Файл: Кафедра физики и химии физика лабораторный практикум Часть iii.pdf

36
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-02
Изучение затухающих колебаний
математического маятника.
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение затухающих колебаний и
определение их основных характери-
стик.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Общая черта всех колебательных процессов состоит в том, что они представляют собой движения, многократно или приблизительно повторяющиеся через определенные промежутки времени. Природа колебаний может быть раз- лична.
Примером колебаний, происходящих в системе с од- ной степенью свободы, могут служить колебания матема- тического маятника - небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела, по сравнению с длиной нити, можно пренебречь (рис.1).
Движение маятника описывается основным уравнением динамики вра- щательного движения
(1)
Рис. 1.
Если колебания происходят в какой- либо внешней среде, то среда оказывает сопротивление движению, стремясь замедлить его. В результате энергия движущегося тела переходит в тепло. Этот процесс не яв- ляется уже чисто механическим. А с механической точки

37 зрения он может быть описан путем введения дополни- тельной силы, появляющейся в результате самого движе- ния и направленной противоположно ему. Эту силу назы- вают силой сопротивления. При достаточно малых скоро- стях она пропорциональна скорости. Поэтому на маятник будет действовать момент сил сопротивления, пропорцио- нальный угловой скорости его движения.
M


b

d


С
dt
(2) где b – константа, характеризующая взаимодействие те- ла со средой.
Момент силы натяжения нити относительно точки подвеса всегда равен нулю. Момент же силы тяжести вы- разится так
M

m

g

l

sin

(3) где l - длина нити;

- угол отклонения от вертикали.
Тогда уравнение (1) примет вид:
−???? ∙
????
2
∙
????????
????????
= ???? ∙ ???? ∙ ???? ∙ ???????????????? + ???? ∙
????????
????????
(4)
Знак минус взят потому, что момент силы тяжести сооб- щает маятнику угловое ускорение, обратное угловому от- клонению. При малых углах можно sin



, и тогда уравнение движения после небольшого преобразования принимает вид:
????
2
????
????????
2
+
????
????????
2
????????
????????
+
????
????
???? = 0 (5)
Уравнение движения (5) при малых углах с учетом этого момента примет такой вид:

38
????
2
????
????????
2
+
2???? ∙
????????
????????
+ ????
0 2
???? = 0 (6)
Здесь ???? =
????
2
∙ ????????
2
коэффициент затухания
Решение этого уравнения имеет вид:
????(????) = ????
0
∙ ????
−????????
∙ sin (???? ∙ ???? + ????)
(7)
где ???? = √????
0 2
− ????
2
– частота затухающих колебаний.
Если трение мало ????
2
≪ ????
0 2
то маятник совершает почти гармонические колебания. Их частота

меньше частоты

0, а амплитуда зависит от времени, экспоненциально убывая


t



0

e
-yt
(8)
Графически затухающие колебания представлены на рис.2.
Коэффициент затухания γ характеризует затухание колебаний за единицу времени. Кроме него вводится еще ряд величин, характеризующих затухание колебаний.
Рис.2
Из определения (8) видно, что величина

=1/

дает время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в
е
раз.
Величина

называется временем реалаксации колебаний

39
Следующая величина - это логарифмический декремент затухания

???? = ????????
????
′
(????)
????
′
(???? + ????)
= ???? ∙ ???? (9)
Он характеризует затухание колебаний за период. Часто для характеристики колебаний вводят понятие добротности системы Q.
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
???? =
2????
∆????
????
=
2????
1 − ????
−2????????
(10)
При ???? << ????
0
???? =
????
????????
=
????
????
(11)
Чем больше добротность системы, тем больше колебаний она совершает при выведении системы из положения равновесия.
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и принадлежности: лабораторная установка.
Установка для изучения затухающих колебаний (рис.3) состоит из основания 1, оснащенного ножками с регули- руемой высотой. К основанию прикреплен миллисекун- домер
2 и закреплена труба, находящаяся за миллисекундомером.
К ней прикреплен кронштейн 3, на котором закреплена шкала 4. В кронштейне закреплена колонка 5, на которой подвешен на нити шар 6. К кронштейну 3 прикреплен

