Файл: Кафедра физики и химии физика лабораторный практикум Часть iii.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 121
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
50 здесь
– падение напряжения на конденсаторе;
– падение напряжения на сопротивлении;
– ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке.
После подстановки уравнение (1) примет вид
Продифференцировав данное уравнение, получим
После преобразования уравнение примет вид
(2)
Вводя обозначения
????
2∙????
= ????; ????
0 2
=
1
????∙С
перепишем это уравнение
(3)
Изменение тока в колебательном контуре описывается линейным дифференциальным уравнением второго поряд- ка с постоянными коэффициентами.
51 0
0
Решение уравнения (3) зависит от соотношения между коэффициентами. Если вид
2
2
, тогда решение (3) имеет
(4) которое и является уравнение затухающих колебаний.
Здесь I
0
- амплитуда незатухающих гармонических коле- баний;
- постоянная затухания; затухающих колебаний.
2
2
2
- частота
Графическое решение этого уравнения представлено на рис.2.
Рис.2
Значения I
0
определяются начальными условиями - значениями тока в начальный момент времени.
Для характеристики затухающих колебаний обычно вводят понятие логарифмического декремента затухания σ.
1 2 3 4 5 6 7
Логарифмическим декрементом затухания называтся величина численно равная логарифму отношения двух соседних амплитуд
(5)
Его можно определить и по - другому. Пусть
t
1
- время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз. То есть
52
e
t
1
e
1
,
t
1
1
. Таким образом, логарифмиче- ский декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, после которого амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики затухания колебаний пользуются и другой величиной, называемой добротностью колеба- тельной системы Q
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
Если затухание мало, то для контура с большой доб- ротностью можно положить
0
и логарифмический декремент затухания выразится так
Величину называют волновым сопротивлением
L
C
53
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, модуль
«катушка», модуль «сопротивление», магазин
ёмкостей, осциллограф.
Принципиальная электрическая схема установки пред- ставлена на рис. 3.
Рис. 3.
Монтажная схема установки изображена на рис. 4.
Рис.4.
54
От генератора сигналов однополярный импульс подаётся на колебательный контур и возбуждает в нём электрические колебания. К клеммам 3 подключается магазин ёмкостей. Напряжение с индуктивности подается на электронный осциллограф, где и наблюдают затухающие колебания.
Вид этих колебаний представлен на рис. 5.
Переменное сопротивление служит для регулировки скорости затухания. С помощью магазина ёмкостей можно менять период колебаний.Период этих колебаний можно найти по формуле
Рис.5. где k
x
– коэффициент горизонтальной развертки осцилло- графа; l – длина участка этой развертки, на котором укла- дывается N полных колебаний.
Амплитуды напряжения на конденсаторе U
t
и U
t+T
, не- обходимые для расчёта логарифмического декремента
, находятся по формуле
55
U
k
Y
h
, (10) где
k
Y
– коэффициент вертикального отклонения осцилографа, h – величина этого отклонения (пунктирные линии на рис. 3).
По известным значениям логарифмического декремента σ и периода затухающих колебаний
Т
можно найти значение коэффициента затухания γ
γ = σ/Т.
(12)
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Собрать электрическую цепь по монтажной схеме, приве- дённой на рис. 4.
2. Переключатели и регуляторы, расположенные на лице- вой панели осциллографа, установить в положения, ука- занные на осциллографе.
3. Установить сопротивление реостата R
р равным «0,1 кОм». Для этого повернуть ручку реостата против часовой стрелки до упора.
4. Включить кнопку «POWER» расположенную на панели осциллографа под экраном, при этом должен зажечься светодиодный индикатор. При помощи регуляторов
«INTEN» и «FOCUS», расположенных там же, установить соответственно оптимальную яркость и фокусировку луча.
Внимание!
Для
предотвращения
повреждения
люминофора
электронно-лучевой
трубки
не
устанавливайте чрезмерную яркость луча и не
оставляйте без необходимости длительное время
неподвижное пятно на экране.
5. Регуляторами «
<
POSITION
>
» и «POSITION
» со-
вместить горизонтальную развёртку электронного луча с
56 центральной горизонтальной линией экрана.
6. Кнопкой «СЕТЬ» включить питание блоков генераторов напряжений. Нажать на панели генератора кнопку с формой импульса
». Кнопками «Установка частоты
0…20 кГц установить частоту 0,1 кГц.
7. С помощью кнопки
« Установка уровня выхода 0…15В» генератора получить на экране изображение осциллограммы затухающих колебаний (рис.5). При этом максимальная амплитуда колебаний не должна превышать
7 больших делений масштабной сетки экрана
С помощью регуляторов «< POSITION > » и
« POSITION
∆
∇
» вывести осциллограф в центр экрана.
8. Увеличивая электроёмкость магазина с шагом 0,1 мкФ определить в больших делениях шкалы отклонение h для двух соседних амплитуд с точностью до миллимет- ра.
9. Замерить длину 5 – 6 колебаний и определить их период по формуле (9)
10. Произвести измерения указанные в пункте 8 и 9 для 7 –
9 значений ёмкости магазина.
11. Выключить стенд и осциллограф и привести рабочее место в порядок.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
1. Результаты измерений занести в таблицу 1.
2. По формуле (5) вычислить значения логарифмического декремента. Результаты занести в таблицу 1.
3. Вычислить значения периода колебаний и коэффициента затухания.
4. По формуле (6) определить добротность контура.
5. Построить график зависимости добротности контура Q от электроёмкости С. Сделать выводы по полученным результатам.
6. Вычислить погрешность коэффициента затухания γ.
57
Таблица 1.
C, мкФ
U
t
, В
U
t+T
, В
γ , мс
-1
Т, мс
σ
Q
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016
– 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 – 372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров. Воробьёв
А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Что называют электромагнитными колебаниями? При- ведите примеры.
2. Чем вызвано затухание колебаний в контуре?
3. Запишите уравнение электромагнитных колебаний, воз- никающих в идеальном колебательном контуре.
4. Какими параметрами контура определяется коэффици- ент затухания?
5. Каков смысл логарифмического декремента затухания?
6. При каком условии процесс разрядки конденсатора ко- лебательного контура является апериодическим?
7. Выведите уравнение затухающих колебаний и запишите его решение.
58
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-05
Изучение затухающих электрических колебаний
в колебательном контуре
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение затухающих электрических
колебаний и определение их основных
характеристик; исследование зависи-
мости коэффициента затухания от
сопротивления контура.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Рассмотрим процессы, которые происходят в электри- ческой цепи, состоящей из индуктивности L , емкости C и сопротивления R (рис.1). Так как сопротивление контура не равно нулю, энергия, запасённая в контуре,
Рис.1 непрерывно расходуется на выделение тепла. Поэтому колебания со временем исчезнут, процесс уже не будет пе- риодическим.
Будем считать, что мгновенное значение силы тока I
одно и то же в любом месте контура, и что к мгновенным значениям электрических величин можно применять зако- ны Кирхгофа. По второму правилу Кирхгофа
(1)
59 0 здесь
– падение напряжения на конденсаторе;
– падение напряжения на сопротивлении;
– ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке
После подстановки уравнение (1) примет вид
С учетом того что I = dq/dt уравнение (1), описывающее электрические явления в колебательном контуре, будет иметь вид
d
2
q
L
dt
2
R
dq
q
0
dt
С
(2)
Вводя обозначения
????
2∙????
= ????; ????
0 2
=
1
????∙С
перепишем это уравнение
????
2
????
????????
2
+ 2 ∙ ???? ∙
????????
????????
+ ????
0 2
∙
????
????
= 0 (3)
Колебания заряда описываются линейным дифферен- циальным уравнением второго порядка с постоянными ко- эффициентами. Такие же уравнения получаются для силы тока I и напряжения U.
Решение уравнения (3) зависит от соотношения между коэффициентами. Если вид
2
2
, тогда решение (3) имеет
q
t
q
0
e
t
sin
t
(4)
60 0 которое и является уравнение затухающих колебаний.
Здесь q
0
- амплитуда незатухающих гармонических коле- баний;
- постоянная затухания;
2
2
2
- частота затухающих колебаний;
- начальная фаза колебаний.
