Лекция № 6

Функция распределения случайной величины.

Её свойства

Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины, Для непрерывной случайной величины ряд и многоугольник распределения не может быть построен, так как множество возможных значений такой величины несчётно. Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (дискретных и непрерывных) является функция распределения.

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), заданная на всей числовой оси и представляющая собой вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем заданное х:

F( х ) = Р( Х<х ), хÎ(+ ¥, -¥ ) (1)

Геометрически функция распределения ( ф.р. ) интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадает левее заданной точки х ( на рис.1 соответствующая часть оси абсцисс, т.е. множество точек, представляющее событие {X<x} , отмечена штриховкой ).

Х<x

х

0 х

Рис.1

Свойства функции распределения

1). F(x)³0 . Сразу следует из определения .

2). F(x) - неубывающая функция своего аргумента , т.е. при х₁<x₂ F(x₁)£F(x₂) .

Доказательство: Рассмотрим на оси абсцисс две точки х₁ и х₂ , причём х₂>x₁ .

А В

0 x₁ x₂ x

C

Рис.2

Представим событие С={X<x₂} как сумму двух несовместных событий: С=А+B, где

А={X<x₁}, B={x₁£X<x₂}

По теореме сложения :

Р(С)=Р(А)+Р(В) ,т.е.

Р{Х<x₂}= P{X<x₁} + P{x₁£X<x₂}, или

F(x₂)= F(x₁) + P{x₁£X<x₂}, или

P{x₁£X<x₂}= F(x₂) - F(x₁)

Но Р{x₁£X<x₂} как всякая вероятность не может быть отрицательной, следовательно, F(x₂)³F(x₁) ˜

3). P(a£X<b) = F(b) - F(a)

Доказательство: Представим случайное событие в виде :

{X<b} = {X<a} + {a£X<b}

P{X<b} = P{X<a} + P{a£X<b}

Т.к. по определению:

P{X<a}=F(a) и P{X<b}=F(b), то

P{a£X<b} = F(b) - F(a)

т.е. вероятность того , что случайная величина Х в результате опыта попадёт на участок [a,b), включая а равна приращению функции распределения на этом участке. ‚

4) . F(x) непрерывна слева

Доказательство. Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность значений х₁<x₂<...<x_n<..., сходящуюся к х₀, т.е. х_n®x_0. Обозначим через А_n событие {x_n£X£x₀},т.е. А_n={x_n £ X £ x₀}. Ясно, что А_i Ì A_j , при i>j и произведение всех событий A_n есть невозможное событие - Æ. По аксиоме непрерывности при n ®¥ должно быть lim P (A _n) =P (Æ) =0. С другой стороны

–

5). ,

Доказательство: Рассмотрим случайное событие {X<x}®{X<-¥}= Æ, x®-¥ это событие невозможное P{X<x}®P{Æ}=0, x®-¥, отсюда

Далее {X<x}®{X<+¥}=W - достоверное событие

^x®+¥

P{X<x}®P{W}=1, или по определению

^x®+¥



Итак, функция распределения F(x) любой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значения которой заключены между 0 и 1: 0£F(x)£1, причём F(+¥)=1, F(-¥)=0. В отдельных случаях эта функция может иметь скачки (разрыв первого рода), на некоторых участках она может быть постоянной, на других монотонно возрастать (см. рис.3) Зная функцию распределения случайной величины Х, можно вычислять вероятности любых событий.

---

F(x)

1

0 x

Рис.3. Вид функции распределения.

6). Функция распределения (ф.р.) может иметь не более, чем счётное число скачков.

Скачком ф.р. в точке х₀ называется разность F(x₀)-F(x₀-0)=C₀>0, C₀< ¥. Здесь х₀ - точка разрыва

7). Функция распределения дискретной с.в. меняется скачком на величину р_i в точках всевозможных значений с.в. Х=х_i, и остаётся постоянной вне этих точек.

Итак, видим, что каждая функция распределения F(x) является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условию F(-¥)=0 и F(+¥)=1; 0£F(x)£1 функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Функция распределения дискретной

случайной величины

Зная ряд распределения дискретной случайной величины легко построить её функцию распределения, и обратно.

