Файл: ТВ лек1.doc

Доказательство:

А=В+(А-В);

Р(А)=Р(В)+Р(А-В); а это влечет:

Р(А-В)=Р(А)-Р(В). ƒ

8. Аксиома непрерывности.

Функция множеств Р(А) - непрерывна. Если А_n есть монотонно возрастающая последовательность множеств: A₁ÌA₂ÌA₃...ÌA_nÌ... и , , тогда

Доказательство: Согласно определению:

Если А₀=Æ

—

Определение вероятности, как меры измеримого пространства событий, позволяет по заданным (или определенным из эксперимента) вероятностям одних событий находить вероятности других более сложных событий, используя действия над событиями и свойства вероятности. Однако, данное определение не задает конкретную величину вероятности событий. Её можно определить теоретически лишь в некоторых частных случаях, и в общем случае - оценить экспериментально. Рассмотрим частные случаи, в которых вероятности событий можно рассчитать теоретически.

Классическое определение вероятности

Это определение используется, когда число возможных исходов опыта конечно и каждый исход равновозможен (например, при подбрасывании игральной кости).

Пусть W состоит из n равновозможных в данном опыте элементарных событий, т.е. Р(w_i)=р, где w_i – элементарное событие, . Элементарные события несовместны и образуют полную группу событий, поэтому = W и Р()==np; P(W)=1, откуда.

Вероятность любого события А, которому соответствует в пространстве элементарных событий некоторое подмножество А, содержащее n_A исходов, определится следующим образом: А={w_i}, . Тогда

, т.е.

(1)

Это классическое определение вероятности.

Вероятность некоторого события А есть отношение числа исходов n_A, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу возможных исходов n.

Классическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

1. ;

2. ;

3. Если А и В несовместны и они имеют n_A и n_B благоприятствующих исходов соответственно, то .

Итак, классическое определение вероятности является частным случаем аксиоматического определения. Для подсчета числа исходов n и n_A используют комбинаторику.

При этом необходимо, чтобы обязательно выполнялись условия применимости классического определения: конечное число равновозможных исходов в опыте.

Пример 1: В урне находится m белых шаров и k красных. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынут белый шар. А={вынут белый шар}.

Решение: Общее число равновозможных исходов опыта n=m+k. Число исходов, благоприятствующих А, n_A=m ,

Пример 2: Одновременно подбрасывается две монеты. Найти вероятность события А={хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение: Кажется, что в опыте три возможных исхода: {два герба}, {две решки}, {герб и решка}. Однако, эти события не равновозможны: последнее вдвое вероятнее первых двух, так как герб и решка могут появиться на разных монетах. Равновозможные исходы: {г,г}, {р,р}, {г,р}, {р,г}, n=4. Исходы приводящие к событию А: {г,г}, {г,р}, {р,г} n_A=3,

---

Р(А)=0.75

Лекция № 3

Геометрическое определение вероятности

Это определение используется, когда опыт имеет несчетное множество равновозможных исходов. В этом случае пространство элементарных событий можно представить в виде некоторой области G. Каждая точка этой области соответствует элементарному событию. Попадание «наугад» брошенной точки в любое место области G равновозможно. Если некоторому событию А соответствуют точки, составляющие некоторую область С внутри G, то

(2),

где mes G - мера области G (под мерой понимается длина, площадь, объем и т.п.).

Геометрическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова и является частным случаем аксиоматического определения.

Пример: Два лица X и Y условились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого 20 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что они встретятся, если моменты их прихода независимы и равновозможны в течении часа.

Решение: Пусть x и y - моменты прихода X и Y

соответственно относительно 12 часов, y

т.е. хÎ[0,60], уÎ[0,60]. Всё пространство

элементарных равновозможных исходов можно 60

представить в виде внутренних точек квадрата G G

(см. рис.). Событие А={встреча состоялась} С

произойдет, если |x-y|£20

Точки, соответствующие этому событию 0 20 60 х

образуют заштрихованную область С

Статистическое определение вероятности

(Статистическая оценка вероятности)

Рассмотренные выше частные случаи расчета вероятности встречаются далеко не всегда. Наиболее часто имеют место более сложные случайные явления с неравновозможными исходами в опыте. Наблюдая за такими явлениями в многократно повторяющемся опыте, можно установить, что существует объективная характеристика степени возможности появления случайного события (вероятность), которая проявляется в частоте появления события.

Частота появления события. Многократно производится опыт (m раз). Некоторое событие А появилось раз. Частота появления события /m. При m>>1 частота сохраняет почти постоянную величину. На этом основано статистическое определение вероятности:

(3)

Эта вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова и пригодна во всех случаях. Хотя выражение (3) пригодно во всех случаях, однако его нельзя использовать как определение понятия вероятности, т.к. 1) до проведения опытов нельзя утверждать, что существует вероятность. 2) нельзя вводить характеристику некоторого явления на основе предельного перехода. Статистическое определение вероятности - это способ экспериментальной оценки объективно существующей вероятности.

