Файл: Баяндама пн Математика теориялы негіздері жне практикумы Комплекс сандар.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.10.2023
Просмотров: 120
Скачиваний: 7
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Қазақстан республикасының Білім және ғылым министірлігі
А.Байтұрсынов атындағы Қостанай өңірлік университеті
Мектепке дейінгі және бастауыш білім беру кафедрасы
Баяндама
пән: «Математика теориялық негіздері және практикумы»
Комплекс сандар
Орындаған: Жусупова И.А
ПиМНО 1 курс 22-111-10 топ студенті
Ғылыми жетекші: Султанбекова Ж.Х
аға оқытушы
Қостанай 2021
Мақсаты: Комплекс сандар қолданбалы математикада орасан зор орын алады, соның ішінде ауыспалы токты есептегенде.Бұл ғылыми жобада комплекс сандарына түрлі амалдар қолдануды үйренеміз. Муавр теоремасын қолданып,комплекс сандардың дәрежесін есептейміз,және де ауыспалы токтың жай есептеріне көз жүгіртеміз.
Жоспар:
-
Кіріспе:
-
Комплекс сандардың қысқаша тарихы
-
Негізгі бөлім:
-
Комплекс сандар туралы ұғым -
Комплекс сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар -
Комплекс сандардың алгебралық формасы -
Теңдеулердің комплекс түбірлерін табу
-
Қорытынды -
Әдебиеттер
Кіріспе:
Комплекс сандардың тарихы
Комплекс сан ұғымы тұңғыш рет ХҮІ ғасырда итальяндықтар Дж.Кардано және Р.Бомбелли қарастырған дискриминантты теріс квадрат теңдеулердің, әсіресе кубтық теңдеулердің ,шешімдеріне байланысты шыққан ұғым. 1572 жылы шыққан «Алгебра» атты кітабында Р.Бомбелли комплекс сандарға арифметикалық операциялар қолданған.
Алғашқы кезде комплекс сандардың іс жүзінде нақты түрде түсінігі (интерпретациясы),болмағандықтан ондай түбірлерді «мүмкін емес», «жорамал» деп санап , ондай түбірлері бар теңдеулерді «түбірі жоқ» теңдеулер қатарына қосатын болған.
Комплекс сандардың жан-жақты қолданылуы тек ХҮІІІ ғасырда басталды. Міне осы кезде комплекс сандардың интегралдық есептеуде механикада және геометрияда қолданулары комплекс аргументті функцияларды қарауға әкеп соқты. Осы мәселелер жайындағы зерттеулерде туған жері Швейцария болса да, отыз жылдан аса Петербург академиясында жұмыс істеп , өзін «орыс ғалымымын» деп атап өткен Леонард Эйлер (1707-1783) мен француз математигі және философы Даланбердің (1717-1783) үлесі көп.
Комплекс сандарға жазықтықтағы нүкте не вектор деп геометриялық түсінікті 1797 жылы даниялық жер өлшеуші К. Вессель (1745-1818) берген ,бірақ тек атақты неміс математигі Карл Фридрих Гаусстың (1777-1855) комплекс сандарды арифметикаға , алгебраға, геометрия және математикалық анализге қолданған еңбектерінен кейін ғана көпшілік комплекс сандардың геометриялық мағынасын қолданып , оны толық пайдалана бастайды. Математикаға «комплекс сан » терминін кіргізген де, жоғарғы алгебраның негізгі теоремасының толық дәлелдеуін тұңғыш рет (1799 ) ұсынған да К.Гаусс.
Негізгі бөлім:
Комплекс сандар туралы ұғым
Арифметикалық төрт амалдардың орындалуына байланысты натурал сандар жиыны бүтін және рационал сандар жиынына дейін кемітеді. Сол сияқты түбір табу амалын орындалуына байланысты иррационал сандар жиыны пайда болады. Осы айтылған амалдардың бәрі нақты сандар жиынында орындалады. Бірақ бұл жиындарда орындалмайтын амал бар. Ол теріс сандардан түбір табу амалы. Сондықтан бұл жиынды әрі қарай кеңейту қажеттілігі туып отыр. Жаңа пайда болған сан ол нақты саннан өзгеше. Біз білеміз нақты сандар координата түзуінде нүктелер арқылы геометриялық бейнелейтіндігін яғни, координата түзуіндегі әрбір нүктелер бір нақты санға сәйкес келсе, керісінше әрбір нақты санға координата түзуінен бір нүкте табылады. Олай болса жаңа пайда болған сан геометриялық бейнесі түзуде емес, жазықтықта қарастыру қажет.
Комплекс сан деп кез келген реттелген нақты қос сан (а;в)-ны айтамыз. Екі комплекс сан (а;в) және (с;d) тең деп аталады. Егер а=c, в=d.
