Файл: Экзаменационные вопросы по дифференциальным уравнениям, 2 семестр.pdf

Экзаменационные вопросы по дифференциальным уравнениям, 2 семестр
2022/23 учебного года
Часть 1 – линейные системы ОДУ.
1. Линейные системы ОДУ n-ого порядка. Теорема о структуре решения для однородной системы, теорема о структуре решения для неоднородной системы.
2. Линейные однородные системы ОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами: метод Эйлера решения таких систем.
3. Случай кратных корней характеристического уравнения однородной системы с по- стоянными коэффициентами. Два метода решения.
4. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения линейных не- однородных систем второго и третьего порядка с постоянными коэффициентами.
5. Метод решения системы ОДУ n-ого порядка с помощью перехода к ОДУ n-ого поряд- ка. Переход от линейного ОДУ n-ого порядка к системе ОДУ n-ого порядка.
Примечание. Решавшие контрольную работу могут не отвечать на вопрос, соответ-
ствующий этой части, если они не хотят повысить оценку.
Часть 2 – основные понятия и элементы качественной теории систем ОДУ.
6. Система ОДУ n-ого порядка. Произвольный вид. Нормальный вид. Пространство ре- шений. Автономная система ОДУ n-ого порядка. Фазовое пространство.
7. Неавтономная и автономная системы 2 порядка. Пространство решений. Фазовая плоскость автономной системы. ОДУ первого порядка, соответствующее данной ав- тономной системе. ОДУ второго порядка, соответствующее данной системе второго порядка.
8. Состояние равновесия (точка покоя, неподвижная точка) автономной системы ОДУ.
Классификация состояний равновесия линейных автономных систем второго порядка с постоянными коэффициентами.
9. Решение системы ОДУ n-ого порядка: устойчивое по Ляпунову, асимптотически устойчивое, неустойчивое. Траектория автономной системы n-ого порядка: устойчи- вая по Ляпунову, асимптотически устойчивая, неустойчивая. Точные определения и геометрическая интерпретация. Состояния равновесия как траектории с точки зрения теории устойчивости.
10. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Сформулировать и уметь применять.
11. Критерий Рауса-Гурвица. Сформулировать и уметь применять.
12. Понятие о втором методе Ляпунова (метод функций Ляпунова). Теорема Ляпунова, используемая для определения асимптотической устойчивости состояния равновесия данной системы. Теорема Четаева для определения неустойчивости по Ляпунову со- стояния равновесия.
13. Грубое (простое) состояние равновесия нелинейной автономной системы. Линеаризо- ванная система. Теорема о типе грубого состояния равновесия нелинейной автоном- ной системы в двумерном случае.
14. Периодические решения автономных систем. Предельные циклы. Исследование окрестности цикла: функция последования. Одномерные отображения и их непо- движные точки. Неподвижные точки функции последования. Характеристический по- казатель и мультипликатор предельного цикла.
Часть 3 – основные теоремы и теория первых интегралов.
15. Теорема существования и единственности решения – сформулировать и прокоммен- тировать для системы ОДУ второго порядка.
16. Теорема о непрерывной зависимости системы ОДУ от параметра и начальных дан- ных. Дифференцируемость решений по параметру и начальным данным. Сформули- ровать для систем второго порядка и прокомментировать.

17. Первые интегралы и общий интеграл системы ОДУ. Необходимое и достаточное условия (аналитический признак) первого интеграла.
18. Первые интегралы автономных систем. Системы ОДУ в симметрической форме и их решение.
Часть 4. Уравнения с частными производными первого порядка. Уравнения Пфаффа.
19. Уравнения с частными производными первого порядка. Введение.
20. Геометрическая интерпретация случая неизвестной функции двух переменных.
21. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Поиск общего решения. Поиск частного решения.
22. Линейные неоднородные уравнения с частными производными первого порядка. По- иск общего решения. Поиск частного решения.
23. Уравнения Пфаффа.
Билет будет состоять из четырех вопросов, двух практических и двух теоретических,
только один из них будет из части 1. Таким образом, писавшим контрольную работу
может быть зачтен только один вопрос из четырех.