Практическое занятие №1

Тема. Элементы теории вероятностей, применяемые в инжиниринге качества.
Цель. Повышение уровня компетенций в области теории вероятностей.
Содержание работы

1. 
   Рефлексия основных понятий теории вероятностей (20 минут).
   

	Новые понятия	Содержание
1	2	3
1	Предмет теории вероятностей	изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных опытах
2	Стохастический эксперимент	эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя
3	Случайное событие	явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента
4	Элементарные события	события, обладающие следующими свойствами: взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий; каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А
5	Достоверное событие	такое событие, которое наступает в результате появления любого элементарного события
6	Невозможное событие	событие, не наступающее ни при каком элементарном событие
7	Сумма (или объединение)двух событий А и В	событие А+В (или АВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
8	Произведение или пересечение двух событий А и В	событие АВ (или АВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А и В
9	Несовместные события	два события являются несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно
10	Событие противоположно к А.	если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит
11	Разность событий А и В	событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В
12	Алгебра событий	система Н событий, которая выделена в   - пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента) и выполняются условия: А1:   Н А2: если А  Н  ; А3 если А и В  Н А+В и АВ Н.
13	Относительная частота события А в проведенной серии экспериментов	отношение (А)=m/n числа экспериментов m, в которых событие А произошло, к количеству проведенных экспериментов n
14	Статистическое определение вероятности	если при увеличении числа опытов относительная частота события (А) стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А стохастически устойчиво, а это число, обозначаемое р(А) называют вероятностью события А
15	Классическая схема теории вероятностей	схема, где присутствуют стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного (n) числа равновозможных элементов
16	Условная вероятность события В при условии, что событие А с ненулевой вероятностью произошло (р(В\А))	отношение вероятности АВ к вероятности А
17	Вероятность произведения	предполагая, что вероятности Р(А) или Р(В) не равны 0, можно получить следущее: Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)=Р(В)Р(В\А)
18	Независимые случайные события А и В	такие события, для которых выполняется условие: р(АВ)=р(А) р(В)
19	Полная группа событий	совокупность событий Н1,Н2…Нn, таких, что: НiHj=, если ij, и Hi = 
20	Формула Байеса
21	Понятие случайной величины	величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента
22	Дискретная случайная величина	случайная величина, возможные значения которой образуют или конечное множество, или счетное
23	Закон распределения дискретной случайной величины	правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение
24	Функция распределения F(x)	функция, применяемая для задания случайной величины, равная вероятности того, что случайная величина  примет значение, меньшее х: F(x) = p(
25	Плотность вероятности	функция, которая равна производной от функции распределения случайной величины
26	Свойство плотности вероятности	плотность вероятности – неотрицательные функция: f(x)0; вероятность попадания случайной величины в интервал [x1,x2) равна интегралу от плотности вероятности по этому интервалу: p{x1x2}= ; определенный интеграл от плотности вероятности по всей числовой оси равен единице:
27	Математическое ожидание дискретной случайной величины 	сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
28	Дисперсия случайной величины 	математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D() = M(( - a)2)
29	Свойство дисперсии	дисперсия постоянной равна нулю: D(C)=0 постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(C)=C2D(); дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых совокупностей случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
30	Свойства математического ожидания	1) математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(С)=С; 2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(С·ξ)=С·М(ξ); 3) математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: ; 4) математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: M(1...n)=M(1)...M(n)
31	Теорема Бернулли	при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота ν(А) события А сходится по вероятности к р(А) – вероятности его появления при одном испытании
32	Формула полной вероятности
33	Формула Бернулли
34	Формула Пуассона	для схемы Бернулли при np<10
35	Схема Бернулли	производится n независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие А или ему противоположное с вероятностями p и q=1-p
36	Интегральная теорема Муавра-Лапласа	асимптотическое поведение вероятности pn(m) в схеме при больших значениях np:
37	Распределение Пуассона
38	Правило 3-х σ
39	Правило 2-х σ
40	Доверительный интервал	интервал, накрывающий параметр с вероятностью γ (γ – доверительная вероятность или уровень доверия)
41	Доверительный интервал для р – вероятности события А в схеме Бернулли для уровня доверия γ

---

2. 
   Составление макета базы знаний по теории вероятностей (10 минут).
   
3. 
   Решить следующие задачи по теории вероятностей (30 минут).
   

