МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тульский государственный университет»

Интернет-институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Математика»

Семестр 1

Вариант 5

Выполнил: студент гр. ИБ750621

Волкова Дарья

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д.В.

Тула, 2023

Задание 1. Для определителя∆ = найти дополнительный минор элемента α13.

Решение:

1. 
   Сперва запишем минор α13, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить α13 , вычеркнем из матрицы первую строку и третий столбец (именно на пересечении первой строки и третьего столбца расположен элемент α13). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор α13:
   

α13=

2. 
   Вычисляем минор: α13= = 4*(-1)*5+(-1)*1*4+1*(-1)*4-4*(-1)*4-(-1)*1*5-5*1*(-1)= -3
   

минор элемента α13= - 3

Задание 2. Найти матрицы [АВ], [ВА], [ ], если = ,

Решение:

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

1. 
   c₁₁ = a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ + a₁₃ * b₃₁ =1*(-1) + (-2)*2 + 5*1=(-1) - 4 + 5=0
   
   c₁₂ = a₁₁ *b₁₂ + a₁₂ *b₂₂ + a₁₃ * b₃₂ =1*1 + (-2)*3 + 5*(-2)=1 - 6 - 10=-15
   
   c₁₃ = a₁₁ * b₁₃ + a₁₂ * b₂₃ + a₁₃ *b₃₃ =1*1 + (-2)*3 + 5*(-1)=1 - 6 - 5=-10
   
   c₂₁ = a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁ + a₂₃ * b₃₁ =3*(-1) + 0*2 + 6*1=(-3) + 0 + 6=3
   
   c₂₂ = a₂₁*b₁₂ + a₂₂ * b₂₂ + a₂₃ * b₃₂ =3*1 + 0*3 + 6*(-2)=3 + 0 - 12=-9
   
   c₂₃ = a₂₁ * b₁₃ + a₂₂ * b₂₃ + a₂₃ * b₃₃ =3*1 + 0*3 + 6*(-1)=3 + 0 - 6=-3
   
   c₃₁ = a₃₁ * b₁₁ + a₃₂* b₂₁ + a₃₃ * b₃₁ =4*(-1) + 3*2 + 4*1=(-4) + 6 + 4=6
   
   c₃₂ = a₃₁ * b₁₂ + a₃₂ * b₂₂ + a₃₃ * b₃₂ =4*1 + 3*3 + 4*(-2)=4 + 9 - 8=5
   
   c₃₃ = a₃₁ * b₁₃ + a₃₂ *b₂₃ + a₃₃ * b₃₃ = 4 * 1 + 3* 3 + 4 * (-1) = 4 + 9 - 4 = 9
   

---

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁ *b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ + a₁₃ * b₃₁ =1*(-1) + (-2)*2 + 5*1=(-1) - 4 + 5=0

c₁₂ = a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂ + a₁₃ * b₃₂ =1*1 + (-2)*3 + 5*(-2)=1 - 6 - 10=-15

c₁₃ = a₁₁ * b₁₃ + a₁₂ * b₂₃ + a₁₃ * b₃₃ =1*1 + (-2)*3 + 5*(-1)=1 - 6 - 5=-10

c₂₁ = a₂₁ *b₁₁ +a₂₂ * b₂₁ + a₂₃ * b₃₁ =3*(-1) + 0*2 + 6*1=(-3) + 0 + 6=3

c₂₂ = a₂₁ *b₁₂ + a₂₂ * b₂₂ + a₂₃ * b₃₂ =3*1 + 0*3 + 6*(-2)=3 + 0 - 12=-9

c₂₃ = a₂₁ * b₁₃ + a₂₂ * b₂₃ + a₂₃ * b₃₃ =3*1 + 0*3 + 6*(-1)=3 + 0 - 6=-3

c₃₁ = a₃₁ * b₁₁ + a₃₂ * b₂₁ + a₃₃ * b₃₁ =4*(-1) + 3*2 + 4*1=(-4) + 6 + 4=6

c₃₂ = a₃₁ * b₁₂ + a₃₂ * b₂₂ + a₃₃ *b₃₂ =4*1 + 3*3 + 4*(-2)=4 + 9 - 8=5

c₃₃ = a₃₁ * b₁₃ + a₃₂ * b₂₃ + a₃₃ * b₃₃ = 4 *1 + 3 * 3 + 4 * (-1) = 4 + 9 - 4 = 9



