Файл: Кафедра физики и химии физика лабораторный практикум Часть iii.pdf

14 может быть близок к истинному значению, иными слова- ми, указать какова точность измерения. Для этого наряду с полученным значением измеряемой величины указывают также и ошибку измерения.
Оценивать ошибки необходимо потому, что, не зная каковы они, невозможно сделать каких-либо определен- ных выводов из эксперимента.
О том какие бывают погрешности результатов измере- ний, как оценивать точность результатов одного прямого измерения и многократных измерений подробно изложено в части I ” Лабораторного практикума “
Напомним, что оценку величины погрешности

X при измерении n раз какой-то физической величины X опре- деляют, используя теорию ошибок, в основе которой лежат два утверждения, подтвержденные опытом:
При большом числе измерений случайные ошибки одинаковой величины, но разного знака ( как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения ),встречаются одинаково часто. Большие ( по абсолютной величине ) ошибки встречаются реже, чем малые..
В теории ошибок вводятся понятия среднеарифмети- ческой величины X
ср
и дисперсии

, которая определяет среднеквадратичную ошибку результатов серии измерений

S
Xср



S
Xсс

(1)
Зная величину дисперсии, можно найти вероятность получения того или иного значение ошибки. Однако иметь дело с кривой распределения ошибок неудобно, по- этому поступают следующим образом: задают величину ошибки

X
и указывают, какова вероятность a того, что результат измерений отличается от истинного значе-
1
n(n

1)

15 ния на величину не большую, чем приведенная ошибка. Эта вероятность a называется коэффициентом надежно- сти или просто надежностью.
При обычных измерениях можно ограничиваться зна- чением надежности равным 0,9 или 0,95. Это означает, что
90 или 95 % всех измерений имеют ошибку не превышаю- щую

X
Оценка дисперсии является справедливой лишь при очень большом числе измерений ( n


). Поэтому при нахождении ошибки величины X при малых значениях n
приходится вводить поправочный коэффициент t
α
назы- ваемый коэффициентом Стьюдента. Величина коэффици- ента Стьюдента
t

при различных значениях надежности
a и разных значениях n приведены в таблице 2.
Задавая значение надежности (например, a = 0.95), по числу проведенных измерений n (например, n = 6) опре- деляем значение коэффициента Стьюдента t

для этих данных t
α
=2.6.
Тогда, определив предварительно

S
Cт формуле: по формуле (15), ошибку

X находим по
∆X = ????
????
∙ ∆???? (2)
В итоге результат измерений можно записать в виде:
X
C P


X

X

X
C P


X или
X

X
C P


X
(3)
Если X определяется косвенным измерением, т.е. яв- ляется некоторой функцией f величин y и z : X= f(y,z)
,тогда наилучшее значение при оценке X
СР равно
X
CP

f ( y
CP
, z
CP
)
(4)
X

16
Учитывая, что,

X

X

X
CP
, наиболее простой оценкой для


17
Таблица 1
Вид функции
Предельная относительная погрешность
Y = A + B + C

Y

A


B


C

Y
A

B

C
Y = A - B

Y

A


B

Y
A

B
Y=A B C

Y

A

B

C



Y
A
B
C
Y

A
n

Y

A

n

Y
A
Y

n
A

Y
1

A


Y
n A
A
Y

B

Y

A

B


Y
A
B
Y

sin



Y



ctg


Y
Y

cos



Y



tg


Y
Y

tg



Y
2




Y
sin2


Y

ln x

Y
1

x


Y
ln x x
Если функция оказывается более сложной чем приве- денная в таблице 1, то для нахождения относительной и абсолютной погрешностей используют дифференциаль-
ный метод подсчета погрешности. Суть этого метода за- ключается в следующем:

18 а) исходную функцию логарифмируют; б) полученное выражение дифференцируют, считая пе- ременной каждую из измеряемых величин; в) заменяя знаки дифференциалов d на

, а также зна- ки между дробями "-" на "+", получают выражение для вычисления относительной погрешности

Абсолютная погрешность при этом определяется по формуле

X



X
CP
(7)
Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной по-
грешности E (класса точности).
Приведенная погрешность - это отношение абсо- лютной погрешности

X к предельному значению изме- ряемой величины (т.е. к наибольшему ее значению, кото- рое может быть измерено по шкале прибора).
Приведенная погрешность, являясь по существу отно- сительной погрешностью, выражается в процентах:
E
пт


100%
(8)
По приведенной погрешности приборы разделяют на 7 классов: 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1,0 ; 1,5 ; 2,5 ; 4.
Класс точности прибора указывают на шкале прибо- ра.
Если на шкале такого обозначения нет, то данный при- бор внеклассный, т.е. его приведенная погрешность более 4,0%.
Определив по шкале прибора класс точности и пре- дельное значение, легко рассчитать его абсолютную по- грешность:

X



X
пт
(9)

