}.

На основе понятий пересечения и объединения двух множеств можно ввести аналогичные операции над несколькими множествами:

A1… An = (…((A1A2) A3) …) An ,

A1… An = (…((A1A2) A3) …) An .

III.Если А, В – множества, то существует множество А \ В – разность множеств А и В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В: x A \ B x A и x B.

Примеры:

1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то А\ В= {1}.

2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2},

то A \ B ={ [2; 5]}.

IV. Если А – множество, то существует множество всех егоподмножествB(A), называемое также булеаном множества А, и состоящее из всех подмножеств множестваА: X B(A) X A.

Важно отметить, что булеан B(A) состоит из множеств (подмножество множества А само является множеством) и содержит в качестве элементов пустое множество и само множество А(которые в случае А= совпадают).

Примеры:

1. Если А= , то B(A) = {}.

2. Если A = {1}, то B(А) = {, {1}}.

3. Если A = {1, 2}, то B(А) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.

4. Если A = {1, 2, 3}, то B(А) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Можно доказать, что булеан n-элементного множества Асостоит из элементов. Поэтому булеан часто называют степенью множества Аи обозначают .

V. Если А, В – множества, то существует их прямое (декартово) произведение

АВ, состоящее из всех упорядоченных пар(a; b), гдеаА, b B:

АВ= {(a; b) | a A ,b B}.

Примеры:

1. Если А= {1}, B = {0, 5}, то АВ= {(1; 0), (1; 5)}.

2. Если А= {0, 2}, B = {0, 5}, то АВ= {(0; 0), (0; 5), (2; 0), (2; 5)}.

3. Если множество Асостоит из m элементов, а множество

---

В– из n элементов, то можно доказать, что множество АВсостоит из mn элементов. По этой причине в названии множества АВиспользуется термин “произведение”. Если А= B, то множество ААсостоит из элементов и называется декартовымквадратом множестваАи обозначается через .

Вслед за декартовым произведением двух можно ввести и декартово произведение

A1 … An = ( … ((A1 A2) A3)…)An) n множествA1 , … , An . Множество A...A, состоящее из n множителей А называется декартовой степенью множества A и обозначается .

Декартово произведение АВ= {(a; b) | a A b B} двух множеств Аи Виногда условно изображают на плоскости, трактуя компоненты упорядоченной пары (a; b) как координаты: a – координата по оси x, на которой отмечают множество А, а b – координата по оси y, на которой отмечают множество В. Таким образом, элементы (a; b) АB условно изображаются точками на плоскости с “координатами” a и b.

Особенно удобно графическое изображение декартова произведения АВ в случае, когда Аи В–числовые множества, т.е. АR, B R . Тогда изображение принимает не условный характер, а имеет вполне конкретный геометрический смысл: множество АВпредставляет из себя множество точек M(a; b) декартовой плоскости, первая координата а которых принадлежит множеству А, а вторая b – принадлежит множеству В.

---

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.Понятие высказывания. Операции над высказываниями
Под высказыванием понимают повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Примеры:

1. «Волга впадает в Каспийское море»‖ - истинное высказывание.

2. « » - ложное высказывание.

3. « » - не является высказыванием, т.к. истинность этого равенства

зависит от значения Х.

4. «Давайте, разберемся!» - не является высказыванием.

Высказывания обозначаются большими латинскими буквами А, В, C,… Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание. Эти операции означают соединение отдельных предложений связками «и», «или», «если…,то…», «тогда и только тогда, когда…» и присоединение к высказыванию частицы «не».

Конъюнкция высказываний.

Конъюнкцией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А˄В (читается «А и В»), которое истинно лишь в единственном случае, когда оба высказывания А и В истинны, и ложно во всех остальных случаях. Обозначим истинное высказывание – 1, а ложное - 0. В таблице 1 указаны значения истинности конъюнкции высказываний А и В.

Таблица 1 – Таблица истинности конъюнкции высказываний

А	В	А˄В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

---

Примеры:

1. Даны высказывания:

А: «Число 2- четное» – истинное высказывание

В: «Число 2-простое» – истинное высказывание

Тогда А˄В: «Число 2-четное и простое» – истинное высказывание

2. Даны высказывания:

А: « 3<12» – истинное высказывание

В: «12<10» – ложное высказывание

Тогда А˄В: «3<12<10» – ложное высказывание

Дизъюнкция высказывания.

Дизъюнкцией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А В (читается «А или В»), которое ложно лишь в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны, и истинно во всех остальных случаях.

В таблице 2 указаны значения истинности дизъюнкции высказываний А и В.

Таблица 2 - Таблица истинности дизъюнкции высказываний

А	В	А В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Примеры:

1. Даны высказывания:

А: «22 двузначное число» – истинное высказывание

В: «22 нечетное число» – ложное высказывание

Тогда А В: «22 двузначное или нечетное число» - истинное высказывание

2. Дано А В: «3≤3» - истинное высказывание

Тогда А: «3<3» ложное высказывание, В: «3=3» – истинное высказывание.

Вывод: Дизъюнкция нескольких высказываний истинна, если истинно хотя бы одно из этих высказываний.
Импликация высказываний.

Импликацией высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А В

---

(читается «если А, то В»), которое ложное лишь в одном случае, когда А - истинно, а В - ложно.

В таблице 3 указаны значения истинности импликации высказываний А и В.

Таблица 3 - Таблица истинности импликации высказываний

А	В	А В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Пример:

1. Даны высказывания:

А: «Последняя цифра числа 15 равна 5» - истинное высказывание

В: «Число 15 делится на 5» - истинное высказывание.

Тогда А→В: «Если последняя цифра числа 15 равна 5, то число 15 делится

на 5» - истинное высказывание.

Эквивалентность высказываний.

Эквивалентностью высказываний А и В называют новое высказывание, обозначаемое А↔В (читается «А тогда и только тогда, когда В»), которое истинно в том и только том случае, когда одновременно оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, а во всех остальных случаях – ложно.

В таблице 4 указаны значения истинности эквивалентности высказываний А и В

Таблица 4 - Таблица истинности эквивалентности высказываний

А	В	А↔В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Отрицание высказываний.

Отрицанием высказывания А называют новое высказывание обозначаемое

---

Смотрите также файлы

• Бизнесплан предпринимательского проекта открытие магазина косметических средств.docx

• В человеке рядом с философией присутствуют и другие деятельности.docx

• Практических заданий по дисциплине психокоррекция.docx

• Правила посадки в автобус.docx

• Занятие (2 часа).docx