Для вычисления обратной матрицы запишем матрицу А, дописав к ней справа единичную матрицу:



=

Задание 3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее по правилу Крамера

Решение:

1. 
   ∆ = =2
   
2. 
   ∆1= =6
   
3. 
   ∆2 = =-12
   
4. 
   ∆3 = =20
   
5. 
   Х₁= = = -3;
   

Х₂ = = = -6;

Х₃ =

---

= = 10;

Задача 4. Доказать, что векторы a b c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе: a 2,1,3,b 3,6,2, c 5,3,1, d 31,6,22.

Решение:

1. 
   Вычислим определитель матрицы:
   

2. 
   ∆ = -2∙((-6)∙(-1) - (-3)∙2) - 3∙(1∙(-1) - (-3)∙3) + -5∙(1∙2 - (-6)∙3) = -148
   

Определитель матрицы равен ∆ = -148

3. 
   Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор d можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁, α₂, α₃, что имеет место равенство:
   

d = α₁ε₁ + α₂ε₂ + α₃ε₃

4. 
   Запишем данное равенство в координатной форме:
   

(31;-6;22) = α(-2;1;3) + α(3;-6;2) + α(-5;-3;-1)

5. 
   Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
   

(31;-6;22) = (-2α₁;1α₁;3α₁;) + (3α₂;-6α₂;2α₂;) + (-5α₃;-3α₃;-1α₃;)

(31;-6;22) = (-2α₁ + 3α₂ -5α₃;1α₁ -6α₂ -3α₃;3α₁ + 2α₂ -1α₃)

6)По свойству равенства векторов имеем:

-2α₁ + 3α₂ -5α₃ = 31

1α₁ -6α₂ -3α₃ = -6

3α₁ + 2α₂ -1α₃ = 22

7)Решаем полученную систему уравнений методом Крамера.



d= 3ε₁ + 4ε₂ -5ε_3З

Задача 5. Вершины пирамиды находятся в точках А(5,2,4), В(−3,5,−7), С(1,−5,8), D(9,−3,5). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение:

V=

h_c=

Задача 6.Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через точки M1,M2,M3, если М₁(-2,-1,-1) М₂(0,3,2) М₃(3,1,-4)М₀(-21,20,-16)

Решение:

1)Найдем уравнение плоскости:





10(x+2)+21(y+1)-16(z+1)=0

10x+21y-16z=0

2. 
   Расстояние от точки до плоскости:
   

P=
Задача 7.Написать канонические уравнения прямой 6x -5y - 4z +8 = 0, 6x + 5y + 3z + 4 = 0.

---

Решение:



Любое решение системы: X=0: +

-z+12=0

z=12

5y+36+4=0

y=8

Направляющий вектор прямой:

P= = = -j +k =5

Каноническое уравнение:



Задача 8. Найти точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями, и плоскости



Решение:



7(-t+3)+(5t+4)+4(2t+4)-47=0 t=1



(2;9;6)

Задача 9. Вычислить предел =
Задача 10. Вычислить предел = = = = 0,2

Задача 11. Вычислить предел = =

Задача 12. Вычислите предел = = = -2

Задача 13. Вычислите предел

---

= = = е10

Задача 14. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x₀

Y=x+ , x₀=1

1. 
   Запишем уравнения касательной в общем виде:
   y_k = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)
   По условию задачи x₀ = 1, тогда y₀ = 2
   
2. 
   Теперь найдем производную:
   = 2,5
   
3. 
   В результате имеем:
   y_k = y₀ + y(x₀)(x - x₀)
   у_к=2+
   или
   у_к=5
   
4. 
   Запишем уравнения нормали в общем виде:
   у_n=y₀- ₀)
   
5. 
   В результате имеем:
   y_n=2-
   или
   y_n=
   

Задача 15. Найти дифференциал функции в точке с абсциссой х₀

y= , x=0

y = = y= = = = =0

---

Смотрите также файлы

• А тест по теме.doc

• Ф. Тейлор как основоположник научного менеджмента.docx

• Отразить в бухгалтерском учете организации прочие доходы и расходы, не относящиеся к обычным видам деятельности.docx

• Практическое задание 31. 1.docx

• Snapping turtle, why can it be dangerous.docx