ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 526
Скачиваний: 1
Ýòî ÷èñëî
z
íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë
z
1
è
z
2
è îáîçíà-
÷àåòñÿ ñèìâîëîì
z
1
−
z
2
.
Î÷åâèäíî, ÷òî
z
=
z
1
−
z
2
= (
x
1
−
x
2
) +
i
(
y
1
−
y
2
)
.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî âèäà
x
+ 0
i
îòîæäåñòâèì ñ äåéñòâè-
òåëüíûì ÷èñëîì
x
:
x
+ 0
i
=
x.
Òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
R
äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà êîìïëåêñíûõ
÷èñåë
C
, òî åñòü ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ
ðàñøèðåíèåì ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
×èñëî âèäà
0 +
yi
(
y
6
= 0
) íàçûâàþò ÷èñòî ìíèìûì è
çàïèñûâàþò â âèäå
0 +
yi
=
yi.
Ó÷èòûâàÿ âûøåñêàçàííîå, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîì-
ïëåêñíîå ÷èñëî
z
=
x
+
yi
ðàâíî ñóììå âåùåñòâåííîãî ÷èñëà
x
è ÷èñòî ìíèìîãî ÷èñëà
yi
. Òàêèì îáðàçîì, çíàê ¾
+
¿ â çà-
ïèñè
z
=
x
+
yi
ïðèîáðåòàåò îáû÷íûé ñìûñë.
Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z
1
=
x
1
+
iy
1
è
z
2
=
x
2
+
iy
2
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî:
z
=
z
1
·
z
2
= (
x
1
x
2
−
y
1
y
2
) +
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
.
Ïðè
z
1
=
z
2
=
i
èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò:
i
·
i
=
−
1
,
ò. å.
i
2
=
−
1
, ÷òî îáúÿñíÿåò âûáîð íàçâàíèÿ ¾ìíèìàÿ åäè-
íèöà¿.
×òîáû íå çàïîìèíàòü ãðîìîçäêóþ ôîðìóëó äëÿ ïðîèç-
âåäåíèÿ äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàìåòèì, ÷òî òàêîé æå
ðåçóëüòàò ìû ïîëó÷èì, ïåðåìíîæàÿ äâà äâó÷ëåíà ïî îáû÷-
íûì ïðàâèëàì àðèôìåòèêè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
i
2
=
−
1
. Äåé-
ñòâèòåëüíî,
(
x
1
+
y
1
i
)
·
(
x
2
+
y
2
i
) =
x
1
x
2
+
x
1
y
2
i
+
y
1
x
2
i
+
y
1
y
2
i
2
=
= (
x
1
x
2
−
y
1
y
2
) + (
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
i.
41
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáëàäàåò òàê-
æå ñâîéñòâàìè êîììóòàòèâíîñòè è àññîöèàòèâíîñòè :
1.
z
1
·
z
2
=
z
2
·
z
1
äëÿ ëþáûõ
z
1
, z
2
∈
C
(êîììóòàòèâíîñòü
óìíîæåíèÿ);
2.
z
1
·
(
z
2
·
z
3
) = (
z
1
·
z
2
)
·
z
3
äëÿ ëþáûõ
z
1
, z
2
, z
3
∈
C
(àññîöèàòèâíèñòü óìíîæåíèÿ).
Ïåðåä òåì, êàê îïðåäåëèòü îáðàòíóþ îïåðàöèþ ê îïåðà-
öèè óìíîæåíèÿ äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, íàäî îïðå-
äåëèòü î÷åíü âàæíîå ïîíÿòèå: ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå
÷èñëî.
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî
z
2
=
x
2
+
iy
2
íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåí-
íûì ñ ÷èñëîì
z
1
=
x
1
+
iy
1
, åñëè åãî âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü
ðàâíà âåùåñòâåííîé ÷àñòè ÷èñëà
z
1
:
Re
z
2
= Re
z
1
,
à ìíèìàÿ ÷àñòü ïðîòèâîïîëîæíà ïî çíàêó:
Im
z
2
=
−
Im
z
1
.
Ñîïðÿæåííîå ÷èñëî ê
z
îáîçíà÷àåòñÿ
z
. Òàêèì îáðàçîì,
z
=
x
+
iy
=
x
+
i
(
−
y
) =
x
−
iy.
Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñîïðÿæåíèÿ.
1. Ñóììà
z
è
z
÷èñëî âåùåñòâåííîå, ðàçíîñòü
z
è
z
÷èñòî ìíèìîå:
z
+
z
= (
x
+
iy
) + (
x
−
iy
) = 2
x,
z
−
z
= (
x
+
iy
)
−
(
x
−
iy
) =
−
2
yi.
2. Ïðîèçâåäåíèå
z
·
z
âåùåñòâåííîå íåîòðèöàòåëüíîå
÷èñëî:
zz
=
x
2
+
y
2
≥
0
.
3.
(
z
1
+
z
2
) =
z
1
+
z
2
.
42
4.
z
1
·
z
2
=
z
1
·
z
2
Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
=
x
+
iy
íàçûâàåòñÿ ÷èñ-
ëî
|
z
|
=
√
zz
=
p
x
2
+
y
2
.