Графическое решение этого уравнения представлено на рис.2.
Значения q
0
Рис.2 и
определяются начальными условия- ми - значениями заряда и тока в начальный момент време- ни.
Для характеристики затухающих колебаний обычно вводят понятие логарифмического декремента затухания.
Логарифмическим декрементом затухания называ- ется величина численно равная логарифму отношения двух соседних амплитуд
Если q
n и q
n
1
- два последовательных значения максимума кривой
q
t
, которые соответствуют временам
t
n
и t
n
1
(рис.2). Причем
t
n
1
t
n
T
, где Т=
2????
????
Тогда
q
n
q
0
e
t
n
sin
t
n
61
q
n
1
q
0
e
t
n
T
sin
t
n
T
q
0
e
t
n
T
sin
t
n
62
Отсюда логарифмический декремент затухания
,
σ
ln
A
n
A
n
1
ln
q
n
q
n
1
T
(5)
Его можно определить и по другому. Пусть
t
1
- время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз. То есть
e
t
1
e
1
,
t
1
1
. Из отношения (5), получаем
T
1
t
1
N где N - число колебаний за время t
1
Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, после которого амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики затухания колебаний пользуются другой величиной, называемой добротностью контура Q
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
Если затухание мало, то для контура с большой доб- ротностью можно положить
0
и логарифмический декремент затухания выразится так
63
64
L
C
Величину называют волновым сопротивлением.
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ФПЭ-
05, магазин сопротивлений, генератор прямоугольных импульсов, электронный ос- циллограф.
Блок-схема установки приведена на рис. 3, она состоит из четырех блоков:
1 — магазин сопротивлений — РЗЗ,
2 — модуль затухающих колебаний — ФПЭ,
3 — генератор сигналов — Г6-46,
4 — осциллографа GOS-620
Рис.3.
От генератора сигналов (3) на колебательный контур поступает кратковременный импульс, который заряжает конденсатор и в колебательном контуре возникают затухающие электрические колебания. Частота импульсов постоянна по величине и на экране осциллографа наблюдается устойчивая картина затухающих колебаний. С помощью магазина сопротивлений 1 можно менять общее
65 сопротивление колебательного контура. Для калибровки шкалы осциллографа необходимо с помощью горизон- тального и вертикального регуляторов
(POSITION) уста- новить картину за- тухающих колебаний посередине экрана.
Принципиальная электрическая схема
Рис.4. установки приведена
. на рис. 4.
1V. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Проверить правильность подключения блоков установ- ки согласно блок-схемы и электрической схемы(рис.3,4).
2. Включить в сеть генератор сигналов Г6-46.
3. Кнопкой POVER включить осциллограф, при этом загорается зеленая лампочка.
4. Включить генератор сигналов, нажав на белую кнопку на задней панели генератора.
5. На генератора сигналов «частота» нажать кнопку 100 Гц;
- на шкале «режим» генератора сигналов нажать кнопку;
- на шкале «аттенюатор» генератора сигналов установить «0»;
6. На генераторе сигналов регулировкой «грубо» выста- вить 80-100Гц;
7. На магазине сопротивлений выставить 100 Ом;
8. На осциллографе:
66
– на регуляторе TIME выставить “1ms”;
– на регуляторе VOLTS/DIV выставить “2mv”;
– переключатель нижний правый поставить в верхнее положение «АС»;
– переключатель MODE установить в крайнее нижнее положение AUTO;
– переключатель SOURCE — в положение СН1;
– кнопка TRIG.ALT — в нажатом положении;
– регулятором
LEVEL остановить полученную картинку затухающих колебаний;
– регуляторами
POSTION установить картину затухающих колебаний на середину экрана;
– Добиться на экране картины, изображённой на рис.5
Рис.5.
9. Провести калибровку шкалы осциллографа, для чего определить длину l, соответствующую времени t (рис.5).
Цена деления шкалы осциллографа α определяется по формуле
(9)
10.Измерить на экране осциллографа длины двух соседних амплитуд (A
n и A
n+1
);
11.Рассчитать период затухающих колебаний, для чего определить число делений шкалы l
x
, соответствующих N
(4-5) полным колебаниям и определить значение периода колебаний (Т) по формуле:
(10)
67 12.Изменяя сопротивление R в интервале 20 – 100 Ом провести 8 – 10 измерений в соответствии с пунктами 9
– 11.
13.По окончанию измерений выключить осциллограф и генератор сигналов.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Занести результаты измерений в таблицу
Таблица.
№ п/п
A
1
,мм A
2
,мм
,c/дел T,c
R
M
,Oм
,c
1
Q
2. По формулам (6,7,8) вычислить логарифмический декремент затухания τ, коэффициент затухания γ и добротность Q контура.
3. По результатам исследования построить график зависимости γ = f (R)
4. Результаты измерений представить в виде:
ср
ср
Q
Q
cp
Q
68
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Запишите закон изменения во времени:
тока в колебательном контуре;
заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;
напряжения на катушке;
напряжения на конденсаторе.
2. Дайте определение и приведите формулы для расчета параметров, характеризующих затухание колебаний в электрическом колебательном контуре.
69
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-06
Изучение вынужденных электрических колебаний на
лабораторном стенде
I.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вынужденных
электрических
колебаний и получение резонансных
кривых. Исследование зависимости
амплитуды вынужденных электриче-
ских колебаний от активного сопро-
тивления.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
В реальном колебательном контуре электрические ко- лебания затухают и через некоторое время, зависящее от его добротности, исчезают совсем. Для технического ис- пользования электрических колебаний необходимо, чтобы эти колебания существовали длительное время. Если в цепь, содержащую емкость C , индуктивность L и омиче- ское сопротивление R , включить генератор (рис. 1), э.д.с. которого меняется периодически по закону
Е = Е
0·
cosΩt
(здесь E -амплитудное значение действующей в контуре переменной э.д.с.;
- ее круговая частота), то в этом контуре возникают вынужден- ные электрические колебания.
Они уже будут незатухающими, потому что подводимая энергия компенсирует потери на тепло
Джоуля-Ленца.
Рис.1
70
По второму правилу Кирхгофа
U
R
+ U
C
= E
i
+ E (1)
Тогда уравнение (1) примет вид
I · R +
???? ????
⁄ = -L·???????? ????????
⁄ +E
0
·cosΩt (2) а, так как I = ???????? ????????
⁄
, получим
L·
????
2
???? ????????
2
⁄
+ R · ???????? ????????
⁄ + ???? ????
⁄ = E
0
·cosΩt (3)
Обозначив ???? ????
⁄ =2·γ , 1 ????????
⁄
= ????
0 2
, уравнение (3) примет вид
????
2
???? ????????
2
⁄
+ 2 · γ ·
???????? ????????
⁄ + ???? ????
⁄ = E
0
·cosΩt (4)
Полученное дифференциальное уравнение описывает вынужденные электрические колебания. При этом предпо- лагается, что с момента начала колебаний прошло доста- точно большое время, так что амплитуды силы тока, на- пряжения и заряда уже достигли постоянного значения, определяющегося величиной внешней э.д.с. Для уже уста- новившихся колебаний решение этого уравнения имеет вид
q(t)=q
0
·cos(Ωt + ????) (5)
q
0
- амплитуда колебаний заряда;
- начальная фаза.
Аналогичное решение будет и для силы тока
71
R
2
L
2
C
????
0
=
????
0
????
√(????
0 2
− ????
2
)
2
+ 4 ∙ ????
2
∙ ????
2
(7)
Так как γ =
????
2????
, a
???? = ???????????????????? 2???????? (????
0 2
⁄
− ????
2
) (8)
Подставив вместо
и
их значения в (7), получим
????
0
=
????
0
√????
2
+ (???? ∙ ???? −
1
???? ∙ ????)
2
(9) tg
???? = (???? · ???? − 1 ???? · ????)
⁄
????
⁄ (10)
Формула (9) аналогична закону Ома для замкнутой це- пи постоянного тока. Поэтому величину
Z
(11) называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Оно складывается из активного сопротивления R , индук- тивного
L
и емкостного 1
C
сопротивлений .