19 которую принимают одинаковой на всей шкале прибора.
Знаки "+" и "-" означают, что погрешность может быть допущена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения от действительного значения измеряемой ве- личины.
При использовании прибора для конкретных измере- ний измеряемая величина обычно меньше максимального значения шкалы. Это увеличивает относительную по- грешность измерения.
Для уменьшения относительной погрешности измере- ния и приближения ее к классу точности прибор подби- рают так, чтобы значение измеряемой величины попада- ло на вторую половину шкалы прибора.
Точность прибора невозможно превзойти никаким ме- тодом измерения на нем. Для более точных измерений применяют прибор более высокого класса.
Вычисления с приближенными числами
При проведении вычислений часто прибегают к ок- руглению чисел. При этом придерживаются следующих правил.
1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из оставшихся цифр увеличивает- ся на 1.
3. Погрешности измерений округляются всегда в
сторону увеличения, независимо от значения первой из
отбрасываемых цифр.
4. Величина, полученная в результате алгебраических операций с исходными данными (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование ) содержит столько значащих

20 цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим коли- чеством значащих цифр.
Графическое представление результатов
экспериментов
В большинстве случаев экспериментального изучения различных физических явлений целесообразно предста- вить полученные зависимости в виде графика. При по- строении графиков по горизонтальной оси принято откла- дывать независимую переменную, а по вертикальной оси - функцию от нее.
При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений: а) экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом: все поле графика должно быть занято; б) масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10, 100, 0.1) со- ответствует одно деление. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 деление соответствовало 2 или 5 единицам.
Других масштабов следует избегать, просто потому, что иначе при нанесении точек на график придётся произ- водить арифметические подсчеты в уме.
При нанесении данных на график десятичный множи- тель удобнее отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, 3,..., а не 1000,
2000, 3000 и т.д. или 0.0001, 0.0002, 0.0003 и т.д.
На осях координат следует указывать также название или символ величины (рис. 2).

21
Рис. 2.
Как оценить, согласуются ли результаты опыта с ожи- даемой величиной, получаемой из зависимости между из- меряемыми величинами? Наглядное представление об этом получают, сопоставляя теоретическую кривую и най- денные экспериментально точки. Особенно удобно прове- рить, ложатся ли данные точки на прямую. Поэтому при построении графиков желательно выбирать такие коорди- наты, чтобы ожидаемая зависимость была линейной. В этом случае помимо наглядности графики используются также и для определения некоторых величин, которые обычно определяются длиной отрезка, отсекаемого на оси ординат прямой, изображающей зависимость между пере- менными.

22
Таблица 2
Коэффициенты Стьюдента t
a
Число изме
Надёжность ре- ний
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 0.999 2
3 4
5 6
7 8
9 10 20 120

1.0 1.38 2.0 3.1 6.3 12.7 31.8 636.6 0.82 1.06 1.3 1.9 2.9 4.3 7.0 31.6 0.77 0.98 1.3 1.6 2.4 3.2 4.5 12.9 0.74 0.94 1.2 1.5 2.1 2.8 3.7 8.6 0.73 0.92 1.2 1.5 2.0 2.6 3.4 6.9 0.72 0.90 1.1 1.4 1.9 2.4 3.1 6.0 0.71 0.90 1.1 1.4 1.9 2.4 3.0 5.4 0.71 0.90 1.1 1.4 1.9 2.3 2.9 5.0 0.70 0.88 1.1 1.4 1.8 2.3 2.8 4.8 0.69 0.86 1.1 1.3 1.7 2.1 2.5 3.9 0.68 0.85 1.0 1.3 1.7 2.0 2.4 3.4 0.67 0.84 1.0 1.3 1.6 2.0 2.3 3.3

23
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-01
Изучение свободных незатухающих механических
колебаний
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение колебаний физического маят-
ника и определение ускорения свобод-
ного падения. Изучение свободных не-
затухающих механических колебаний
математического маятника и иссле-
дование зависимости периода колеба-
ний от длины нити.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Колебания - процессы, в той или иной степени по-
вторяющиеся во времени.
x(t) ≈ x(t + T)
При их изучении интересуются, прежде всего, осо- бенностями, характерными для колебаний: закон, по ко- торому повторяется движение; время, в течение которого система возвращается в исходное состояние (период ко- лебаний); наибольшее отклонение от положения равнове- сия (амплитуда). Колебания могут иметь различную физи- ческую природу: механические колебания, электромагнит- ные, тепловые и т.д. Но подход для описания колебаний может быть единым, потому что все колебания характери- зуются такими величинами, как период и амплитуда.
Наиболее простая физическая модель колебаний -
гармонические колебания. Гармонические колебания – процессы, при которых различные величины x (смещение от положения равновесия, угол отклонения, угол закручи- вания, заряд, сила тока, напряженность поля, температура и т.д.) изменяются по закону:
x(t) = A
.
sin (

.
t +

)
(1)