40 фотоэлектрический датчик
7, соединенный с миллисекундомером.
Работа фотоэлектрического датчика основана на том, что во время колебаний наклонного маятника прерывается световой поток от лампочки к фототранзистору. В результате этого в цепи транзистора генерируются электрические импульсы, которые после усиления подаются на вход миллисекундомера. На лицевой стороне миллисекундомера находятся три клавиши:
“СЕТЬ”
- нажатие этой клавиши включает питающее напряжение.
При этом на цифровых индикаторах должны высветиться нули и должна светиться лампочка фотоэлектрического датчика.
“СБРОС” - сброс измерений. Нажатие этой клавиши вызывает сброс значения времени, отражаемого миллисекундомером, одновременно нажатие этой клавиши служит сигналом для начала измерения времени.
“СТОП” - окончание измерений. Нажатие этой клавиши служит сигналом для окончания процесса подсчета числа колебаний.
IV . ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1. Включить блок питания в сеть и нажать клавишу
“СЕТЬ”. Проверить, все ли индикаторы миллисекундо- мера высвечивают цифру “0” , а также, засветилась ли лампочка фотоэлектрического датчика.
2. Отклонить шарик на а
0
= 10
0
от положения равновесия и отпустить. После того, как отклонение уменьшится до а
N
= 6 - 7
0
, нажать кнопку “СТОП” и снять показания счетчика колебаний и время t на миллисекундомере.

41 3. По окончании измерений выключить установку и при- вести в порядок рабочее место .
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ .
1. Занести результаты измерений в таблицу.
Таблица.
№ п/п N t , c T , c
????
0
????
N



,
????
−1
Q
2. Определить период колебаний T = t / N
3. Вычислить значение логарифмического декремента за- тухания по формуле


1

ln

0
N

N
4. Вычислить значение коэффициента затухания γ по фор- муле




T
5. Вычислить добротность системы по формуле (11)
6. Вычислить средние значения

,

и Q.
7. Определить значение абсолютной и относительной по- грешностей для

,

и Q.
8. Результаты измерений представить в виде:



CP





CP


Q

Q
CP


Q
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и

42 термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Чем отличаются незатухающие колебания от затухающих?
2. Запишите уравнение движения для незатухающих и затухающих колебаний математического маятника.
3. Запишите закон изменения во времени углового смещения математического маятника.
4. Дайте определение и приведите формулы для расчета параметров, характеризующих затухание колебаний математического маятника.

43
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3-03
Изучение затухающих колебаний
физического маятника
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение затухающих колебаний физи-
ческого маятника и определение их
основных характеристик.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Физическим маятником называют любое тело, спо- собное вращаться вокруг неподвижной оси (рис.1), не про- ходящей через центр масс (точка 0 на рисунке).
Отклоним маятник от положения равновесия на угол φ и отпустим. Под воздействием силы тяжести mg маятник начнёт двигаться к положению равнове- сия. При движении реального маятника возникает сила сопротивления F
c
, вели- чина момента которой пропорциональна угловой скорости движения маятника.
Запишем уравнение движения маятника
Рис.1
(1)
Учтя, что угловое ускорение
, а угловая скорость получим
Разделим полученное уравнение на I – момент инерции получим

44 0
После введения обозначений уравнение (2) примет вид
(2)
(3) где γ – коэффициент затухания; ω
0
– собственная час- тота
Решение уравнения (3) имеет вид
(4) где
???? = √????
0 2
− ????
2
– частота затухающих колебаний.
Если трение мало


2


2

, то маятник совершает почти гармонические колебания. Их частота

меньше частоты

0
, а амплитуда зависит от времени, экспоненци- ально убывая


t



0

e
(5)
Графически затухающие колебания представлены на рис.2.
Рис.2.