Нақты сандар жиынында түбірі болмайтын квадрат теңдеуді шешуден бастаймыз, яғни х2+1=0 теңдеуін бір амалын тауып шешуіміз қажет. Демек, квадраты -1 -ге тең жаңа бір сан ұғымын енгізуіміз керек. Ол сан i арқылы белгіленеді, және оны ЖОРАМАЛ БІРЛІК САН деп атайды. Сонымен, х2+1=0, х2= -1 теңдеуінің х1=i, x2= -ітүбірлері табылады деп есептейтін боламыз. Бұдан былай деп қарастырып, бұған жаңа ұғым береміз:
Анықтама 1. Жорамал бірлік деп санын айтады.
Анықтама бойынша, , онда:
Анықтама 2. түріндегі санды комплекс сан деп атаймыз. Мұндағы – нақты сандар, – жорамал бірлік.
комплекс санның нақты бөлігі, – комплекс санның жорамал бөлігі, – жорамал бөліктің коэффициенті.
Анықтама 3. Екі комплекс сан түйіндес деп аталады. Егер, олар тек жорамал бөліктерінің таңбаларымен ғана ерекшеленсе, санына түйіндес сан i.
Түйіндес сандардың көбейтіндісі нақты бөлік пен жорамал бөліктің квадраттарының қосындысына тең.
Комплекс сандарға қолданылатын арифметикалық амалдар
Комплекс сан Z=(a;b) және W=(c;d) қосындысы деп (a+c; b+d).
Мысалы: Z=(9;10) және W=(8;12) (9;10)+(8;12)=(17;22).
Комплекс z=(a;b) санына қарама-қарсы сан деп -z=(-a;-b). Комплекс Z және W сандарының айырмасы деп U санын айтамыз және Z=W+U, яғни Z дегеніміз z=(a;b) қос санынан тұратын болса, W=(c;d), U=(x;y) x=a-c, y=b-d.
Мысалы: Z=(9;10) және W=(8;12) (9;10)-(8;12)=(1;-2).
Комплекс сандардың көбейтіндісі Z=(a;b) және W=(c;d), Z W=(ас-bd; ad+bc) Мысалы: Z=(2;5) және W=(3;1), онда Z W=(2 3-5 1; 2 1+5 3)=(1;17).
Комплекс сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттері нақты сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттеріндей орындалады.
Z=(a;b), W=(c;d) (0;0)онда қандай да бір U=(x;y) комплекс саны болады. Z=U W. U комплекс саны берілген 2 санның бөліндісі деп аталады және [5].
x= ; y= , U=(x;y)=( ; )
Мысалы: =( ; )=( ; )
Есеп: =9;-7
=-1;1
+ =(9-7);(-1+1)=(9-1);(-7+1)=(10;-6)
– =(-9;(-7))-(-1;-1)=(-9+1);(-7+1)=(-8;-6).
=(9;-7) және =(-1;1), онда =(9 (-1)) ); (9 1+ )=(-2;16).
= = ; =( ; )= ( ; )
Комплекс сандардың алгебралық формасы
Комплекс сан дегеніміз – екі реттелген нақты сандардың қосындысын айтамыз. Комплекс санының алгебралық формуласы: Z=a+bi ді айтамыз.
Мұндағы a мен b нақты сандар, i – жорамал бірліктің квадраты, яғни і^2=-1.
a–Комплекс санының нақты бөлігі, bi- жорамал бөлігі.
Егер a=0 болса, z=bi болады, яғни нақты сан шығады.
Z=a+bi және Z=a-bi түйіндес комплекс сандар.
Комплекс сандарды қосу және бөлу, көбейту анықтамаларына сүйене төмен-дегі тепе-теңдік жазуға болады.
1.(0;1) (0;1)=(0 0-1 1;0 1+1 0)=(-1;0)
2.(a;b)=(a;0)+(b;0) (0;1)=(a;0)+(b 0-0 1;b 1+0 0)=(a;0)+(0;b)=(a;b)
3.(a;0)+(b;0)=(a+b;0)
4.(a;b)(b;0)=(a b-0 0;a 0+b 0)=(ab;0) олай болса, (a;0)=a, ал (0;1)=i-белгілейміз және оны жорамал бірлік деп атаймыз.
Сонда 1-ші тепе-теңдік i i=-1
2-ші тепе-теңдік (a;b)=a+bi
(a;b) комплекс санын 2-ші түрде жазылуда комплекс санды алгебралық формасы деп аталады және мұндағы а-ны комплекс санның нақты бөлігі деп , ал bi-ді жорамал бөлігі деп атаймыз.
Мысалы: (2;-4) комплекс сан беріліп тұр.
