ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 527
Скачиваний: 1
Îäíàêî ¾íåñèììåòðè÷íûé¿ ñïîñîá çàïèñè, èñïîëüçîâàí-
íûé â ôîðìóëå (7), èíîãäà áûâàåò ïîëåçåí.
Ôîðìóëà (4) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â áîëåå êîðîòêîì âè-
äå, åñëè äëÿ ñóììû, ñòîÿùåé â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (4),
ìû èñïîëüçóåì ïðèíÿòûé â ìàòåìàòèêå ñïîñîá çàïèñè ñóì-
ìû
n
ñëàãàåìûõ
a
1
, a
2
, . . . , a
n
, à èìåííî:
a
1
+
a
2
+
. . .
+
a
n
=
n
X
i
=1
a
i
.
Çíàê
P
ãðå÷åñêàÿ áóêâà ¾ñèãìà¿ íàçûâàåòñÿ çíàêîì
ñóììèðîâàíèÿ, ÷èñëî
i
íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñóììèðîâà-
íèÿ, èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ, íà-
÷èíàÿ ñ òîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå óêàçàíî âíèçó çíàêà
P
è
çàêàí÷èâàÿ òåì, êîòîðîå óêàçàíî íàâåðõó, â äàííîì ñëó-
÷àå îò
1
äî
n
, ïðè ýòîì èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ ìîæíî îáî-
çíà÷àòü äðóãîé áóêâîé, íàïðèìåð,
k
,
l
,
j
è ò. ä., çíà÷åíèå
ñóììû îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (4) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êî-
ðîòêî:
(
a
+
b
)
n
=
n
X
k
=0
C
k
n
a
n
−
k
b
k
.
Äîêàæåì ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà ñ ïîìîùüþ ìåòîäà
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
1. Ïðè
n
= 1
ðàâåíñòâî (4) ÿâëÿåòñÿ âåðíûì, òàê êàê
(
a
+
b
)
1
=
1
X
k
=0
C
k
1
a
1
−
k
b
k
=
C
0
1
a
+
C
1
1
b
= 1
·
a
+ 1
·
b
=
a
+
b.
2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâåíñòâî (4) âåðíî äëÿ ÷èñëà
n
.
Èñõîäÿ èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, äîêàæåì ñïðàâåäëè-
âîñòü ðàâåíñòâà (4) è äëÿ ñëåäóþùåãî ÷èñëà
(
n
+ 1)
, òî
36
åñòü ïðîâåðèì, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
(
a
+
b
)
n
+1
=
n
+1
X
k
=0
C
k
n
+1
a
n
+1
−
k
b
k
.
(8)
Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü (8), èñïîëüçóÿ ñîîò-
íîøåíèå (4):
(
a
+
b
)
n
+1
= (
a
+
b
)
·
(
a
+
b
)
n
= (
a
+
b
)
n
P
k
=0
C
k
n
a
n
−
k
b
k
=
=
a
n
P
k
=0
C
k
n
a
n
−
k
b
k
+
. . .
+
b
n
P
k
=0
C
k
n
a
n
−
k
b
k
=
=
C
0
n
a
n
+1
+
C
1
n
a
n
b
+
C
2
n
a
n
−
1
b
2
+
. . .
+
C
k
n
a
n
+1
−
k
b
k
+
. . .
+
C
n
n
ab
n
+
+
C
0
n
a
n
b
+
C
1
n
a
n
−
1
b
2
+
. . .
+
C
k
−
1
n
a
n
+1
−
k
b
k
+
. . .
+
C
n
n
b
n
+1
.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â ïîñëåäíèõ äâóõ ñòðî÷êàõ èìåþò-
ñÿ ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ìû ñïåöèàëüíî çàïèñàëè èõ äðóã
ïîä äðóãîì, ïîýòîìó
(
a
+
b
)
n
+1
=
=
C
0
n
a
n
+1
+(
C
0
n
+
C
1
n
)
a
n
b
+
· · ·
+(
C
k
n
+
C
k
−
1
n
)
a
n
+1
−
k
b
k
+
· · ·
+
C
n
n
b
n
.