Амплитуда силы тока I
0 в контуре зависит не только от его параметров {R, L, C}, амплитуды E
0 вынуждаю- щей э.д.с., но и от циклической частоты
(см.(7)). Мак- симального значения I
0 достигает всегда при одном и том же значении циклической частоты вынуждающей э.д.с.
P
0
72
(12)
73
При Ω
р
= ω
0
полное сопротивление контура Z ми- нимально и равно R. Тогда максимальная сила тока в контуре ????
0
????????????
= ????
0
/????. В этом случае ???????????? = 0, а значит и ???? =
0,сила тока совпадает по фазе с вынуждающей э.д.с.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении
к Ω
р называ- ется резонансом.
Условие резонанса мо- жет быть достигнуто тремя путями: изменением частоты
, изменением индуктивно- сти
L
и изменением емкости контура C. В данной работе индуктивность L и емкость
C
контура остаются постоянными, а изменяется частота вынуждающей э.д.с.
На рис.2. даны графики зависимости I
0
от
при различных значениях добротности
Q.
Q
1
>Q
2
>Q
3
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, мини- блоки «Катушка», «Конденсатор» и «Сопротив- ление», мультиметр.
Схема электрической цепи для исследования резонан- сов приведена на рис.1, монтажная схема на рис. 3 . Элек- трическая цепь с последовательно соединёнными элемен- тами L , C и R предназначена для изучения резонанса на- пряжений.
74
В качестве источника внешнего переменного напря- жения используется генератор напряжений специальной формы.
Рис. 3.
Переменное напряжение в цепи L C R возбуждает вынужденные колебания. Сила тока в цепи определяется по формуле (9) . При неизменных параметрах L, C и R сила тока в цепи будет функцией только частоты генерато- ра
. Поэтому при изменении частоты генератора сила тока сначала будет возрастать, а затем, достигнув макси- мума начнет уменьшаться ( рис . 2 ) . Частота , при которой будет наблюдаться максимум и будет соответствовать ре- зонансной частоте. Для получения зависимости I
f
необходимо замерить силу тока в цепи, но это сопряжено со значительными трудностями.
В данной работе для получения зависимости I
f
используется тот факт, что падение напряжений на ак- тивном сопротивлении катушки R
L
индуктивности про- порционально току в цепи U = I ∙ R. Если R
L
= const, то
75
U
R
I
, а значит U
R
f
. Сопротивление R посто- янно и поэтому для получения зависимости U
f
к клеммам 5 - 6 подключаем цифровой мультиметр (режим V≈
20 В, входы СОМ, VΩ).
Переменное сопротивлений ( диапазон 0-1кΩ) R
M
служит для изменения добротности Q , величина которой обратно пропорциональна омическому сопротивлению цепи
L C R .
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1.
Собрать по монтажной схеме, приведённой на рис.5 электрическую цепь, состоящую из последовательно со- единённых конденсатора, катушки индуктивности и пе- ременного сопротивления.
2.
Включить кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров. Кнопками установ- ки частоты «0.5-20 кГц» установите частоту
1
0.50 кГц. Кнопками установки уровня выхода
«0-15В» установите напряжение на выходе генератора 1
– 2В. На переменном сопротивлении установить
0.3 кОм
3.
Увеличивая частоту ν выходного сигнала генератора, найти максимальное напряжение и соответствующую ему частоту ν
рез
. Продолжая увеличивать частоту ν, ус- тановите напряжение, примерно в 3-4 раза меньшее максимального. Отметьте соответствующую частоту.
4.
Разделить частотный интервал на 15 значений и для каждой частоты ν измерьте соответствующее напряже- ния U. Вдали от резонанса измерения можно произво- дить с большим интервалом по частоте. Вблизи резо- нанса в области крутого подъёма и спада кривой интер- вал следует уменьшить. Результаты измерений занести в
76 таблицу.
5.
Выключить кнопками «Сеть» питание блока генерато- ров напряжения и блока мультиметров. Изменить со- противление на 0.1 кОм и повторить измерения, опи- санные в пунктах 3-4 не менее 4 раз.
6.
Выключить кнопками «Сеть» питание блока генерато- ров напряжения и блока мультиметров и привести ус- тановку в исходное состояние .
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ.
1.
Занести результаты измерения в таблицу 1.
Для каждой серии измерений составляется отдельная таблица, над которой указывается значение сопротив- ления.
Таблица 1
R = . . . Ом
ν, Гц
U , В
2.
На миллиметровой бумаге построить графики зависимостей U = f(v).
3.
Определить значение Ω
рез в максимуме для каждого значения сопротивления магазина. Результаты занести в таблицу 2 .
Таблица 2.
R , Ом
р ез
, Гц
4.
Построить график зависимости U = f(R) . Сделать вывод
VI. ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и
77 термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 – 372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие собственных колебаний от вынужден- ных?
2. От чего зависит величина тока в контуре при вынуж- денных колебаниях?
3. В чем заключается условие резонанса в контуре?
4. Какими способами можно получить условие резонанса?
5. Какие выводы можно сделать по экспериментально по- лученным графикам?
78
q
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-07
1 2 3 4 5 6 7
52
e
t
1
e
1
,
t
1
1
. Таким образом, логарифмиче- ский декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, после которого амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики затухания колебаний пользуются и другой величиной, называемой добротностью колеба- тельной системы Q
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
Если затухание мало, то для контура с большой доб- ротностью можно положить
0
и логарифмический декремент затухания выразится так
Величину называют волновым сопротивлением
L
C
53
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, модуль
«катушка», модуль «сопротивление», магазин
ёмкостей, осциллограф.
Принципиальная электрическая схема установки пред- ставлена на рис. 3.
Рис. 3.
Монтажная схема установки изображена на рис. 4.
Рис.4.
54
От генератора сигналов однополярный импульс подаётся на колебательный контур и возбуждает в нём электрические колебания. К клеммам 3 подключается магазин ёмкостей. Напряжение с индуктивности подается на электронный осциллограф, где и наблюдают затухающие колебания.
Вид этих колебаний представлен на рис. 5.
Переменное сопротивление служит для регулировки скорости затухания. С помощью магазина ёмкостей можно менять период колебаний.Период этих колебаний можно найти по формуле
Рис.5. где k
x
– коэффициент горизонтальной развертки осцилло- графа; l – длина участка этой развертки, на котором укла- дывается N полных колебаний.
Амплитуды напряжения на конденсаторе U
t
и U
t+T
, не- обходимые для расчёта логарифмического декремента
, находятся по формуле
55
U
k
Y
h
, (10) где
k
Y
– коэффициент вертикального отклонения осцилографа, h – величина этого отклонения (пунктирные линии на рис. 3).
По известным значениям логарифмического декремента σ и периода затухающих колебаний
Т
можно найти значение коэффициента затухания γ
γ = σ/Т.
(12)
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Собрать электрическую цепь по монтажной схеме, приве- дённой на рис. 4.
2. Переключатели и регуляторы, расположенные на лице- вой панели осциллографа, установить в положения, ука- занные на осциллографе.
3. Установить сопротивление реостата R
р равным «0,1 кОм». Для этого повернуть ручку реостата против часовой стрелки до упора.
4. Включить кнопку «POWER» расположенную на панели осциллографа под экраном, при этом должен зажечься светодиодный индикатор. При помощи регуляторов
«INTEN» и «FOCUS», расположенных там же, установить соответственно оптимальную яркость и фокусировку луча.
Внимание!
Для
предотвращения
повреждения
люминофора
электронно-лучевой
трубки
не
устанавливайте чрезмерную яркость луча и не
оставляйте без необходимости длительное время
неподвижное пятно на экране.
5. Регуляторами «
<
POSITION
>
» и «POSITION
» со-
вместить горизонтальную развёртку электронного луча с
56 центральной горизонтальной линией экрана.
6. Кнопкой «СЕТЬ» включить питание блоков генераторов напряжений. Нажать на панели генератора кнопку с формой импульса
». Кнопками «Установка частоты
0…20 кГц установить частоту 0,1 кГц.
