Файл: "Бином Ньютона. Треугольник Паскаля" Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 148
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
23.09.2022 гКонспект на тему:"Бином Ньютона. Треугольник Паскаля"Формула бинома Ньютона. Треугольник ПаскаляБином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен. Каждый из нас изучал наизусть формулы «квадрата суммы» (a+b)2 и «куба суммы» (a+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона и треугольник Паскаля.Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид:(a+b)n = C0n* an+C1n* an-1* b+C2n* an-2* b 2+…+Cnn-1* a* b n-1+Cnn*b nгде числа Cmn– называют биномиальными коэффициентами.Cmn= m:(n-m) - формула для числа сочетаний, C0n=1; Cnn=1.К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида: (a+b)2=C02* a2+C12* a1* b1+C22* b2=a2+2ab+b2есть частный случай бинома Ньютона при n=2.Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (а+в)n.Запомнить формулу действительно непросто. но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют. аn и bn c коэффициентами 1. Ясно также, чтовсякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена: (a+b), причём сумма степеней всегдаравна n.Бином Ньютона — это формула, использующаяся для разложения суммы двух чисел или переменных, возведённых в степень. Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом: Биномиальные коэффициенты при этом определяются по следующей формуле:Вывод формулы бинома Ньютона и доказательство- Все мы помним наизусть формулы разложения квадрата суммы и куба, для тех, кто всё же имеет какие-то сомнения, ниже мы привели их:Эти формулы есть не что иное, как частные случаи второй и третьей степени для бинома Ньютона. Рассмотрим теперь формулу для общего случая, то есть когда (а+х)
n. При умножении выражения (а+х) на само себя n раз мы будем иметь дело с многочленом n-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно x, имеем следующее:Теперь необходимо найти коэффициенты. Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе частиX=0, получим, что A0=an.Теперь необходимо найти A1, для этого продифференцируем равенство(1), сначала его левую часть:А теперь правую:Приравняем их друг к другу и получим равенство (3), затем подставим в (3) нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем А1 в выражении (4): Для того чтобы найти А2, продифференцируем (3) с обеих сторон и также подставим вместо х нулевое значение:, следовательно,Взяв производную от выражения (1)к-раз, имеем следующее: Снова используем в качестве значения х нуль:Выражаем из этого равенства Ак:В этом выражении вся часть без множителя, а — это и есть выражение для вычисления к-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:- Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.Бином Ньютона: треугольник Паскаля- Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.
n. При умножении выражения (а+х) на само себя n раз мы будем иметь дело с многочленом n-ой степени, если рассматривать всё выражение относительно x, имеем следующее:Теперь необходимо найти коэффициенты. Для нулевого коэффициента необходимо подставить в обе частиX=0, получим, что A0=an.Теперь необходимо найти A1, для этого продифференцируем равенство(1), сначала его левую часть:А теперь правую:Приравняем их друг к другу и получим равенство (3), затем подставим в (3) нулевое значение вместо икса и из полученного равенства выражаем А1 в выражении (4): Для того чтобы найти А2, продифференцируем (3) с обеих сторон и также подставим вместо х нулевое значение:, следовательно,Взяв производную от выражения (1)к-раз, имеем следующее: Снова используем в качестве значения х нуль:Выражаем из этого равенства Ак:В этом выражении вся часть без множителя, а — это и есть выражение для вычисления к-ого биномиального коэффициента, вынесем её отдельно:- Полученное выражение используется для вычисления биномиальных коэффициентов.Бином Ньютона: треугольник Паскаля- Как вы уже заметили, биномиальные коэффициенты имеют свойство повторяться, поэтому все их можно записать в виде специальной таблицы, называемой треугольником Паскаля:По рисунку 1 видно, что каждый коэффициент равен сумме двух стоящих слева и справа над ним в предыдущей строчке, так что этой таблицей можно пользоваться для более быстрого вычисления биномиальных коэффициентов в случае показателей степеней, представленных целыми неотрицательными числами.