Ïîñêîëüêó
C
0
n
=
C
0
n
+1
= 1
è
C
n
n
= 1 =
C
n
+1
n
+1
, à
C
k
n
+
C
k
−
1
n
=
C
k
n
+1
, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
(
a
+
b
)
n
+1
=
=
C
0
n
+1
a
n
+1
+
C
1
n
+1
a
n
b
+
· · ·
+
C
k
n
+1
a
n
+1
−
k
b
k
+
· · ·
+
C
n
+1
n
+1
b
n
+1
=
=
n
+1
X
k
=0
C
k
n
+1
a
n
+1
−
k
b
k
.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ôîðìóëó (4) ïî ìåòîäó ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ áèíîìà
(
a
+
b
)
n
ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ñòåïåíè
n
âìåñòî âû÷èñëåíèÿ
áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ
C
k
n
ïî ôîðìóëå (5) ìîæíî
37
èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìûé òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ, êîòî-
ðûé áûë îïèñàí â îäíîé èç ñàìûõ èçâåñòíûõ ìàòåìàòè÷å-
ñêèõ ðàáîò Áëåçà Ïàñêàëÿ ¾Òðàêòàòå îá àðèôìåòè÷åñêîì
òðåóãîëüíèêå¿(1653 ã.).
Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ óñòðîåí òàê: â åãî âåðøèíå ñòîèò
÷èñëî
1
, â êàæäîé ñëåäóþùåé ñòðîêå êîëè÷åñòâî ÷èñåë óâå-
ëè÷èâàåòñÿ íà îäíî, ïðè÷åì ïî êðàÿì ñòðîê âñåãäà ñòîÿò
åäèíèöû, à îñòàëüíûå ÷èñëà ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ñëî-
æåíèÿ äâóõ äðóãèõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ íàä íèìè â ïðåäûäóùåé
ñòðîêå. Òðåóãîëüíèê ìîæíî ïðîäîëæàòü íåîãðàíè÷åííî, íî
ìû îñòàíîâèìñÿ íà
n
= 7
:
1
n
= 1
1
1
n
= 2
1
2
1
n
= 3
1
3
3
1
n
= 4
1
4
6
4
1
n
= 5
1
5
10
10
5
1
n
= 6
1
6
15
20
15
6
1
n
= 7
1
7
21
35
35
21
7
1
Òðåóãîëüíèê îáëàäàåò ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî âåðòè-
êàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî âåðøèíó. Îêàçàëîñü,
÷òî ÷èñëà, çàïîëíÿþùèå ñòðîêè òðåóãîëüíèêà Ïàñêàëÿ,
ÿâëÿþòñÿ áèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è òåì ñàìûì
ñâÿçûâàþò êàæäóþ ñòðîêó òðåóãîëüíèêà ñ ôîðìóëîé áèíî-
ìà Íüþòîíà ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè
n
.
Íàïðèìåð, ïðè
n
= 2
(òðåòüÿ ñòðîêà) ïîëó÷àåì êîýô-
ôèöèåíòû äëÿ ôîðìóëû êâàäðàòà ñóììû äâóõ ÷èñåë:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
ab
+
b
2
;
ïðè
n
= 4
(ïÿòàÿ ñòðîêà) ïîëó÷àåì êîýôôèöèåíòû äëÿ
ôîðìóëû ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ñóììû äâóõ ÷èñåë:
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+ 4
a
3
b
+ 6
a
2
b
2
+ 4
ab
3
+
b
4
,
38
è òàê äàëåå.
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
(
a
+
b
)
n
, ìû äîëæíû âû÷èñëèòü
ñíà÷àëà êîýôôèöèåíòû âñåõ ïðåäûäóùèõ ñòåïåíåé
(
a
+
b
)
k
,
k
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
, à ýòî çàòðóäíèòåëüíî ïðè áîëüøèõ çíà-
÷åíèÿõ
n
.