7. С помощью кнопки
« Установка уровня выхода 0…15В» генератора получить на экране изображение осциллограммы затухающих колебаний (рис.5). При этом максимальная амплитуда колебаний не должна превышать
7 больших делений масштабной сетки экрана
С помощью регуляторов «< POSITION > » и
« POSITION
∆
∇
» вывести осциллограф в центр экрана.
8. Увеличивая электроёмкость магазина с шагом 0,1 мкФ определить в больших делениях шкалы отклонение h для двух соседних амплитуд с точностью до миллимет- ра.
9. Замерить длину 5 – 6 колебаний и определить их период по формуле (9)
10. Произвести измерения указанные в пункте 8 и 9 для 7 –
9 значений ёмкости магазина.
11. Выключить стенд и осциллограф и привести рабочее место в порядок.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
1. Результаты измерений занести в таблицу 1.
2. По формуле (5) вычислить значения логарифмического декремента. Результаты занести в таблицу 1.
3. Вычислить значения периода колебаний и коэффициента затухания.
4. По формуле (6) определить добротность контура.
5. Построить график зависимости добротности контура Q от электроёмкости С. Сделать выводы по полученным результатам.
6. Вычислить погрешность коэффициента затухания γ.
57
Таблица 1.
C, мкФ
U
t
, В
U
t+T
, В
γ , мс
-1
Т, мс
σ
Q
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016
– 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 – 372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров. Воробьёв
А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Что называют электромагнитными колебаниями? При- ведите примеры.
2. Чем вызвано затухание колебаний в контуре?
3. Запишите уравнение электромагнитных колебаний, воз- никающих в идеальном колебательном контуре.
4. Какими параметрами контура определяется коэффици- ент затухания?
5. Каков смысл логарифмического декремента затухания?
6. При каком условии процесс разрядки конденсатора ко- лебательного контура является апериодическим?
7. Выведите уравнение затухающих колебаний и запишите его решение.
58
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-05
Изучение затухающих электрических колебаний
в колебательном контуре
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение затухающих электрических
колебаний и определение их основных
характеристик; исследование зависи-
мости коэффициента затухания от
сопротивления контура.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Рассмотрим процессы, которые происходят в электри- ческой цепи, состоящей из индуктивности L , емкости C и сопротивления R (рис.1). Так как сопротивление контура не равно нулю, энергия, запасённая в контуре,
Рис.1 непрерывно расходуется на выделение тепла. Поэтому колебания со временем исчезнут, процесс уже не будет пе- риодическим.
Будем считать, что мгновенное значение силы тока I
одно и то же в любом месте контура, и что к мгновенным значениям электрических величин можно применять зако- ны Кирхгофа. По второму правилу Кирхгофа
(1)
59 0 здесь
– падение напряжения на конденсаторе;
– падение напряжения на сопротивлении;
– ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке
После подстановки уравнение (1) примет вид
С учетом того что I = dq/dt уравнение (1), описывающее электрические явления в колебательном контуре, будет иметь вид
d
2
q
L
dt
2
R
dq
q
0
dt
С
(2)
Вводя обозначения
????
2∙????
= ????; ????
0 2
=
1
????∙С
перепишем это уравнение
????
2
????
????????
2
+ 2 ∙ ???? ∙
????????
????????
+ ????
0 2
∙
????
????
= 0 (3)
Колебания заряда описываются линейным дифферен- циальным уравнением второго порядка с постоянными ко- эффициентами. Такие же уравнения получаются для силы тока I и напряжения U.
Решение уравнения (3) зависит от соотношения между коэффициентами. Если вид
2
2
, тогда решение (3) имеет
q
t
q
0
e
t
sin
t
(4)
60 0 которое и является уравнение затухающих колебаний.
Здесь q
0
- амплитуда незатухающих гармонических коле- баний;
- постоянная затухания;
2
2
2
- частота затухающих колебаний;
- начальная фаза колебаний.
Графическое решение этого уравнения представлено на рис.2.
Значения q
0
Рис.2 и
определяются начальными условия- ми - значениями заряда и тока в начальный момент време- ни.
Для характеристики затухающих колебаний обычно вводят понятие логарифмического декремента затухания.
Логарифмическим декрементом затухания называ- ется величина численно равная логарифму отношения двух соседних амплитуд
Если q
n и q
n
1
- два последовательных значения максимума кривой
q
t
, которые соответствуют временам
t
n
и t
n
1
(рис.2). Причем
t
n
1
t
n
T
, где Т=
2????
????
Тогда
q
n
q
0
e
t
n
sin
t
n
61
q
n
1
q
0
e
t
n
T
sin
t
n
T
q
0
e
t
n
T
sin
t
n
62
Отсюда логарифмический декремент затухания
,
σ
ln
A
n
A
n
1
ln
q
n
q
n
1
T
(5)
Его можно определить и по другому. Пусть
t
1
- время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз. То есть
e
t
1
e
1
,
t
1
1
. Из отношения (5), получаем
T
1
t
1
N где N - число колебаний за время t
1
Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, после которого амплитуда уменьшается в e раз.
Для характеристики затухания колебаний пользуются другой величиной, называемой добротностью контура Q
Добротностью колебательной системы называется ве- личина обратно пропорциональная относительной потери энергии за период
Если затухание мало, то для контура с большой доб- ротностью можно положить
0
и логарифмический декремент затухания выразится так
63
64
L
C
Величину называют волновым сопротивлением.
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ФПЭ-
05, магазин сопротивлений, генератор прямоугольных импульсов, электронный ос- циллограф.
Блок-схема установки приведена на рис. 3, она состоит из четырех блоков:
1 — магазин сопротивлений — РЗЗ,
2 — модуль затухающих колебаний — ФПЭ,
3 — генератор сигналов — Г6-46,
4 — осциллографа GOS-620
Рис.3.
От генератора сигналов (3) на колебательный контур поступает кратковременный импульс, который заряжает конденсатор и в колебательном контуре возникают затухающие электрические колебания. Частота импульсов постоянна по величине и на экране осциллографа наблюдается устойчивая картина затухающих колебаний. С помощью магазина сопротивлений 1 можно менять общее
65 сопротивление колебательного контура. Для калибровки шкалы осциллографа необходимо с помощью горизон- тального и вертикального регуляторов
(POSITION) уста- новить картину за- тухающих колебаний посередине экрана.
Принципиальная электрическая схема
Рис.4. установки приведена
. на рис. 4.
1V. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Проверить правильность подключения блоков установ- ки согласно блок-схемы и электрической схемы(рис.3,4).
2. Включить в сеть генератор сигналов Г6-46.
3. Кнопкой POVER включить осциллограф, при этом загорается зеленая лампочка.
4. Включить генератор сигналов, нажав на белую кнопку на задней панели генератора.
5. На генератора сигналов «частота» нажать кнопку 100 Гц;
- на шкале «режим» генератора сигналов нажать кнопку;
- на шкале «аттенюатор» генератора сигналов установить «0»;
6. На генераторе сигналов регулировкой «грубо» выста- вить 80-100Гц;
7. На магазине сопротивлений выставить 100 Ом;
8. На осциллографе:
66
– на регуляторе TIME выставить “1ms”;
– на регуляторе VOLTS/DIV выставить “2mv”;
– переключатель нижний правый поставить в верхнее положение «АС»;
– переключатель MODE установить в крайнее нижнее положение AUTO;
– переключатель SOURCE — в положение СН1;
– кнопка TRIG.ALT — в нажатом положении;
– регулятором
LEVEL остановить полученную картинку затухающих колебаний;
– регуляторами
POSTION установить картину затухающих колебаний на середину экрана;
– Добиться на экране картины, изображённой на рис.5
Рис.5.
9. Провести калибровку шкалы осциллографа, для чего определить длину l, соответствующую времени t (рис.5).
Цена деления шкалы осциллографа α определяется по формуле
(9)
10.Измерить на экране осциллографа длины двух соседних амплитуд (A
n и A
n+1
);
11.Рассчитать период затухающих колебаний, для чего определить число делений шкалы l
x
, соответствующих N
(4-5) полным колебаниям и определить значение периода колебаний (Т) по формуле:
(10)
67 12.Изменяя сопротивление R в интервале 20 – 100 Ом провести 8 – 10 измерений в соответствии с пунктами 9
– 11.