Что же отражает, от чего же зависит эта объективно существующая характеристика случайного события - вероятность? Опыт, в котором может появиться случайное событие, заключается в наблюдении за некоторым явлением при определенных, фиксированных условиях. Если изменятся условия опыта, то изменится и вероятность появления события. Можно сказать, что вероятность отражает объективно существующую связь между условиями опыта (эксперимента) и случайными событиями.

---

Условная вероятность

Определение: Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р) и на нем произвольные события А и В . Если Р(В)>0, то условная вероятность события А при условии, что произошло событие В есть

(1)

Поясним смысл условной вероятности. Вероятность события А - это мера объективной возможности данного события при определенных условиях опыта. Совокупность условий, определяющих опыт, обозначим g. (В опыте с подбрасыванием монеты g определяется формой монеты, высотой подбрасывания и т.п.). Таким образом, вероятность события А можно записать так:

Р(А)=Р(Аïg).

Эта запись указывает зависимость вероятности от совокупности условий опыта. Обычно условия опыта g в обозначениях вероятности не используются, они оговариваются при проведении опыта. Р(А) называют безусловной вероятностью события А. Допустим, что при данных условиях g произошло событие В. Наступление В можно считать дополнительным условием. Вероятность наступления А при совокупности условий (g,В) и есть условная вероятность

Р(А/В)=Р(А/g,В).

Вероятность событий при фиксированной совокупности условий g в отличие от условной вероятности называется безусловной. Разница между условной и безусловной вероятностями состоит лишь в различии совокупности условий. Безусловная вероятность есть частный случай условной, если условие В - достоверное событие.

Условная вероятность (1) удовлетворяет аксиомам Колмогорова.

1. Р(А/В)³0, т.к. Р(АВ)³0 и Р(В)>0;

2. P(W/B)=1, т.к. P(W/B)=;

3. Если AÇC=Æ, то P((A+C)/B)=P(A/B)+P(C/B). Действительно, Р((А+С)/В)=

Свойства условных вероятностей

1. Р(В/В)=1

Доказательство: Р(В/В)=

2. P(Æ/B)=0

Доказательство: Р(Æ/В)=

3. Если ВÌА, то Р(А/В)=1

Доказательство: Р(А/В)=

4. Р(А/В)+Р( /В)=1

Доказательство:

5. P(AÈC/B)=P(A/B)+P(C/B)- P(AC/B)

Доказательство: Представим в виде несовместных событий

АÈС=А+ С; C=AC+C, тогда

P(АÈС/B)= P(А/B)+ P( С/B) и P(С/B)= P(АС/B)+ P( С/B),

откуда P(АÈС/B)= P(А/B)+ P(С/B)- P(АС/B).

Теорема 1. (Теорема умножения вероятностей)

Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р). На нем определены события А, В такие, что Р(А)>0 и P(B)>0. Тогда вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий и условной вероятности другого при условии, что первое произошло.

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) (2)

Доказательство: По определению условной вероятности:

P(A/B)=P(AB)/P(B) и P(B/A)=P(AB)/P(A), откуда

P(AB)=P(A)P(B/А)=Р(В)Р(А/В).

Замечание: Формула (2) применима и том случае, если одно из событий невозможное, например, Р(А)=0, тогда Р(А/В)=0 и Р(АВ)=0.

Теорема 2: (Обобщение теоремы умножения на n событий).

Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р), на котором определены события А₁, А₂,..., А_n . Для этих событий Р(А_i)>0.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

---

P(A₁A₂...A_n)= P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)...P(A_n/A₁A₂...A_n-1) (3)

Доказательство: Обозначим . Тогда P(A₁A₂...A_n)= P(A₁В₂). По теореме 1 имеем:

P(A₁B₂)= P(A₁) P(B₂/A₁)= P(A₁) P(A₂B₃/A₁)= P(A₁)P(A₂/A₁)P(B₃/A₁A₂) = = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃B₄/A₁A₂)=...= =P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂)...P(A_n/A₁...A_n-1) €

Независимые события

Определение: Пусть имеется вероятностное пространство (W,F,Р). События А и В (АÎW и ВÎW) называются статистически независимыми, если

P(AB)=P(A)P(B) (1)

(обычно слово «статистически» опускается и говорят, что А и В независимы, если (1) верно)

Свойства независимых событий

1. Если Р(В)>0, то для независимых событий А и В

Р(А/В)=Р(А) (1’)

Доказательство:

–

Замечание: Иногда определение независимости событий дают на основе (1’). События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

2. Если А и В независимы, то независимы и и В; А и ; и .

Доказательство: Докажем первое утверждение.

P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(B)P(A)=

=P(B)(1-P(A))=P(B)P( ).

Доказательство второго утверждения аналогично. Докажем третье утверждение.

P( )=P()=1-P(AÈB)=1-P(A)-P(B)+P(AB);

P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(AB)

Сравнивая эти равенства, видим, что у них одинаковы правые части, следовательно

Р( )=Р( )Р( ) –

3. Пусть А и В₁ независимы, А и В₂ независимы, причем В₁В₂=Æ, тогда А и В₁+В₂ - независимы.

