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé, èñïîëüçóÿ, ñîîòâåòñòâåííî,
ñëîæåíèå èëè óìíîæåíèå èçâåñòíûõ ãðàôèêîâ ôóíêöèé:
1.
y
=
x
+ sin
x
;
2.
y
=
x
+ arctg
x
;
3.
y
=
x
sin
x
;
4.
y
=
x
cos
x.
7. Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè
Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
N
=
{
1
,
2
,
3
, . . .
}
îáëàäàåò
îäíèì î÷åíü âàæíûì ñâîéñòâîì, êîòîðîå îòëè÷àåò åãî îò
âñåõ äðóãèõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:
Òåîðåìà 1. Ïóñòü
A
ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà
N
âñåõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì
ñâîéñòâàì:
1.
1
∈
A
;
2. åñëè
n
∈
A,
òî
(
n
+ 1)
∈
A.
Òîãäà
A
=
N
.
Íà õàðàêòåðèñòè÷åñêîì ñâîéñòâå ìíîæåñòâà íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë îñíîâàí òàê íàçûâàåìûé ìåòîä ìàòåìàòè-
÷åñêîé èíäóêöèè, êîòîðûé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
31
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
A
ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
óäîâëåòâîðÿþùèõ íåêîòîðîìó ñâîéñòâó
P
, ñôîðìóëèðî-
âàííîìó äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. (Ñâîéñòâî
P
ìî-
æåò áûòü ðàâåíñòâîì, íåðàâåíñòâîì èëè êàêèì-íèáóäü
äðóãèì ñâîéñòâîì.) Ïðîâåðèì, ÷òî ÷èñëî
n
= 1
∈
A,
ò. å.
ïðè
n
= 1
ñâîéñòâî
P
âûïîëíåíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñ-
ëî
k
∈
A,
ò. å. ïðè
n
=
k
ñâîéñòâî
P
âûïîëíåíî. Èñõîäÿ
èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, äîêàæåì, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ
äëÿ
n
=
k
+ 1
.
Òîãäà èç òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî
A
=
N,
ò. å. ñâîéñòâî
P
âûïîëíåíî äëÿ âñåõ
n
∈
N.
Ïðèìåð 11
Äîêàçàòü, ÷òî ïðè âñåõ
n
∈
N
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
1
3
+ 2
3
+
. . .
+
n
3
= (1 + 2 +
. . .
+
n
)
2
.
(2)
1. Ïðè
n
= 1
ðàâåíñòâî (2) ÿâëÿåòñÿ âåðíûì, òàê êàê
1
3
= 1
2
.
2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâåíñòâî (2) âåðíî äëÿ ÷èñëà
n
.
Èñõîäÿ èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, äîêàæåì ñïðàâåäëè-
âîñòü ðàâåíñòâà (2) è äëÿ ñëåäóþùåãî ÷èñëà
(
n
+ 1)
, òî
åñòü ïðîâåðèì, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1
3
+2
3
+
. . .
+
n
3
+(
n
+1)
3
= [1 + 2 +
. . .
+
n
+ (
n
+ 1)]
2
.
(3)
Äëÿ ýòîãî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (2) è ôîðìóëó äëÿ ñóì-
ìû àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè
1
, ïåðåïèøåì ëåâóþ ÷àñòü
(3) â âèäå:
1
3
+ 2
3
+
. . .
+
n
3
+ (
n
+ 1)
3
= (1 + 2 +
. . .
+
n
)
2
+ (
n
+ 1)
3
=
=
·
n
(
n
+ 1)
2
¸
2
+ (
n
+ 1)
3
=
n
2
(
n
+ 1)
2
4
+ (
n
+ 1)
3
=
= (
n
+ 1)
2
·
n
2
4
+
n
+ 1
¸
=
(
n
+ 1)
2
(
n
+ 2)
2
4
.
1
Íàïîìíèì, ÷òî ñóììà
n
÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ìîæåò áûòü íàé-
äåíà ïî ôîðìóëå:
S
n
=
a
1
+
a
2
+
· · ·
+
a
n
=
a
1
+
a
n
2
n
.
32
Òåïåðü ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü (3), èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëó äëÿ ñóììû àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:
[1 + 2 +
. . .
+ (
n
+ 1)]
2
=
·
(
n
+ 1)(
n
+ 2)
2
¸
2
=
(
n
+ 1)
2
(
n
+ 2)
2
4
.
Ñðàâíèâàÿ äâå ïîñëåäíèå ôîðìóëû, ïîëó÷àåì, ÷òî ðàâåí-
ñòâî (3) âåðíî.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ôîðìóëó (2) ïî ìåòîäó ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Óïðàæíåíèå 7
1. Äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-
öèè, ÷òî ïðè êàæäîì
n
∈
N
âåðíû ðàâåíñòâà:
1)
1
·
2 + 2
·
5 +
. . .
+
n
(3
n
−
1) =
n
2
(
n
+ 1);
2)
1
·
2 + 2
·
3 +
. . .
+
n
(
n
+ 1) =
1
3
n
(
n
+ 1)(
n
+ 2);
3)
1
·
4 + 2
·
7 +
. . .
+
n
(3
n
+ 1) =
n
(
n
+ 1)
2
;
4)
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+
. . .
+
n
2
=
1
6
n
(
n
+ 1)(2
n
+ 1);
5)
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+
. . .
+ (2
n
−
1)
2
=
1
3
n
(4
n
2
−
1);
6)
1
1
·
5
+
1
5
·
9
+
. . .
+
1
(4
n
−
3)(4
n
+1)
=
n
4
n
+1
;
7)
1
1
·
3
+
1
3
·
5
+
. . .
