1. Пределы.

1.1. Определение. Пусть функция у = (х) определена в окрестности точки х₀. Число А называется пределом функции у = (х) в точке х₀, если для любого >0 (сколь угодно малого), найдется >0( =()) такое, что для всех хх₀ удовлетворяющих неравенству х-х₀ выполняется неравенство (х) - А.

Если число А является пределом функции у = (х) при х стремящемуся к х₀, то пишут: .

1.2. Основные свойства пределов.

Покажем наиболее важные для практики пределы:

1. Если функция у = (х) определена в точке х=х₀, то ;

2.Функция (х) называется бесконечно малой при хх₀, если ;

3.Функция  (х) называется бесконечно большой при хх₀, если

4.Если (х) бесконечно малая величина, т с/(х) бесконечно большая величина, если  (х) бесконечно большая величина, то с/ (х) бесконечно малая величина (с – любое действительное число);

5. - первый замечательный предел;

6. - второй замечательный предел.

При нахождении предела функции могут получаться неопределенности вида( ), , ( ), (0 ) ,( ).Чтобы устранить неопределённость 1-ого вида разделите числитель и знаменатель дроби на степень с наивысшим показателем, найти полученный предел.

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
1	Подставить предельное значение n в выражение
2	Определить вид неопределённости
3	Находим степень с наивысшим показателем	Х3
4	Делим числитель и знаменатель дроби на n3

Чтобы устранить неопределённость 2-ого вида надо умножить и разделить разность на сопряжённое выражение, выполнить преобразования и найти предел.

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
1	Подставить предельное значение n в выражение
2	Определить вид неопределённости
3	Умножаем и делим на сопряжённое выражение
4	Найти предел полученного выражения

Чтобы устранить неопределённость 3-его вида можно разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

Найти предел:

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
1	Подставить предельное значение х в выражение	=
2	Определить вид неопределённости
3	Разложить и числитель, и знаменатель дроби на множители	= =
4	Сократить дробь	=
5	Подставить предельное значение х в сокращенную дробь

№	Алгоритмы	Выполнение соответствующего алгоритма
1	Подставить предельное значение х в выражение	= =
2	Определить вид неопределённости
3	Умножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженные выражения	=
4	Выполнить преобразования
5	Подставить предельное значение х в сокращенную дробь

---

Применение первого замечательного предела:

1-ый замечательный предел:

Найти пределы:1) ; 2) ; 3) ;

4)

Решение: 1) Сделаем замену y=ax; тогда y0 при х0 и =

2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х и воспользуемся предыдущим пределом:

= .

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференциал функции двух переменных.

2.1. Производная функции и ее геометрический смысл.

Рассмотрим функцию у = (х) непрерывную в точке х₀. Дадим х приращение х, тогда у получит приращение у.

Предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х в точке х при стремлении х к нулю, называется производной функции у = (х) в этой точке, если этот предел существует.

.

Если указанный предел существует, то функцию у = (х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной – дифференцированием.

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции у = (х) в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М(х₀;у₀) к графику функции у = (х): , то есть угловому коэффициенту касательной.

Уравнение касательной к графику функции у = (х) в точке М(х₀;у₀) имеет вид .

Уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) к графику функции у = (х) в точке М(х₀;у₀) имеет вид .

2.2.Правила дифференцирования. Дифференциал функции.

Пусть с – const, u=u(x), v=v(x) некоторые дифференцируемые функции. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

5. Если у=((х)) – сложная функция, тогда её производная равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции, то есть .

2.3. Таблица производных основных элементарных функций:

(С)=0

(х)=1

(u^)=u^-1u

(a^u)= a^u lna u , (e^u)= e^u u

(log_a u)= ,

(sin u)=cosu ·u

(cos u)=-sinu ·u

(tgu)= ; (ctgu)=

(arcsinu)= ; (arccosu)=

(arctgu)= ; (arcctgu)=

Примеры:

1. Найти производные заданных функций

а)

Воспользуемся правилами и формулами нахождения производной:

- производная частного 2-х функций

- производная сложной функции

-формулами

б)

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции

- производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулами

в)

Воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

- производная сложной функции

-производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулами ; ; ;

;

г)

Имеем показательно- степенную функцию. Используем метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем обе части равенства по основанию е.Затем найдём производную от обеих частей равенства.

д)

Функция задана в неявном виде. Для нахождения производной функции нужно продифференцировать обе части уравнения F(x,y)=0 по х, считая, что

у есть функция от х. При дифференцировании воспользуемся правилами и формулам нахождения производной:

---

- производная сложной функции

-производная суммы 2-х функций

- производная произведения 2-х функций

- формулой

2. Найти приближенное значение функции:

Вычислить приближенное значение 1,03⁵

Для нахождения приближенного значения 1,03⁵ воспользуемся формулой

Рассмотрим функцию f(x)=x⁵ , x=1 , Dx=0.03.

f(1)=1⁵=1

1,03⁵»1+5*0.03=1.15

2.4. Дифференциал функции двух переменных:

Найти полный дифференциал функции Z=3ln(2x+)

Дифференциалом функции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение независимых переменных т.е.

Найдём

;

Получим

2.5. Исследование функции и построение графиков.

Провести полное исследование функции и построить её график.