Задача №1

Студент выучил 25 билетов из 30. Чему равна для него вероятность вытянуть “хороший” билет, если он тянет вторым?
Задача №2

Строительная организация имеет 5 бульдозеров, вероятность безотказной работы которых в течение времени T равна 0,9. Определить вероятность того, что за время T 2 бульдозера будут нуждаться в ремонте.
Задача №3

Телевизионный кабель состоит из 400 жил. Вероятность того, что одна жила повреждена, 0,0125. Какова вероятность, что для 395 абонентов исправных жил хватит (что повреждённых жил  5).
Задача №4

Из 10 тыс. лотерейных билетов 2тыс. выигрышных. Какова вероятность, что из взятых наудачу 5 билетов хотя бы 2 окажутся выигрышными (больше одного)?
Задача №5

К магистральному водопроводу подключено 400 предприятий, каждое из которых с вероятностью 0,8 осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в данный момент осуществляет забор воды не менее 300 и не более350 предприятий.

Задача №6

По данным технического контроля в среднем 10% изготовляемых на заводе часов нуждается в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов не менее 350 штук (больше или равно, чем 350 штук) нуждается в дополнительной регулировке.
Задача №7

Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит ровно 2 вызова.
Задача №8

Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит не более 2-х вызовов.
Задача №9

На один кубический метр грунта в среднем приходится 2 крупных камня. Найти вероятность того, что ковш экскаватора ёмкостью 3куб. м попадёт ровно 2 камня.
Задача №10

На один кубический метр грунта в среднем приходится 2 крупных камня. Найти вероятность того, что в ковш экскаватора ёмкостью 3куб. м попадёт не более 5 камней.

---

Задача №11

Для распределения случайных величин X, заданного таблицей, М(х) и Д(х).

	1	2	3	4	5	6
	0,1	0,15	0,25	0,25	0,15	0,1

Задача №12

Игра состоит в том, что 2 игрока ставят на кон по 1 рублю и бросают монетку. Выигравший забирает банк (2 рубля). Чему равно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение выигрыша?

Задача №13

Ошибка взвешивания — случайная величина, распределённая нормально с математическим ожиданием 0 и среднеквадратическим отклонением равным 5г. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 10г.
Задача №14

Длина куска обоев в рулоне — случайная величина, распределённая нормально с математическим ожиданием 18м и среднеквадратическим отклонением, равным 0,3м. Найти вероятность того, что длина куска в случайно выбранном рулоне обоев будет не меньше, чем 17,5м.

Задача №15

Вес груза одного вагона - случайная величина, распределённая нормально с математическим ожиданием, равным 65т и среднеквадратическим отклонением, равным 2т. Найти вероятность того, что вес груза одного вагона не превышает 70т.
Задача №16

Проверив 100 изделий в партии, обнаружили, что 8 изделий бракованных. Какова числовая оценка для вероятности случайно выбранному изделию оказаться бракованным для всей партии?
Задача №17

Проверив 100 изделий в партии, обнаружили, что 8 изделий бракованных. Какова интервальная оценка для роли брака во всей партии при уровне доверия 0,95? (Построить доверительный интервал для р).
Задача №18

Проверив 10000 изделий в партии, обнаружили, что 8 изделий бракованных. Какова интервальная оценка для доли брака во всей партии при уровне доверия 0,95? (Построить доверительный интервал для р).
Задача №19

Во сколько раз надо увеличить объём выборки, чтобы в 10 раз повысить точность оценки вероятности для доли брака?

4. 
   Контрольный тест оценки остаточных знаний по теории вероятностей (30минут)
   
5. 
   Задание на дом. Оформить личную базу знаний по теории вероятностей на А4 цветными фломастерами. Провести самооценку уровня своих компетенций по теории вероятностей.
   

---

Литература

1. 
   Ярыгин С.А., Чернова Ю.К. Вероятностно-статистичекие методы урпавления качеством. Учебное пособие. – Тольятти: ТГУ, ОАО «АВТОВАЗ», 2004, с. 14-26, 37-39.
   

10>

---

Смотрите также файлы

• Перспективы развития системы топливоподачи Common Rail.pdf

• Проект проведения физической реабилитации для лиц с нарушениями опорнодвигательного аппарата, на примере заболевания остеоартрита коленного сустава Шаг 1 Оценка состояния пациента.docx

• .docx

• Методические рекомендации по оформлению отчета по практике (учебной, производственной по профилю специальности, преддипломной).docx

• .docx