13.По окончанию измерений выключить осциллограф и генератор сигналов.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Занести результаты измерений в таблицу
Таблица.
№ п/п
A
1
,мм A
2
,мм
,c/дел T,c
R
M
,Oм
,c
1
Q
2. По формулам (6,7,8) вычислить логарифмический декремент затухания τ, коэффициент затухания γ и добротность Q контура.
3. По результатам исследования построить график зависимости γ = f (R)
4. Результаты измерений представить в виде:
ср
ср
Q
Q
cp
Q
68
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Запишите закон изменения во времени:
тока в колебательном контуре;
заряда на обкладках конденсатора в колебательном контуре;
напряжения на катушке;
напряжения на конденсаторе.
2. Дайте определение и приведите формулы для расчета параметров, характеризующих затухание колебаний в электрическом колебательном контуре.
69
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-06
Изучение вынужденных электрических колебаний на
лабораторном стенде
I.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вынужденных
электрических
колебаний и получение резонансных
кривых. Исследование зависимости
амплитуды вынужденных электриче-
ских колебаний от активного сопро-
тивления.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
В реальном колебательном контуре электрические ко- лебания затухают и через некоторое время, зависящее от его добротности, исчезают совсем. Для технического ис- пользования электрических колебаний необходимо, чтобы эти колебания существовали длительное время. Если в цепь, содержащую емкость C , индуктивность L и омиче- ское сопротивление R , включить генератор (рис. 1), э.д.с. которого меняется периодически по закону
Е = Е
0·
cosΩt
(здесь E -амплитудное значение действующей в контуре переменной э.д.с.;
- ее круговая частота), то в этом контуре возникают вынужден- ные электрические колебания.
Они уже будут незатухающими, потому что подводимая энергия компенсирует потери на тепло
Джоуля-Ленца.
Рис.1
70
По второму правилу Кирхгофа
U
R
+ U
C
= E
i
+ E (1)
Тогда уравнение (1) примет вид
I · R +
???? ????
⁄ = -L·???????? ????????
⁄ +E
0
·cosΩt (2) а, так как I = ???????? ????????
⁄
, получим
L·
????
2
???? ????????
2
⁄
+ R · ???????? ????????
⁄ + ???? ????
⁄ = E
0
·cosΩt (3)
Обозначив ???? ????
⁄ =2·γ , 1 ????????
⁄
= ????
0 2
, уравнение (3) примет вид
????
2
???? ????????
2
⁄
+ 2 · γ ·
???????? ????????
⁄ + ???? ????
⁄ = E
0
·cosΩt (4)
Полученное дифференциальное уравнение описывает вынужденные электрические колебания. При этом предпо- лагается, что с момента начала колебаний прошло доста- точно большое время, так что амплитуды силы тока, на- пряжения и заряда уже достигли постоянного значения, определяющегося величиной внешней э.д.с. Для уже уста- новившихся колебаний решение этого уравнения имеет вид
q(t)=q
0
·cos(Ωt + ????) (5)
q
0
- амплитуда колебаний заряда;
- начальная фаза.
Аналогичное решение будет и для силы тока
71
R
2
L
2
C
????
0
=
????
0
????
√(????
0 2
− ????
2
)
2
+ 4 ∙ ????
2
∙ ????
2
(7)
Так как γ =
????
2????
, a
???? = ???????????????????? 2???????? (????
0 2
⁄
− ????
2
) (8)
Подставив вместо
и
их значения в (7), получим
????
0
=
????
0
√????
2
+ (???? ∙ ???? −
1
???? ∙ ????)
2
(9) tg
???? = (???? · ???? − 1 ???? · ????)
⁄
????
⁄ (10)
Формула (9) аналогична закону Ома для замкнутой це- пи постоянного тока. Поэтому величину
Z
(11) называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Оно складывается из активного сопротивления R , индук- тивного
L
и емкостного 1
C
сопротивлений .
Амплитуда силы тока I
0 в контуре зависит не только от его параметров {R, L, C}, амплитуды E
0 вынуждаю- щей э.д.с., но и от циклической частоты
(см.(7)). Мак- симального значения I
0 достигает всегда при одном и том же значении циклической частоты вынуждающей э.д.с.
P
0
72
(12)
73
При Ω
р
= ω
0
полное сопротивление контура Z ми- нимально и равно R. Тогда максимальная сила тока в контуре ????
0
????????????
= ????
0
/????. В этом случае ???????????? = 0, а значит и ???? =
0,сила тока совпадает по фазе с вынуждающей э.д.с.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении
к Ω
р называ- ется резонансом.
Условие резонанса мо- жет быть достигнуто тремя путями: изменением частоты
, изменением индуктивно- сти
L
и изменением емкости контура C. В данной работе индуктивность L и емкость
C
контура остаются постоянными, а изменяется частота вынуждающей э.д.с.
На рис.2. даны графики зависимости I
0
от
при различных значениях добротности
Q.
Q
1
>Q
2
>Q
3
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: лабораторный стенд, мини- блоки «Катушка», «Конденсатор» и «Сопротив- ление», мультиметр.
Схема электрической цепи для исследования резонан- сов приведена на рис.1, монтажная схема на рис. 3 . Элек- трическая цепь с последовательно соединёнными элемен- тами L , C и R предназначена для изучения резонанса на- пряжений.
74
В качестве источника внешнего переменного напря- жения используется генератор напряжений специальной формы.
Рис. 3.
Переменное напряжение в цепи L C R возбуждает вынужденные колебания. Сила тока в цепи определяется по формуле (9) . При неизменных параметрах L, C и R сила тока в цепи будет функцией только частоты генерато- ра
. Поэтому при изменении частоты генератора сила тока сначала будет возрастать, а затем, достигнув макси- мума начнет уменьшаться ( рис . 2 ) . Частота , при которой будет наблюдаться максимум и будет соответствовать ре- зонансной частоте. Для получения зависимости I
f
необходимо замерить силу тока в цепи, но это сопряжено со значительными трудностями.
В данной работе для получения зависимости I
f
используется тот факт, что падение напряжений на ак- тивном сопротивлении катушки R
L
индуктивности про- порционально току в цепи U = I ∙ R. Если R
L
= const, то
75
U
R
I
, а значит U
R
f
. Сопротивление R посто- янно и поэтому для получения зависимости U
f
к клеммам 5 - 6 подключаем цифровой мультиметр (режим V≈
20 В, входы СОМ, VΩ).
Переменное сопротивлений ( диапазон 0-1кΩ) R
M
служит для изменения добротности Q , величина которой обратно пропорциональна омическому сопротивлению цепи
L C R .
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1.
Собрать по монтажной схеме, приведённой на рис.5 электрическую цепь, состоящую из последовательно со- единённых конденсатора, катушки индуктивности и пе- ременного сопротивления.
2.
Включить кнопками «Сеть» питание блока генераторов напряжения и блока мультиметров. Кнопками установ- ки частоты «0.5-20 кГц» установите частоту
1
0.50 кГц. Кнопками установки уровня выхода
«0-15В» установите напряжение на выходе генератора 1
– 2В. На переменном сопротивлении установить
0.3 кОм
3.
Увеличивая частоту ν выходного сигнала генератора, найти максимальное напряжение и соответствующую ему частоту ν
рез
. Продолжая увеличивать частоту ν, ус- тановите напряжение, примерно в 3-4 раза меньшее максимального. Отметьте соответствующую частоту.
4.
Разделить частотный интервал на 15 значений и для каждой частоты ν измерьте соответствующее напряже- ния U. Вдали от резонанса измерения можно произво- дить с большим интервалом по частоте. Вблизи резо- нанса в области крутого подъёма и спада кривой интер- вал следует уменьшить. Результаты измерений занести в
76 таблицу.
5.
Выключить кнопками «Сеть» питание блока генерато- ров напряжения и блока мультиметров. Изменить со- противление на 0.1 кОм и повторить измерения, опи- санные в пунктах 3-4 не менее 4 раз.
6.
Выключить кнопками «Сеть» питание блока генерато- ров напряжения и блока мультиметров и привести ус- тановку в исходное состояние .
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ.
1.