Óïðàæíåíèå 8
Ðåøèòå óðàâíåíèÿ:
1.
C
1
n
+ 6
C
2
n
+ 6
C
3
n
= 9
n
2
−
14
n
;
2.
C
n
−
2
n
+1
+ 2
C
3
n
−
1
= 7(
n
−
1)
;
Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
3.
C
k
n
=
C
n
−
k
n
;
4.
C
k
n
+
C
k
−
1
n
=
C
k
n
+1
;
5.
C
k
n
·
C
m
−
k
n
−
k
=
C
k
m
·
C
m
n
;
6.
C
0
n
+
C
1
n
+
...
+
C
n
−
1
n
+
C
n
n
= 2
n
(èñïîëüçîâàòü ìåòîä
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè).
7. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì
k
ñóììà
C
2
n
+
k
+
C
2
n
+
k
+1
åñòü
òî÷íûé êâàäðàò.
8. Êàêîâ íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ
(
a
+
b
)
n
,
åñëè ñóììà âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà
4096
.
9. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
C
, ñîñòîÿùåå èç âûðàæåíèé âèäà
z
=
x
+
yi,
ãäå
x
è
y
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, à
i
íåêîòî-
ðûé ñèìâîë, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé
1
.
1
Ïîêà ÷òî çíàê ¾
+
¿ â ýòîé ôîðìóëå íå îçíà÷àåò ñëîæåíèÿ, ýòî âñåãî ëèøü
ôîðìàëüíûé ñèìâîë, íî ìû âåðíåìñÿ åùå ê ýòîìó âîïðîñó. Ïî÷åìó ñèìâîë
i
íà-
çûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé òàêæå áóäåò ÿñíî èç äàëüíåéøåãî.
39
Ýëåìåíò ìíîæåñòâà
C
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñ-
ëîì. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÷àñòî èñïîëü-
çóþò ëàòèíñêóþ áóêâó
z
:
z
=
x
+
yi.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
x
è
y
, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå
z
=
x
+
yi
, íàçûâàþòñÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòÿìè
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
, ñîîòâåòñòâåííî, è îáîçíà÷àþòñÿ:
x
=
Re
z
(îò ôðàíö. reele ¾äåéñòâèòåëüíûé¿),
y
= Im
z
(îò
ôðàíö. imaginaire ¾ìíèìûé¿). Ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü
çàïèñè
x
+
yi
è
x
+
iy
.
Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà
z
1
=
x
1
+
iy
1
è
z
2
=
x
2
+
iy
2
ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
èõ äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè, òî åñòü
x
1
+
iy
1
=
x
2
+
iy
2
⇔
½
x
1
=
x
2
;
y
1
=
y
2
.
Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïåðàöèè
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
Ñóììîé äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z
1
=
x
1
+
iy
1
è
z
2
=
x
2
+
iy
2
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî:
z
=
z
1
+
z
2
= (
x
1
+
iy
1
) + (
x
2
+
iy
2
) = (
x
1
+
x
2
) +
i
(
y
1
+
y
2
)
.
Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáëàäàåò òàêè-
ìè æå ñâîéñòâàìè, êàê è îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåùåñòâåííûõ
÷èñåë:
1.
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
äëÿ ëþáûõ
z
1
, z
2
∈
C
(êîììóòàòèâíîñòü
ñëîæåíèÿ);
2.
z
1
+ (
z
2
+
z
3
) = (
z
1
+
z
2
) +
z
3
äëÿ ëþáûõ
z
1
, z
2
, z
3
∈
C
(àññîöèàòèâíèñòü ñëîæåíèÿ).
Ñëîæåíèå äîïóñêàåò îáðàòíóþ îïåðàöèþ âû÷èòàíèå:
äëÿ ëþáûõ äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z
1
=
x
1
+
iy
1
è
z
2
=
x
2
+
iy
2
ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî
z
, ÷òî
z
2
+
z
=
z
1
.
40