1. Находим область определения функции Þ

D(f)=(-¥;-2)È(-2;2)È(2;+¥)

2)Исследуем функцию на четность, нечетность:

Þ функция нечетная, график её симметричен относительно начала координат.

3)Исследуем функцию на непрерывность, рассмотрим поведение функции в т. х=2 и х=-2. Найдем предел функции в них:

Þ

х=2 и х=-2 точки разрыва второго рода.

4) Найдем асимптоты графика функции:

-прямые х=2 и х=-2 вертикальные асимптоты;

-выясним наличие наклонных асимптот

Þ у=-х наклонная асимптота

-горизонтальных асимптот график не имеет.

5) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы:

5.1 Найдем производную функции

5.2 Найдем критические точки функции

5.3Отметим критические точки на числовой прямой с учетом области определения и найдём знак производной на каждом из полученных промежутков

5.4 Найдем промежутки возрастания и убывания, определим точки экстремума

хÎ(-¥;-2Ö3]È[2Ö3;+¥) функция убывает

хÎ[-2Ö3;-2)È(-2;2)È(2;+¥) функция возрастает

х=-2Ö3-точка минимума f(-2Ö3 )=3Ö3

x=2Ö3- точка максимума f(2Ö3 )=-3Ö3

6)Определим интервалы выпуклости и точки перегиба:

6.1 Найдем вторую производную функции

6.2 Найдем точки в которых вторая производная функции равна 0 и

найдём знак 2-ой производной на каждом из полученных промежутков

6.3 хÎ(-¥;2)È[0;2) график функции выпуклый вниз

хÎ(-2;0]È(2;+¥) график функции выпуклый вверх

х=0- точка перегиба

7) Построим график функции

3. Интегральное исчисление.

3.1 Неопределенный интеграл.

Пусть на некотором множестве Х определена функция (х).

Функция F(x) называется первообразной для функции (х) на множестве Х, если на этом множестве выполняется условие F(х)= (х).

Если функция F(x) является первообразной для функции (х),то и функция

F(x) + С также является первообразной для функции (х).

Множество F(x) + С всех первообразных для функции (х) называется неопределенным интегралом для функции (х) и обозначается (х)dx.

(х) – подынтегральная функция;

(х)dx – подынтегральное выражение.

По определению

Свойства неопределенного интеграла:

Табличные интегралы:

Метод непосредственного интегрирования.

Пример.

При нахождении интеграла проинтегрировали каждое слагаемое, вынеся постоянный множитель за знак интеграла, и воспользовались табличным интегралом

---

При вычислении данного интеграла были использованы табличные интегралы и свойства неопределенного интеграла. Однако при вычислении интеграла можно воспользоваться следующими методами интегрирования:

Метод подстановки.

Пусть требуется вычислить интеграл ,где выражение , стоящее под интегралом является непрерывной функцией. Обозначим и интеграл преобразуется к виду . Вычислив этот интеграл, а затем, вернувшись к переменной х, мы получим значение исходного интеграла. Таким образом, справедливо равенство: , где после интегрирования правой части в полученное выражение, вместо и нужно подставить g(x).

Пример:

Подынтегральное выражение содержит сложную функцию , поэтому можно сделать подстановку Таким образом,

Метод интегрирования по частям.

Пусть и(х) и (х) две дифференцируемые в некоторой области функции. Тогда справедлива следующая формула: , которая называется формулой интегрирования по частям, и которая позволяет вычислить один из двух симметричных по форме интегралов, через другой.

Пример:

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

В данном интеграле обозначим , тогда

Получим:

3.2.Определенный интеграл.

Пусть на отрезке а;b задана функция у=(х). Разобьем отрезок а;b произвольным образом на п произвольных частей х₀ =а, х₁, х₂…х_п= b. Обозначим х_ - х_=х_ (=1,2 …п). Произвольным образом возьмем точки с_х_, Вычислим функцию ( с_) и составим сумму .

Если функция у=(х) непрерывна на отрезке а;b, то существует предел данной суммы при х  0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка а;b на части х_ ,ни от выбора точек с_ внутри х_i. Этот предел называется определенным интегралом для функции (х) и обозначается . Таким образом, .

Вычисляются определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница:

.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он определяет (при(х)  0 ) площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=(х), отрезком а;b оси ОХ и двумя прямыми х=а и х= b. .

Если некоторая область в плоскости ХОУ ограничена двумя кривыми у=₁(х) и у=₂(х), причем для всех ха;b выполняется условие ₂(х)₁(х) и двумя прямыми х=а и х= b, то её площадь находится по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у=х²-5х+3, у= - х + 3.

1. Построим схематический рисунок:

Графиком первого уравнения является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины параболы х₀= - b/2 а = 5/2=2,5,

у₀=(2,5)² - 52,5+3 = - 3,25. Вершины параболы имеет координаты (2,5; - 3,25). Графиком второго уравнения является прямая, проходящая через точки с координатами (0; 3) и (3;0).

2. Найдем точки пересечения параболы и прямой: х²-5х+3=- х + 3 

х² – 4х =0 х₁=0 и х₂=4.

3. Найдем площадь полученной фигуры:

---

Смотрите также файлы

• Вопросы.doc

• контрольная.doc

• Вопросы к зачету (экзамену) по физике.docx

• Вопросы к зачету (экзамену) по физике.docx

• Контрольная работа по физике.docx