Занести результаты измерения в таблицу 1.
Для каждой серии измерений составляется отдельная таблица, над которой указывается значение сопротив- ления.
Таблица 1
R = . . . Ом
ν, Гц
U , В
2.
На миллиметровой бумаге построить графики зависимостей U = f(v).
3.
Определить значение Ω
рез в максимуме для каждого значения сопротивления магазина. Результаты занести в таблицу 2 .
Таблица 2.
R , Ом
р ез
, Гц
4.
Построить график зависимости U = f(R) . Сделать вывод
VI. ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и
77 термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 – 372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие собственных колебаний от вынужден- ных?
2. От чего зависит величина тока в контуре при вынуж- денных колебаниях?
3. В чем заключается условие резонанса в контуре?
4. Какими способами можно получить условие резонанса?
5. Какие выводы можно сделать по экспериментально по- лученным графикам?
78
q
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-07
1 2 3 4 5 6 7
Изучение вынужденных электрических колебаний
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вынужденных электрических
колебаний и получение зависимостей
амплитуды вынужденных колебаний
от частоты.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
В реальном колебательном контуре электрические ко- лебания затухают и через некоторое время, зависящее от его добротности, исчезают совсем. Для технического ис- пользования электрических колебаний необходимо, чтобы эти колебания существовали длительное время. Если в цепь, содержащую емкость C , индуктивность L и омиче- ское сопротивление R , включить генератор ( рис . 1 ) , э.д.с. которого меняется периодически по закону
E
E
0
cos
t
(здесь E -амплитудное значение действующей в контуре переменной э.д.с.,
- ее круговая частота), то в этом контуре возникают вынуж- денные электрические ко- лебания. Они уже будут не- затухающими, потому что подводимая энергия ком- пенсирует потери на тепло
Джоуля-Ленца.
Рис.1
По второму правилу Кирхгофа
U
R
U
C
E
i
E
(1) где
U
R
I
R
;
U
C
=
;
C
E
L
dI
i
dt
79
Тогда уравнение (1) примет вид
I
R
q
C
L
dI
dt
E
0
cos
t
(2) а, так как I
dq
, получим
dt
Полученное дифференциальное уравнение описывает вынужденные электрические колебания. При этом предпо- лагается, что с момента начала колебаний прошло доста- точно большое время, так что амплитуды силы тока, на- пряжения и заряда уже достигли постоянного значения, определяющегося величиной внешней э.д.с. Для уже уста- новившихся колебаний решение этого уравнения имеет вид
q( t )
q
0
cos(
t
)
q
0
- амплитуда колебаний заряда;
- начальная фаза.
Аналогичное решение будет и для силы тока
(5)
(6)
80
????
0
=
????
0
????
√(????
0 2
− ????
2
)
2
+ 4 ∙ ????
2
∙ ????
2
(7)
???? = ????????????????????
2 ∙ ???? ∙ ????
????
0 2
− ????
2
(8)
Подставив вместо
и
их значения, получим
E
0
I
0
(9)
Формула (9) аналогична закону Ома для замкнутой це- пи постоянного тока. Поэтому величину
Z
(11) называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Оно складывается из активного (омического) сопротивле- ния R , индуктивного тивлений .
L и емкостного 1
C
сопро-
Амплитуда силы тока
I
0 в контуре зависит не только от его параметров {R, L, C}, амплитуды E
0 вынуждаю- щей э.д.с., но и от циклической частоты
(см.(7)). Мак- симального значения I
0 достигает всегда при одном и том
81 же значении циклической частоты вынуждающей э.д.с.
P
0
82
P
(12)
При
P
0 полное сопротивление контура Z мини- мально и равно R. Тогда максимальная сила тока в контуре
????
0
????????????
=
????
0
????
. В этом случае tg
????=0, а значит и ???? = 0, и сила тока совпадает по фазе с вынуждающей э.д.с.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении
к
P вается резонансом. назы-
Условие резонанса может быть достигнуто тремя пу- тями: изменением частоты
, изменением индуктивности
L и изменением емкости контура C. В данной ра- боте индуктивность L и емкость C контура ос- таются постоянными, а изменяется частота вы- нуждающей э.д.с. На рис.2 даны графики за- висимости I
0 от
при различных значениях добротности Q
Рис.2.
Q
1
Q
2
Q
3
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: панель с конденсатором и катушкой индуктивности, генератор синусоидаль- ных колебаний, цифровой вольтметр.
83
Электрическая блок – схема лабораторной установки изображена на рис.3, а внешний вид представлен на рис.4.
Рис. 3.
Звуковой генератор 4 подключается к клеммам 1-2 блока ФПЭ-11 , содержащей катушку индуктивности L, и сопротивление R
0
. К клеммам 3-4 блока последовательно подключается магазин сопротивлений 2 и магазин ёмко- стей 3 , а к клеммам 5-6 - цифровой вольтметр 5.
Рис.4.
Переменное напряжение в цепи L C R возбуждает вынуж- денные колебания . Сила тока в цепи определяется по формуле (9) . При неизменных параметрах L, C и R сила тока в цепи будет функцией только частоты генератора
. Поэтому при изменении частоты генератора сила тока сначала будет возрастать, а затем, достигнув максимума начнет уменьшатся ( рис . 2 ) . Частота , при которой будет
84 наблюдаться максимум и будет соответствовать резонанс- ной частоте. Для получения зависимости I
f
необ- ходимо замерить силу тока в цепи , но это сопряжено со значительными трудностями.
В данной работе для получения зависимости I
f
используется тот факт , что падение напряжений на оми- ческом сопротивлении пропорционально току в цепи
U
R
I
R
. Если R
const , то
U
R
I
, а значит
U
R
f
. Омическое сопротивление R постоянно и поэтому для получения зависимости U
5 - 6 подключаем цифровой вольтметр.
f
к клеммам
Магазин сопротивлений
R
M
служит для изменения добротности Q , величина которой обратно пропорцио- нальна омическому сопротивлению цепи L, C, R .
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1.
Проверить правильность подключения генератора, вольтметра и магазина сопротивлений.
2.
Ручкой частоты генератора установить указатель частоты в начальное положение. Умножитель частот установить в положении, указанном на установке . На магазине сопротивлений установить в нулевом положе- нии все декады .
3.
Включить цифровой вольтметр и генератор. Ручкой ам- плитуды установить значение выходного напряжения генератора равное 50 - 70 % от
U
max
4.
Медленно увеличивая частоту генератора, через каж-
85 дые 2 - 3 деления , фиксировать с помощью вольтмет- ра падение напряжения на сопротивлении в цепи . В области максимума U
f
величину падения на- пряжения фиксировать через каждое деление.
86 5.
Увеличивая сопротивление магазина в интервале 100 –
600 Ом, произвести 3 – 4 измерения зависимости
U
f
в соответствии с пунктом 4 ,
6.
Отключить генератор и вольтметр от сети и привести установку в исходное состояние.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ .
1.
Занести результаты измерения в таблицу 1.
Для каждой серии измерений составляется отдельная таблица , над которой указывается сопротивление ма- газинов.
R = . . . Ом
Таблица 1.
, Гц
U , Ом
2.
На миллиметровой бумаге построить графики зависи- мостей U
f
3.
Определить значение
рез в максимуме для каждого значения сопротивления магазина. Результаты занести в таблицу 2 .
Таблица 2 .
R , Ом
р ез
, Гц
4. Построить график зависимости
рез
f
R
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и
87 термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие собственных колебаний от вынужден- ных?
2. От чего зависит величина тока в контуре при вынуж- денных колебаниях?
3. В чем заключается условие резонанса в контуре?
4. Какими способами можно получить условие резонанса?
5. Какие выводы можно сделать по экспериментально по- лученным графикам?
88
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3-08.
Изучение электрических релаксационных колебаний.
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение релаксационных электриче-
ских колебаний и исследование зави-
симости частоты релаксационных
колебаний от напряжения источника
питания.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Наиболее простым видом колебаний являются гармо- нические колебания вида
Однако существуют колебания у которых характер по- вторяемости носит значительно более сложную зависи- мость. Примером таких колебаний являются электрические релаксационные колебания, возникающие в схеме изобра- жённой на рис.1.
