1.3.2 Теорема Лапласа для вычисления определителя квадратной матрицы.

- Минор элемента а_ij, М_ij

Минором элемента а_ij квадратной матрицы n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученного путем вычеркивания i-ой строки и

j-ого столбца.

А= М₁₃= М₂₂= М₃₂=

- Алгебраическое дополнение элемента a_ij, A_ij

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матрицы n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

A_ij=(-1)^i+jM_ij

А= А₁₃=(-1)¹⁺³ А₂₂=(-1)²⁺²М₂₂=120=20

- Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in=

Пример 2. Вычислить определитель:

Решение:

Для вычисления данного определителя воспользуемся теоремой Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов, какой либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Для более удобного вычисления выполним элементарные преобразования: умножим элементы 1-ой строки на 1, (-2), (-1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, добиваемся того, чтобы все элементы 3-его столбца(кроме а₁₃) равнялись нулю и разложим определитель по элементам 3-его столбца:

Для вычисления последнего определителя воспользовались правилом треугольника.

Ответ: определитель матрицы равен - 9.

2.3 Метод обратной матрицы.

Обозначим через матрицу А матрицу системы (1.2), составленную из коэффициентов при неизвестных, через Х – матрицу – столбец из неизвестных, через В – матрицу- столбец из свободных членов:

.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если

А^-1·А=А·А^-1 =Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Определение. Матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е.

Каждая невырожденная матрица А имеет обратную, причем

,

где А₁₁, А₁₂, …А₃₃ – алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Систему (1.2) можно записать в матричной форме: А·Х=В.

Умножим слева на А^-1 обе части этого равенства, получим:

А^-1·А·Х = А^-1·В. Так как А^-1·А=Е, имеем Х= А^-1·В – это решение системы в матричном виде. Следовательно, матрица – решение Х находится как произведение А^-1 и В.

Пример. Решить систему методом обратной матрицы:

Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ=В. Чтобы решить матричное уравнение, составим матрицу обратную матрице А.

Чтобы определить, имеет ли матрица А обратную нужно найти её определитель. Если _А,0, то матрица А имеет обратную матрицу А

т. к. определитель матрицы А |А| О, то матрица А имеет обратную матрицу А^-1

Составим транспонированную матрицу:

Найдем алгебраические дополнения для Аij по формуле:
Аij=(-l)^i+j • М_:/, где М_ц – минор. Минором М_ц называется определитель матрицы, полученный путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Из алгебраических дополнений составим присоединённую матрицу

---

Находим обратную матрицу по формуле

Можно проверить правильность составления обратной матрицы

А ^-1 • А = Е:

Теперь по формуле Х=А^-1В находим матрицу Х

Получили решение (1;1;1)

2.4 Метод Гаусса.

Рассмотрим решение системы методом Гаусса на конкретном примере:

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних, находятся все остальные.

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных и свободных членов, поменяв первую и вторую строку, чтобы а₁₁=1

Умножим элементы первой строки на -2 и прибавим к соответствующим элементам второй строки, умножим элементы первой строки на -7 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. В результате получим в первом столбце, во второй и третьей строке 0

Умножим элементы второй строки на -9 а элементы третьей на 5 и полученные элементы второй строки прибавим к соответствующим элементам третьей строки, тогда получим:

Запишем преобразованные уравнения:

Теперь можно найти значения переменных, подставляя последовательно значение х₃ во второе уравнение, найдем х₂, подставим значения х₂ и х₃ в первое уравнение найдем х₁

Ответ: (1;1;1)

2.4 (а) Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти одно из базисных решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду.

r(A)=2, число переменных n=4, следовательно система имеет бесконечное множество решений.

Определитель при переменных х₁ и х₂ , следовательно их можно взять за основные. Остальные, неосновные переменные х₃ и х₄ переносим в правые части уравнений:

Нашли общее решение системы. Чтобы найти базисное решение приравняем свободные переменные нулю, т.е.х₃=х₄=0. Получим базисное решение (-9;5; 0;0)

§ 3 Элементы векторной алгебры

3.1 Определения и основные понятия

Вектором называется направленный отрезок, он обозначается двумя буквами или одной .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Координатами вектора в декартовом базисе называются его проекции на оси координат. Обозначим координаты вектора через х, у,z получим следующее представление вектора в координатной форме:

В координатной форме сокращенно вектор можно записывать следующим образом .