Доказательство:

P(A(В₁+В₂))=P(AВ₁+ AВ₂)= P(A)P(В₁)+P(A)P(В₂)=

=P(A)(P(В₁)+P(В₂))=P(A)P(В₁+В₂) –

4. Два несовместных события всегда зависимы, т.к. появление одного исключает появление другого

Если А и В несовместны (АВ=Æ), причем P(А)>0, P(B)>0, то Р(А/В)=Р(В/А)=0.

Доказательство: P(A/B)= …

Независимость событий в совокупности: События А₁,А₂,..., А_n называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

P(А₁А₂...А_n)=P(А₁)P(А₂)...P(А_n)

или короче, пользуясь знаком произведения:

Т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Лекция № 4

Формула полной вероятности.

Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n, вероятности которых известны Р(B_i), . Событие А может появиться при появлении одного из событий B_i, причем условные вероятности Р(А/B_i) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:

(1)

1. - формула полной вероятности.

Доказательство: Событие А можно представить

А=АW=А( )= ,

т.к. B_i - несовместны, то АB_i - тоже несовместны, поэтому

Р(А)= =€

Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?

Решение: Обозначим: B_i={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/B_i) зависят от того, как разложены шары:

---

1) Все шары положены в одну урну

Р(А/B₁)=2/4=1/2, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4

2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.

3. В каждой урне по одному белому и одному черному шару.

Р(А/B₁)=Р(А/B₂)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2

4. В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.

Р(А/B₁)=0, Р(А/B₂)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3

5. В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3

Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.

Формула Байеса

Теорема 4. Пусть имеется полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n. Известны Р(B_i), . Событие А, для которого Р(А)>0 может произойти толь с одним из . Известны Р(А/ B_i), . Тогда апостериорная вероятность Р(B_k/А) определяется формулой:

(2)

Доказательство По определению

На основе формулы полной вероятности получаем:

.‹

2. - формула Байеса.

Вероятности Р(B_k) называются априорными (a priori - до опыта) вероятностями; Р(B_k/А) - апостериорными (a posteriori - после опыта). События B_i часто называют гипотезами.

Пример. В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью белый или черный. В урну кладут белый шар, перемешивают и вынимают наудачу шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение: Обозначим событие А={вынут белый шар}

B₁={в урне остался белый шар}={в урне был белый шар}; B₂={в урне черный шар}. Очевидно, Р(B₁)=Р(B₂)=1/2; P(A/ B₁)=1; P(A/ B₂)=1/2. Необходимо найти Р(B₁/А).

По формуле Байеса:

Ответ: Р(B₁/А)=2/3

Таким образом, апостериорная вероятность события B₁ существенно больше априорной.

Схема независимых испытаний Бернулли

Независимость опытов (испытаний, экспериментов). Пусть имеется два произвольных опыта G₁ и G₂ и соответствующие им вероятностные пространства: <W₁,F₁,P₁> и <W₂,F₂,P₂> . Рассмотрим составной эксперимент G с вероятностным пространством <W,F,P>, где W=W₁´W₂ - прямое произведение W₁ и W₂, а s-алгебра F порождена событиями ВÎF, где В=В₁´В₂, В₁ÎF₁, В₂ÎF₂ .

Замечание: Прямым произведением W=W₁´W₂ называется множество W, элементами которого являются упорядоченные пары элементов пространств W₁ и W₂; т.е. если W₁={w_i⁽¹⁾}, a W₂={w_j⁽²⁾}, то W={w_i⁽¹⁾ w_j⁽²⁾}, где w_i⁽¹⁾ и w_j⁽²⁾ - любой элемент W₁ и W₂ соответственно.

Испытания G₁ и G₂ независимы, если для любых В=В₁´В₂ выполняется равенство: Р(В)=Р₁(В₁)Р₂(В₂).

Последовательность n испытаний G₁, G₂,..., G_n называется независимой, если Р(В)=Р₁(В₁)Р₂(В₂)...Р_n(В_n), где В=В₁´В₂´...´В_n , В_к ÎF_к, <W_к,F_к,P_к> - вероятностное пространство, соответствующее k-му эксперименту.

Схема независимых испытаний Бернулли: Рассмотрим n независимых испытаний G_k, . В каждом из этих испытаний событие А может появиться с одной и той же вероятностью Р(А)=р и не появиться с вероятностью q=1-p=P(). Такая совокупность испытаний называется схемой независимых испытаний Бернулли.

Вероятность появления в n испытаниях события А m раз. Рассмотрим вероятностное пространство отдельного эксперимента <W_к,F_к,P_к>, где W_к={A, } - пространство элементарных событий. Совокупность n - испытаний представляет собой составной эксперимент с вероятностным пространством <W,F,P>, где W={w_i}- пространство элементарных событий, элементы которого w_i -и упорядоченные совокупности из n элементов А и :

---