Релаксацией называется процесс восстановления сис- темы после некоторого возмущения, который описывается экспоненциальным выражением или
. Первое выражение описывает само- произвольный процесс возвращения системы в положение равновесия, например разрядка конденсатора через сопро- тивление. Второе выражение описывает вынужденный процесс перехода системы в новое состояние равновесия, например зарядка конденсатора от источника. Величина
называется временем релаксации. Это время, в течение ко- торого остаточное возмущение в е раз меньше исходного.
89
Действительно, при t =
для первого выражения
А
А
0
=
1
????
, а для второго
А
????
−А
А
0
=
1
????
Электрические релаксационные колебания состоят из двух процессов, процесса зарядки конденсатора (вынуж- денный процесс) и процесса его разрядки через другое со- противление (самостоятельный процесс). Следовательно, в состав схемы должны входить:
1) источник энергии (батарея ЭДС
);
2) сопротивление, через которое заряжается конден- сатор (R);
3) конденсатор (С);
4) неоновая лампа (НЛ), с помощью которой при дос- тижении определенного напряжения на конденсаторе осу- ществляется его разрядка (рис.1).
Электродвижущая сила батареи
должна быть больше потенциала зажигания неоновой лампы, а сопротивление R
- много больше сопротивления неоновой лампы в рабочем
(зажженном) состоянии.
По второму правилу Кирхгофа, для контура при заряд- ке конденсатора
I (R + r) + U = ε
(1)
90 где I
мгновенное значение силы тока; U
мгно- венное значение напряжения на конденсаторе; r
внут- реннее сопротивление источника тока.
Так как R>>r, значением r можно пренебречь.
Учитывая, что
, уравне- ние (1) можно представить в виде
Решением этого уравнения является функция где
1
=R∙C.
(2)
Как видно, это уравнение вынужденного релаксацион- ного процесса с временем ре- лаксации
1
=RC.
Если бы неоновой лампы не было, то напряжение на конденсаторе увеличивалось бы с течением времени со- гласно кривой на графике
(рис. 2) и стремилось бы к ЭДС источника тока
При наличии неоновой лампы процесс протекает ина- че. Когда напряжение на конденсаторе достигает напряже- ния зажигания U
з
, в лампе возникает электрический разряд и конденсатор начинает быстро разряжаться.
Если сопротивление неоновой лампы в зажженном со- стоянии много меньше сопротивления R, то за время про- цесса разрядки конденсатора через неоновую лампу подза- рядка конденсатора от источника тока через сопротивле- ние R незначительна и падение напряжений для контура
(рис. 1) имеет вид:
(3)
91 где R
л
- сопротивление неоновой лампы в зажженном состоянии.
Учитывая, что
(знак «
» означает, что с появлением тока через лампу за- ряд на конденсаторе убывает), уравнение (3) можно пред- ставить в виде
(4)
Решая дифференциальное уравнение (4), получим за- кон, по которому уменьшается напряжение в конденсаторе при его разрядке
(5) где
2
= R
л
C
время релаксации разрядки конденсатора через со- противление неоновой лампы (R
л
) в зажженном состоянии.
На рисунке 3 представлена за- висимость напряжения на конден- саторе во время его разрядки через неоновую лампу согласно уравне- нию (5). Однако полной разрядки конденсатора не происходит. На рис. 4 представлена зави- симость напряжения на конденсаторе от времени для ре- лаксационных электрических колебаний (согласно схеме рис. 1). При включении
происходит зарядка конденсато- ра до напряжения зажигания неоновой лампы согласно уравнению (2) (кривая 0
1).
92
При достижении на конденсаторе напряжения зажигания неоновой лампы лампа зажигается и начина- ется разрядка конденсатора через лампу. Напряжение на конденсаторе уменьша- ется согласно уравнению
(5) до напряжения гашения
U
г неоновой лампы (кривая
(1
2). В этот момент разряд в газе прекращается, лампа гаснет, а конденсатор опять начинает заряжаться от источ- ника тока через сопротивление R. Напряжение на конден- саторе увеличивается (кривая 2
3) и при достижении на- пряжения зажигания U
з в лампе вновь возникает разряд.
Описанные процессы периодически повторяются, то есть в системе возникает колебательный процесс, заключающий- ся в периодической зарядке и разрядке конденсатора.
Рассмотренные электрические колебания в системе яв- ляются релаксационными.
Период Т релаксационных колебаний состоит из сумы времен t
1
(зарядка конденсатора от напряжения гашения U
г до напряжения зажигания U
з
) и t
2
(разрядки конденсатора через зажженную неоновую лампу от U
з до U
г
), Т = t
1
+ t
2
Взяв из уравнения (2)
, получим t
1
τ
1
ln
ε
U
г
ε
U
з
(6)
Соответственно, из уравнения (5) при получим
93 2 t
2
τ
2
ln
U
з
U
(7) г
Отсюда период колебаний
T
t
1
t
2
τ
1 ln
ε
U
г
τ ln
U
з
(8)
ε
U
з
U
г
При наличии в системе релаксационных колебаний видны периодические вспышки света лампы, разделенные паузами. Соотношение времен вспышек и пауз, опреде- ляемых уравнениями (6) и (7), зависит от времен релакса- ции
1 и
2
, которые зависят от величины емкости конден- сатора, сопротивления R и сопротивления лампы R
л в за- жженном состоянии (
1
=RC и
2
=R
л
C).
При R
R
л получаем
1
2
, колебания прекращаются и лампа постоянно горит. При R>>R
л наблюдаются кратко- временные вспышки разделенные продолжительными пау- зами. В этом случае можно считать, что t
2
<1 и период ко- лебаний определяется только временем t
1
94
95
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и оборудование: источник питания «Модуль ИП», измерительный модуль «Релаксационные коле- бания ФПЭ-12», магазин сопротивлений, магазин
ёмкостей, электронный осциллограф.
Внешний вид установки представлен на рис.5
Рис.5.
Модуль 1 представляет собой конструктивно само- стоятельное изделие. На передней панели графически изо- бражена упрощенная схема электрическая принципиаль- ная, установлены пять гнёзд и кнопочный переключатель.
На задней панели установлен разъём поз. 8 для подвода питания.
Принцип работы модуля ФПЭ-12 основан на получе- нии релаксационных колебаний в контуре при подаче пи- тающего напряжения (см. схему электрическую принци- пиальную). Модуль позволяет изучать релаксационные ко- лебания при различных параметрах RC
цепи и снимать вольтамперную характеристику неоновой лампы. Пере- ключатель необходим для выбора режима: снятие вольт- амперной характеристики лампы или изучение релаксаци-
96 онных колебаний. К гнёздам на передней панели модуля с обозначением PO , C подключается магазин ёмкостей 4, к которому параллельно подключается осциллограф 3 через делитель напряжения; с обозначением R - магазин сопро- тивлений 5. При снятии вольтамперной характеристики лампы кнопка переключателя должна быть в отключенном состоянии, при изучении релаксационных колебаний кноп- ку включить. К разъёму на задней панели подключается модуль ИП.
Меняя сопротивления, ёмкости и напряжение источ- ника можно:
1) определить потенциал зажигания и гашения разряда в неоновой лампе;
2) наблюдать релаксационные колебания и определить их период при различных сопротивлениях, ёмкостях и на- пряжениях.
Схема соединений установки представлены на рис.6.
Рис.6.
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Установить на осциллографе коэффициенты развёртки
k
x
0.5 мс/дел, k
y
5 В/дел.
2. На магазинах ёмкости и сопротивления установить зна- чения C
0.2 мкФ и R
10 4
Ом соответственно. Кнопка
ГЕН V/A должна быть нажата.
97 3. С помощью ручек регулировки модуля ИП установите напряжение на электродах неоновой лампы 100 В.
4. При достижении потенциала зажигания на экране ос- циллографа появляются кривые аналогичные рис. 4.
5. Увеличивая напряжение, определите потенциал зажига- ния разряда в неоновой лампе U
з
, а затем, уменьшая на- пряжение, определите потенциал гашения разряда U
г
Результаты занесите в таблицу 1. Измерения повторите не менее пяти раз.