t

45
Для описания затухающих колебаний вводится еще ряд величин.
Из определения (5) видно, что величина

=1/

дает время, в течение которого амплитуда колебаний уменьша- ется в е раз . Величина

называется временем релаксации колебаний. Следующая величина - это логарифмический декремент затухания


Логарифмическим декрементом затухания называ- ется величина численно равная логарифму отношения двух соседних амплитуд
(6)
Он характеризует затухание колебаний за период . Часто для характеристики колебаний вводят понятие добротно- сти системы Q
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
Чем больше добротность системы , тем больше колеба- ний она совершает при выведении системы из положения равновесия.
 




T
e
e
ln
T
t
t
ln
T
t
0
t
0





















46
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и принадлежности : лабораторная установка, электросекундомер.
Лабораторная уста- новка для изучения за- тухающих колебаний физического маятника
(рис.3) состоит из стой- ки 1 установленной на подставке 2 . В верхней части стойки на оси за- креплён маятник в виде пластины 4 с цилинд- рическим грузом. Внизу на стойке закреплена угломерная линейка 3.
Отсчёт времени произ- водится с помощью электронного секундо- мера 5.
Работа на установке осуществляется следу-
Рис.3. ющим образом. Маят- ник отклоняют на некоторый угол и отпускают, включив секундомер. Считают число колебаний до тех пор пока угол отклонения не уменьшится на 2 – 3
о
, после чего от- ключают секундомер.
IV . ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1. Включить электронный секундомер в сеть.

47 2. Отклонить маятник на 10 – 12 градусов и отпустить его , одновременно нажав кнопку «ПУСК» на электронном секундомере.
3. Сосчитать число колебаний маятника пока его угол от- клонения не станет меньше на 2 – 3 градуса и остано- вить секундомер, нажав кнопку «СТОП».
4. Операции, указанные в пунктах 2 и 3, повторить не ме- нее пяти раз.
5. Выключить секундомер и привести рабочее место в по- рядок.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
1. Занести результаты измерений в таблицу .
Таблица.
№ п/п N t , c T , c
????
0
????
N



, c
-1
Q
2. Определить период колебаний T = t / N
3. Вычислить значение логарифмического декремента за- тухания по формуле


1

ln

0
N

N
4. Вычислить значение коэффициента затухания γ по фор- муле




T
5. Вычислить добротность системы по формуле (8)
6. Вычислить средние значения

,

и Q.
7. Определить значение абсолютной и относительной по- грешностей для

,

и Q.

48 8. Результаты измерений представить в виде
σ = σ
ср
± Δσ
γ = γ
ср
± Δγ
Q = Q
ср
± ΔQ
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой маятник называется физическим?
2. Как зависит амплитуда затухающих колебаний от вре- мени?
3. Дайте определение коэффициента затухания, частоты, логарифмического декремента затухания, добротности колебательной системы.
4. От чего зависит период затухающих колебаний?
5. Сформулируйте условия апериодического процесса.

49
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-04
Изучение затухающих электрических колебаний
в колебательном контуре на стенде
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение затухающих электрических
колебаний и определение их основных
характеристик и исследование зави-
симости добротности колебательной
системы от ёмкости контура.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Рассмотрим процессы, которые происходят в электри- ческой цепи, состоящей из индуктивности L , емкости C и сопротивления R (рис.1). Так как сопротивление контура не равно нулю, энергия, запасённая в контуре,
Рис.1 непрерывно расходуется на выделение тепла Джоуля -
Ленца. Поэтому колебания со временем исчезнут, процесс уже не будет периодическим.
Будем считать, что мгновенное значение силы тока I
одно и то же в любом месте контура, и что к мгновенным значениям электрических величин можно применять зако- ны Кирхгофа. По второму правилу Кирхгофа
(1)