Если вектор задан координатами начала и конца М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂), то координаты вектора = (х₂ – х₁,у₂ – у₁, z₂ - z₁).

Длина вектора (модуль) находится по формуле:

.

3.2 Действия над векторами

Если векторы и заданы координатами, то сумму и разность векторов, произведение вектора на число можно найти по формулам:

При умножении вектора на число получаем вектор коллинеарный данному, следовательно, можно сделать вывод:

---

Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними .

Если векторы заданы координатами, то .

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами: .

Векторы перпендикулярны если их скалярное произведение равно

нулю .

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:

1. вектор перпендикулярен векторам и ;

2. вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах

3. векторы а,в,с образуют правую тройку.

z

Е

x

y

O

сли векторы и заданы координатами,

то

Согласно определению, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения: , где S_Δ – площадь треугольника, построенного на векторах и .

3.3 Пример: Найти площадь треугольника, построенного на векторах и угол между ними.

Чтобы найти площадь треугольника, найдем векторное произведение векторов и

Чтобы найти угол между двумя векторами, воспользуемся формулой:

.

§ 4 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Прямая линия.

Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х и у

Ах + Ву + С =0,

где А и В одновременно не равны нулю, определяют прямую в этой системе координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: ,

где - угловой коэффициент, α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, - величина отрезка, отсекаемого на оси ОУ.

- уравнение пучка прямых, проходящих через точку М₀(х₀;у₀).

- уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂).

Пусть даны две прямые:

у=к₁ х+в₁ общее уравнение А₁х + В₁у +С₁ = 0

у=к₂х + в₂ общее уравнение А₂х +В₂у + С₂ = 0.

Угол между данными прямыми определяется по формуле

.

Условие параллельности прямых:

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, коэффициенты при переменных общих уравнений пропорциональны

т.е.

Условие перпендикулярности прямых:

Две прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по значению и противоположны по знаку, сумма произведений коэффициентов при переменных общих уравнений равна нулю т.е.

.

Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости заданы точка М₀(х₀;у₀ ) и прямая Ах + Ву + С = 0. Под расстояни­ем от точки М₀ до прямой Ах + Ву + С = 0 при­нимается длина перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на прямую. Данное расстояние можно определить по формуле:

Пример: Даны вершины А(2; 1), В(6; 3), С(4; 5) треугольника.

Найти:

1. уравнение и длину стороны АВ;

2. уравнение высоты, проведенной из вершины С;

3. уравнение медианы, проведенной через вершину С;

4. длину высоты, опущенной из вершины С;

5. величину внутреннего угла А;

6. площадь треугольника АВС.

---

Сделать чертеж.

Решение.

Сделаем чертеж :

y

C

B

D

A

M

x

9

1) Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками

А и В.

.

Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой проходящей через две точки.

.

2) Уравнение высоты, проведенной из вершины С можно найти по формуле уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку и так как СD перпендикулярно АВ а угловой коэффициент АВ можно найти .

Тогда у – 5 = - 2(х - 4), или 2х + у – 13 = 0.

3) Для определения уравнения медианы СМ найдем координаты точки М, которая делит отрезок АВ пополам

Медиана СМ проходит через две точки С(4; 5) и М(4; 2). Так как абсциссы этих точек равны можно сделать вывод, что прямая СМ параллельна оси ОУ и ее уравнение имеет вид х = 4.

4. Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины С, воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой АВ имеет вид х – 2у = 0, С(4; 5).

.

5) Величину внутреннего угла А найдем как угол между двумя прямыми АС и АВ. Уравнение прямой АВ известно, оно имеет вид х – 2у = 0. Составим уравнение прямой АС, воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки: .

.

6) Чтобы найти площадь треугольника воспользуемся формулой

---

Смотрите также файлы

• Примерный перечень вопросов.doc

• Вопросы к зачёту.docx

• К.Р.docx

• Договор на запись аранжировка.doc

• Контрольная работа по физике.docx