ßñíî, ÷òî ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
âåùåñòâåííîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì
|
z
|
= 0
òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà
z
= 0
.
Åñëè
z
=
x
+
i
0 =
x
âåùåñòâåííî, òî
|
z
|
=
√
x
2
=
|
x
|
ìîäóëü âåùåñòâåííîãî ÷èñëà. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
|
z
|
=
|
z
|
.
Òåïåðü îïðåäåëèì îáðàòíóþ îïåðàöèþ ê îïåðàöèè óìíî-
æåíèÿ äåëåíèå. ×àñòíûì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z
1
è
z
2
íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî
z
, ÷òî
z
1
=
z
2
·
z.
Ïóñòü
z
=
a
+
ib
,
z
2
=
c
+
id
. Íàì íóæíî íàéòè ÷èñëî
z
=
x
+
iy
, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó:
a
+
ib
= (
c
+
id
)(
x
+
iy
)
.
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà è ïðèðàâíèâàÿ
âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíå-
íèé:
½
cx
−
dy
=
a,
dx
+
cy
=
b.
Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû
∆ =
¯
¯
¯
¯
c
−
d
d
c
¯
¯
¯
¯
=
c
2
+
d
2
=
|
z
2
|
,
ïîýòîìó ïðè
z
2
6
= 0
ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå:
x
=
∆
x
∆
=
¯
¯
¯
¯
a
−
d
b
c
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
−
d
d
c
¯
¯
¯
¯
=
ac
+
bd
c
2
+
d
2
,
43
y
=
∆
y
∆
=
¯
¯
¯
¯
c a
d b
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
c
−
d
d
c
¯
¯
¯
¯
=
bc
−
ad
c
2
+
d
2
.
Òàêèì îáðàçîì,
z
=
z
1
z
2
=
ac
+
bd
c
2
+
d
2
+
i
·
bc
−
ad
c
2
+
d
2
.
Íà ïðàêòèêå äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðîùå âûïîëíÿòü
äðóãèì ñïîñîáîì. Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðî-
áè
z
1
/z
2
íà
z
2
, ïîëó÷èì:
z
1
z
2
=
z
1
·
z
2
z
2
·
z
2
=
(
a
+
ib
)(
c
−
id
)
(
c
+
id
)(
c
−
id
)
=
ac
+
bd
c
2
+
d
2
+
i
·
bc
−
ad
c
2
+
d
2
ïðè
z
2
6
= 0
.
Óïðàæíåíèå 9
1. Ïðåäñòàâüòå â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, òî åñòü â âèäå
a
+
ib,
êîìïëåêñíûå ÷èñëà:
1)
(2 + 3
i
)(2
−
3
i
);
2)
(1 + 2
i
)(2
−
i
) + (1
−
2
i
)(2 +
i
);
3)
5
1 + 2
i
+
5
2
−
i
;
4)
1
−
i
1 +
i
+
1 +
i
1
−
i
;
5)
(1 +
i
)(2 +
i
)
2
−
i
−
(1
−
i
)(2
−
i
)
2 +
i
.
2. Íàéäèòå äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè êîìïëåêñ-
íûõ ÷èñåë:
1)
(3 + 2
i
)
2
;
2)
¡
1
−
i
1 +
i
¢
3
;
3)
(2 + 3
i
)
2
−
(2
−
3
i
)
2
;
4)
(2
−
i
)
3
;
5)
³
i
5
+ 2
i
19
+ 1
´
2
;
6)
(1 +
i
)
5
(1
−
i
)
3
.
44
10. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ è ïîêàçàòåëüíàÿ
ôîðìû êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
Çàäàíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
=
a
+
bi
ðàâíîñèëüíî çàäà-
íèþ äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
a
,
b
äåéñòâèòåëüíîé è
ìíèìîé ÷àñòåé äàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Íî óïîðÿäî-
÷åííàÿ ïàðà ÷èñåë
(
a, b
)
èçîáðàæàåòñÿ â äåêàðòîâîé ïðÿìî-
óãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè òî÷êîé ñ êîîð-
äèíàòàìè
(
a, b
)
. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà òî÷êà ìîæåò ñëóæèòü
èçîáðàæåíèåì è äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
z
. Òàêèì îáðàçîì,
óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó
êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè è òî÷êàìè êîîðäèíàòíîé ïëîñêî-
ñòè.
0
j
z
a
b
y
x
Ðèñ. 27
Ïðè èñïîëüçîâàíèè êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äëÿ èçîá-
ðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îñü
Ox
íàçûâàþò äåéñòâè-
òåëüíîé îñüþ (òàê êàê äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü ÷èñëà ïðè-
íèìàåòñÿ çà àáñöèññó òî÷êè),
Oy
ìíèìîé îñüþ (òàê êàê
ìíèìàÿ ÷àñòü ÷èñëà ïðèíèìàåòñÿ çà îðäèíàòó òî÷êè). Êîì-
ïëåêñíîå ÷èñëî
z
, èçîáðàæàåìîå òî÷êîé
M
(
a, b
)
íàçûâàåò-
ñÿ àôôèêñîì ýòîé òî÷êè. Ïðè ýòîì äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè íà äåéñòâèòåëüíîé îñè,
45