+
1
(2
n
−
1)(2
n
+1)
=
n
2
n
+1
;
8)
1
4
·
5
+
1
5
·
6
+
. . .
+
1
(
n
+3)(
n
+4)
=
n
4(
n
+4)
;
9)
1
2
·
5
+
1
5
·
8
+
. . .
+
1
(3
n
−
1)(3
n
+2)
=
n
6
n
+4
;
10)
1
1
·
4
+
1
4
·
7
+
. . .
+
1
(3
n
−
2)(3
n
+1)
=
n
3
n
+1
.
2. Äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-
öèè, ÷òî ïðè çàäàííûõ
n
∈
N
âåðíû íåðàâåíñòâà:
1)
2
n
> n,
n
≥
2;
2)
2
n
(
n
−
1)
2
> n
!
,
n
≥
3;
33
3)
4
n
n
+1
<
(2
n
)!
(
n
!)
2
;
4)
1
n
+1
+
1
n
+2
+
. . .
+
1
2
n
>
13
24
;
5)
1
2
·
3
4
·
5
6
·
. . .
2
n
−
1
2
n
<
1
√
3
n
+1
.
8. Áèíîì Íüþòîíà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ
Èç øêîëüíîé ïðîãðàììû õîðîøî èçâåñòíû ôîðìóëû êâàä-
ðàòà è êóáà ñóììû äâóõ ÷èñåë:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
ab
+
b
2
,
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+ 3
a
2
b
+ 3
ab
2
+
b
3
.
Óìíîæèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà
(
a
+
b
)
, ëåãêî ïîëó÷èòü
ôîðìóëó äëÿ
(
a
+
b
)
4
è ò. ä.
 äàëüíåéøåì íàì ïîòðåáóåòñÿ ñóììó äâóõ ÷èñåë
(
a
+
b
)
âîçâîäèòü â ïðîèçâîëüíóþ ñòåïåíü
n
∈
N
. Ôîðìóëà, âûðà-
æàþùàÿ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü ñóììû äâóõ ÷èñåë ÷åðåç ðàç-
ëîæåíèå ïî ñòåïåíÿì ýòèõ ÷èñåë, áûëà ïðåäëîæåíà Íüþòî-
íîì â 1664 ãîäó è ïîëó÷èëà íàçâàíèå áèíîìà
1
Íüþòîíà:
(
a
+
b
)
n
=
=
C
0
n
a
n
+
C
1
n
a
n
−
1
b
+
. . .
+
C
k
n
a
n
−
k
b
k
+
. . .
+
C
n
n
b
n
,
(4)
ãäå êîýôôèöèåíòû
C
k
n
íåêîòîðûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðèíÿòî
íàçûâàòü áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è êîòîðûå ìû
ñåé÷àñ îïèøåì.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ áè-
íîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
C
k
n
íàì ïîíàäîáèòüñÿ ââåñòè
ïîíÿòèå ôàêòîðèàëà íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 8. Ôàêòîðèàëîì ÷èñëà
m
íàçûâàåòñÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîå ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò
1
äî
m
. Îáîçíà÷àåòñÿ ôàêòîðèàë ÷èñëà
m
òàê:
m
! = 1
·
2
·
3
·
. . .
·
m.
1
Áèíîì, ò.å. äâó÷ëåí.
34
Òàêèì îáðàçîì,
1! = 1
,
2! = 2
,
3! = 6
,
4! = 24
. Ïî îïðå-
äåëåíèþ ïîëàãàþò, ÷òî
0! = 1
.
Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ
áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ:
C
k
n
=
n
!
k
!(
n
−
k
)!
,
k
= 0
,
1
, . . . , n.
(5)
×èñëà
C
k
n
âû òàêæå âñòðåòèòå ïîçæå â êóðñå òåîðèè âåðî-
ÿòíîñòåé, òàì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ÷èñëî
C
k
n
ðàâíî ÷èñëó
ñïîñîáîâ, êîòîðûìè èç
n
ýëåìåíòîâ ìîæíî âûáðàòü
k
ýëå-
ìåíòîâ è íàçûâàåòñÿ ýòî ¾÷èñëî ñî÷åòàíèé èç
n
ýëåìåíòîâ
ïî
k
ýëåìåíòîâ¿.
Áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
C
0
n
=
C
n
n
= 1
,
C
k
n
=
C
n
−
k
n
,
C
k
n
+
C
k
−
1
n
=
C
k
n
+1
,
k
= 1
,
2
, . . . , n.
(6)
Åñëè â ôîðìóëå (5) äëÿ
C
k
n
ìû ñîêðàòèì îáùèå ìíîæè-
òåëè â
n
!
è
(
n
−
k
)!
, òî ïîëó÷èì:
C
0
n
= 1
,
C
1
n
=
n
,
C
2
n
=
n
(
n
−
1)
2!
è ò. ä., â ðåçóëüòàòå ìû çàïèøåì áèíîì Íüþòîíà åùå â îä-
íîé ôîðìå:
(
a
+
b
)
n
=
=
a
n
+
na
n
−
1
b
+
n
(
n
−
1)
2!
a
n
−
2
b
2
+
n
(
n
−
1)(
n
−
2)
3!
a
n
−
3
b
3
+
+
· · ·
+
n
(
n
−
1)
· · ·
(
n
−
k
+ 1)
k
!
a
k
b
n
−
k
+
+
· · ·
+
n
(
n
−
1)
· · ·
2
·
1
n
!
b
n
.
(7)
Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû, ðàâíîóäàëåííûå îò êîíöîâ
ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ýòî âûòåêàåò èç (6), â
÷àñòíîñòè,
C
n
−
2
n
=
C
2
n
=
n
(
n
−
1)
2
,
C
n
−
1
n
=
C
1
n
=
n,
C
n
n
=
C
0
n
= 1
.
35