(2;-4)=2-4i; (3;2)=3+2i, -7+ i=(-7; )
Комплекс санның a+bi жорамал бөлігі 0-ден өзгеше болса, мұндай санды жорамал сан дейді. Ал а=0 болып кетіп bi қалса, ол таза жорамал сан деп аталады.
Комплекс сандардың алгебралық формасы оларға қолданылатын арифметикалық амалдарды жеңілдетеді.
қосу (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
алу(a;b)-(c;d)=(a-c;b-d) олай болса (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
көбейту (a;b) (c;d)=(ac-bd; ad+bc);
(a+bi) (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)=ac+adi+cbi+bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
бөлу (c;d) (0;0) =( ; ); = = = = +
Теңдеулердің комплекс түбірлерін табу
a 0, түбір астында а =a =-a
= , = =
-a=-a
Осы жағдайға байланысты кез-келген нақты сандарға ғана емес, жорамал түбірлерінде табуға болады.
Мысал 1. квадрат теңдеуін шеш.
ж: .
1-ші мысалдан байқайтынымыз, квадрат теңдеудің әрқашанда екі түбірі болады: нақты немесе комплекс. Егер оның түбірі комплекс сан болса, оның екінші түбірі осы комплекс санның түйіндесі болады.
Анықтама. және сандары түйіндес деп аталады және .
Мысалы-2. а) -4x+13=0 ә) =8
=4-13=-9 -8=0
= =3i – =0
=2-3i (x-2)( -2x+4)=0
=2+3i І.x-2=0 ІІ. -2x+4=0
x=2 =1-4=-3
= = = i
1- i 1+ i
б) 27
-27=0
– =0
(x-3)( -3x+9)=0 ІІ. -3x+9=0
І.x-3=0 D=9-36=-27
x=3 = = = = i
= ;
Яғни теңдеулердің комплекс түбірлерін таптық.
Теорема 1. Егер нақты коэффициентті көпмүшеліктің саны түбірі болса, онда саны да осы көпмүшеліктің түбірі болады.
Мысал 1. 2+3i квадрат теңдеу құру.
Теорема бойынша екінші түбірі 2-3і болады.
Виет теоремасы бойынша:
Жауабы: -4x+13=0
2-тәсіл: 7-3i квадрат теңдеу құру.
Теорема бойынша екінші түбірі 7+3і болады.
Жауабы: –14x+58=0
Қорытынды
Қорыта айтқанда алгебралық түрде жазылған комплекс сандарға арифметикалық амалдарды орындау 2 мүшеліктерге қолдануда арифметикалық амалдар орындалады. Тек i2=-1 мен алмастырып отыру керек. Сонымен қатар бөлшек комплекс санды түрлендіру үшін c-di, яғни c+di түйіндесіне көбейтуіміз керек.
Комплекс сандар мектеп бағдарламасында қарастырылмайтын алайда көптеген есептерді шығару барысында көмегі зор теоремалардың ішінде коэффициентті көпмүшелік туралы теоремасы да бар, және де шешімі жоқ теңдеулердің Виет теоремасында қалай орындалатынын практика жүзінде көрсеттім. Қосымша есептердің барлығын дәптерге шығарып жүрдім.
Кейінгі жүз жыл ішінде комплекс сандар және комплекс аргументті функциялар теориясы одан әрі дамып, бұл теория картографияда, электр және электротехникада, гидромеханикада, аэромеханикада, сандар теориясында, және басқа да көптеген жаратылыстану мен техника саласында қолданылады. Сондықтан зерттеу жұмысының нәтижелерін тексеру барысында орта мектеп математика курсында комплекс сандар оқыту әдістерін жетілдіріп және оның тиімді әдістемесін жасап, оқу процесінде қолданса, оқушылардың білім сапасының артатындығына, математикалық ой-өрісінің дамитындығына көз жеткіздік, оқушылар бұл тақырыпты қызығушылықпен меңгеріп алды, яғни зерттеу болжамы дәлелденді.
Қолданылған әдебиеттер
-
Әжібеков Қ., Әшірбаев Н., Каратаев Ж. Жоғары математика есептері мен жаттығулары. Шымкент, ОҚМУ, 2005-27 бет -
Әшірбаев Н.Қ., Сұлтанбек Т.С., Каратаев Ж. Жоғары математика тест тапсырмалары. Шымкент, ОҚМУ, 2006-201 бет. -
Көпеш Б., Әшірбаев Н.Қ. Жоғары математика курсының негіздері. Шымкент, ҚККА, 2005-283 бет. -
Әшірбаев Н.,Дуйсебаева П.,Сұлтанбек. Т.,Қаратаев Ж.. Сызықты алгебра және аналитикалық геометрия есептері мен жаттығулары.Шымкент 2007. -
Хасеинов К.А. Математика канондары.Алматы-2004,691 бет.Минорский В.С. Сборник задач по высшей математике. М., «Наука», 1977.