23.09.2022 г

Конспект на тему:

"Бином Ньютона. Треугольник Паскаля"

Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)ⁿ в многочлен.

Каждый из нас изучал наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)² и «куба суммы» (a+b)³, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности.

Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона и треугольник Паскаля.
Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид:

(a+b)ⁿ = C⁰_n* aⁿ+C¹_n* a^n-1_* b+C²_n* a^n-2_* b ²+^…+C_n^n-1_* a_* b ^n-1+C_nⁿ_*b ⁿ

где числа C^m_n – называют биномиальными коэффициентами.

C^m_n= _m:(n-m) - формула для числа сочетаний, C⁰_n=1; C_nⁿ=1.
К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида: (a+b)²=C⁰_2* a²+C¹_2* a¹_* b¹+C²_2* b²=a²+2ab+b²

есть частный случай бинома Ньютона при n=2.

Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (а+в)ⁿ.
Запомнить формулу действительно непросто. но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют. аⁿ и bⁿ c коэффициентами 1. Ясно также, что

всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена: (a+b), причём сумма степеней всегда

равна n.

Бином Ньютона — это формула, использующаяся для разложения суммы двух чисел или переменных, возведённых в степень. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:

Биномиальные коэффициенты при этом определяются по следующей формуле:
Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство

- Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:
Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона. Рассмотрим теперь формулу для общего случая, то есть когда (а+х)

---

ⁿ. При умножении выражения (а+х) на само себя n раз мы будем иметь дело с многочленом n-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно x, имеем следующее:
Теперь необходимо найти коэффициенты.

Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе части

X=0, получим, что A₀=aⁿ.
Теперь необходимо найти A₁, для этого продифференцируем равенство (1), сначала его левую часть:

А теперь правую:

Приравняем их друг к другу и получим равенство (3), затем подставим в (3) нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем А₁ в выражении (4):

Для того чтобы найти А₂, продифференцируем (3) с обеих сторон и также подставим вместо х нулевое значение:
, следовательно,

Взяв производную от выражения (1)к-раз, имеем следующее:

Снова используем в качестве значения х нуль:

Выражаем из этого равенства А_к:


В этом выражении вся часть без множителя, а — это и есть выражение для вычисления к-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:

- Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.
Бином Ньютона: треугольник Паскаля

- Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:

По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.

---

Смотрите также файлы

• Экзаменационные вопросы по курсу Структуры и алгоритмы обработки данных.pdf

• 4. сетевые оптимизационные модели общие свойства сетевых моделей.pdf

• Дипломную практику в ооо Zeteam Tech.docx

• Практическое занятие 1 тема Родительскодетские отношения и психическое развитие человека Задание Разработайте план психодиагностического обследования клиентов в соответствие с таблицей, приведенной ниже для двух ситуаций. Дайте рекомендации по данным ситу.docx

• Тест к теме Классификация потерь.docx