Мы это рассмотрим на примере 1. Ряд распределений для случайной величины Х - число работающих технических устройств - имеет вид

0	1	2	3
0.24	0.46	0.26	0.04

Будем задаваться различными значениями х и находить для них F(x)=P{X<x}

1. Пусть х£0, F(x)=0, т.к. число работающих ТУ не может быть отрицательным и F(x)=0 для любого х£0 (включая 0).

2. Пусть 0<x£1, (x=0.5), F(x)=P{X=0}=0.24;

3. Пусть 1<x£2, (x=1.75), F(x)=P{X<x}=P{X=0}+P{X=1}=0.24+046=0.7. Очевидно, что F(2)=0.70

4. Пусть x>3, F(x)=P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=0.24+0.46+0.26+0.04=1

Изобразим функцию F(x) на графике.

F(x)

1

0.04

0.24

0.5

0.46

0 1 2 3 x

Рис. График функции F(x).

Функция F(x) показана жирными линиями, точки - значения F(x) в точках разрыва. (F(x) -непрерывна слева, т.к. при подходе к точке разрыва сохраняет свое значение.)

F(x) имеет четыре скачка, которые происходят в точках, отвечающих четырем возможным значениям случайной величины, и по величине равны вероятности этих значений. Между скачками F(x) сохраняет постоянное значение. Эти особенности имеют общее значение, а именно: функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятности этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.

Примеры законов распределения дискретной

случайной величины. Распределение Пуассона

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения: 0,1,2,...,m,... (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

p_m=P{X=m}=

xi	0	1	2	. . .	m	. . .
pi	p0	p1	p2	. . .	pm	. . .

---

Функция распределения:

Этот закон распределения описывает число редких событий, появившихся к данному моменту времени. Многие физические явления приводят к этому закону распределения, например: вылет электронов из катода, распределение числа телефонных вызовов за время t.

Непрерывная случайная величина.

Плотность распределения.

Пусть дискретная случайная величина Х имеет много возможных значений, расположенных близко друг к другу на числовой оси. Посмотрим функцию распределения F(x). По мере увеличения числа значений и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится все больше, а сами скачки все меньше. Ступенчатая линия функции распределения F(x) приближается к плавной непрерывной. Идеализацией является случай, когда функция F(x) непрерывна. Случайную величину Х назовем непрерывной, если ее функция распределения не только непрерывна в любой точке, но и дифференцируема всюду, кроме тех точек, где она терпит излом. Т.к. для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю P{X=a}=0 для любого a.

Для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятности между ее значениями. Для непрерывной случайной величины имеет смысл плотность распределения или плотность вероятности.

Используя механическую интерпретацию распределения вероятностей для дискретных случайных величин, представим, что масса, равная единице, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно “размазана” по оси абсцисс Ох с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины Х на любой участок Dх будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок. Средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. На участке [x, x+Dх) средняя плотность будет равна: P{x£X£ x+Dх}/ Dх. Вероятность попадания случайной величины Х на участок [x, x+Dх) равна приращению функции распределения на этом участке; поэтому средняя плотность на участке от х до x+Dх будет равна

Переходя к пределу при Dх®0, получим плотность в точке х

(1)

а это производная функции распределения.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности, или плотностью) непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначение - f(x)

(2)

Про случайную величину Х говорят, что она распределена с плотностью f(x); имеет распределение с плотностью f(x). f(x) существует только для непрерывных случайных величин.

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения. Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с плотностью f(x) и элементарный участок dx, примыкающий к точке х (рис.1)

---

f(x) f(x)

dx f(x)

x

0 x 0 a b x

Рис.1. Рис.2.

x

0 x

Рис.3.

Вероятность попадания случайной величины Х на участок dx равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности для точки х. Геометрически элемент вероятности приближенно равен площади элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx. Очевидно, что вероятность попадания случайной величины на участок (a,b) равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу

(3)

т.е. эта вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на участок (a,b) [заштрихована на Рис.2.]

Формула (3) дает возможность выразить функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x)

(4)

В геометрической интерпретации функция распределения равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (на Рис.3. эта площадь заштрихована)

---

Смотрите также файлы

• ТВ лек2.doc

• ТВ лек1.doc

• Лекция 4.doc

• Tamozhennoe_pravo_VSYo.doc

• Историческая.Glava3.doc