6. Увеличивая напряжение на модуле от 100 В до 120 В с шагом 2 В, определить периоды релаксационных коле- баний по формуле
Т
????
????
l
N
,
где
k
х
– коэффициент горизонтальной развертки ос- циллографа, l – длина участка этой развертки (число больших полных клеток на экране), на котором уклады- вается N полных колебаний.
7. Уменьшите напряжение источника до 20 В, переключите переключатель модуля ИП в положение «Выкл», вы- ключите осциллограф и источник питания.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
1. Результаты измерений занести в таблицы 1 и 2 2. Определите средние значения U
з и U
г таблицу 1. и занесите их в
3. Найти значение частоты релаксационных колебаний
1
T
98
Таблица 1.
№ п.п
1
2
3
4
5
ср
U
з
, В
U
г
, В
Таблица 2.
U , В
T , мс
4. Построить график зависимости частоты колебаний от напряжения. Сделать выводы.
VI. ЛИТЕРАТУРА.
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Дайте определение релаксационного процесса.
2. От каких параметров схемы зависит период релаксаци- онных колебаний?
99 3. Как изменяется период релаксационных колебаний при уменьшении сопротивления R?
4. Начертите электрическую схему для получения релак- сационных электрических колебаний.
5. Какими процессами определяются электрические релаксационные колебания в схеме?
6. Объясните принцип работы генератора релаксационных колебаний.
7. Можно ли определять неизвестные сопротивления и ём- кости, используя схему генератора релаксационных ко- лебаний?
10 0
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-09
1 2 3 4 5 6 7
79
Тогда уравнение (1) примет вид
I
R
q
C
L
dI
dt
E
0
cos
t
(2) а, так как I
dq
, получим
dt
Полученное дифференциальное уравнение описывает вынужденные электрические колебания. При этом предпо- лагается, что с момента начала колебаний прошло доста- точно большое время, так что амплитуды силы тока, на- пряжения и заряда уже достигли постоянного значения, определяющегося величиной внешней э.д.с. Для уже уста- новившихся колебаний решение этого уравнения имеет вид
q( t )
q
0
cos(
t
)
q
0
- амплитуда колебаний заряда;
- начальная фаза.
Аналогичное решение будет и для силы тока
(5)
(6)
80
????
0
=
????
0
????
√(????
0 2
− ????
2
)
2
+ 4 ∙ ????
2
∙ ????
2
(7)
???? = ????????????????????
2 ∙ ???? ∙ ????
????
0 2
− ????
2
(8)
Подставив вместо
и
их значения, получим
E
0
I
0
(9)
Формула (9) аналогична закону Ома для замкнутой це- пи постоянного тока. Поэтому величину
Z
(11) называют полным сопротивлением цепи переменного тока.
Оно складывается из активного (омического) сопротивле- ния R , индуктивного тивлений .
L и емкостного 1
C
сопро-
Амплитуда силы тока
I
0 в контуре зависит не только от его параметров {R, L, C}, амплитуды E
0 вынуждаю- щей э.д.с., но и от циклической частоты
(см.(7)). Мак- симального значения I
0 достигает всегда при одном и том
81 же значении циклической частоты вынуждающей э.д.с.
P
0
82
P
(12)
При
P
0 полное сопротивление контура Z мини- мально и равно R. Тогда максимальная сила тока в контуре
????
0
????????????
=
????
0
????
. В этом случае tg
????=0, а значит и ???? = 0, и сила тока совпадает по фазе с вынуждающей э.д.с.
Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении
к
P вается резонансом. назы-
Условие резонанса может быть достигнуто тремя пу- тями: изменением частоты
, изменением индуктивности
L и изменением емкости контура C. В данной ра- боте индуктивность L и емкость C контура ос- таются постоянными, а изменяется частота вы- нуждающей э.д.с. На рис.2 даны графики за- висимости I
0 от
при различных значениях добротности Q
Рис.2.
Q
1
Q
2
Q
3
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Приборы и принадлежности: панель с конденсатором и катушкой индуктивности, генератор синусоидаль- ных колебаний, цифровой вольтметр.
83
Электрическая блок – схема лабораторной установки изображена на рис.3, а внешний вид представлен на рис.4.
Рис. 3.
Звуковой генератор 4 подключается к клеммам 1-2 блока ФПЭ-11 , содержащей катушку индуктивности L, и сопротивление R
0
. К клеммам 3-4 блока последовательно подключается магазин сопротивлений 2 и магазин ёмко- стей 3 , а к клеммам 5-6 - цифровой вольтметр 5.
Рис.4.
Переменное напряжение в цепи L C R возбуждает вынуж- денные колебания . Сила тока в цепи определяется по формуле (9) . При неизменных параметрах L, C и R сила тока в цепи будет функцией только частоты генератора
. Поэтому при изменении частоты генератора сила тока сначала будет возрастать, а затем, достигнув максимума начнет уменьшатся ( рис . 2 ) . Частота , при которой будет
84 наблюдаться максимум и будет соответствовать резонанс- ной частоте. Для получения зависимости I
f
необ- ходимо замерить силу тока в цепи , но это сопряжено со значительными трудностями.
В данной работе для получения зависимости I
f
используется тот факт , что падение напряжений на оми- ческом сопротивлении пропорционально току в цепи
U
R
I
R
. Если R
const , то
U
R
I
, а значит
U
R
f
. Омическое сопротивление R постоянно и поэтому для получения зависимости U
5 - 6 подключаем цифровой вольтметр.
f
к клеммам
Магазин сопротивлений
R
M
служит для изменения добротности Q , величина которой обратно пропорцио- нальна омическому сопротивлению цепи L, C, R .
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ .
1.
Проверить правильность подключения генератора, вольтметра и магазина сопротивлений.
2.
Ручкой частоты генератора установить указатель частоты в начальное положение. Умножитель частот установить в положении, указанном на установке . На магазине сопротивлений установить в нулевом положе- нии все декады .
3.
Включить цифровой вольтметр и генератор. Ручкой ам- плитуды установить значение выходного напряжения генератора равное 50 - 70 % от
U
max
4.
Медленно увеличивая частоту генератора, через каж-
85 дые 2 - 3 деления , фиксировать с помощью вольтмет- ра падение напряжения на сопротивлении в цепи . В области максимума U
f
величину падения на- пряжения фиксировать через каждое деление.
86 5.
Увеличивая сопротивление магазина в интервале 100 –
600 Ом, произвести 3 – 4 измерения зависимости
U
f
в соответствии с пунктом 4 ,
6.
Отключить генератор и вольтметр от сети и привести установку в исходное состояние.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ .
1.
Занести результаты измерения в таблицу 1.
Для каждой серии измерений составляется отдельная таблица , над которой указывается сопротивление ма- газинов.
R = . . . Ом
Таблица 1.
, Гц
U , Ом
2.
На миллиметровой бумаге построить графики зависи- мостей U
f
3.
Определить значение
рез в максимуме для каждого значения сопротивления магазина. Результаты занести в таблицу 2 .
Таблица 2 .
R , Ом
р ез
, Гц
4. Построить график зависимости
рез
f
R
VI. . ЛИТЕРАТУРА
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и
87 термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем отличие собственных колебаний от вынужден- ных?
2. От чего зависит величина тока в контуре при вынуж- денных колебаниях?
3. В чем заключается условие резонанса в контуре?
4. Какими способами можно получить условие резонанса?
5. Какие выводы можно сделать по экспериментально по- лученным графикам?
88
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3-08.
Изучение электрических релаксационных колебаний.
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение релаксационных электриче-
ских колебаний и исследование зави-
симости частоты релаксационных
колебаний от напряжения источника
питания.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Наиболее простым видом колебаний являются гармо- нические колебания вида
Однако существуют колебания у которых характер по- вторяемости носит значительно более сложную зависи- мость. Примером таких колебаний являются электрические релаксационные колебания, возникающие в схеме изобра- жённой на рис.1.
Релаксацией называется процесс восстановления сис- темы после некоторого возмущения, который описывается экспоненциальным выражением или
. Первое выражение описывает само- произвольный процесс возвращения системы в положение равновесия, например разрядка конденсатора через сопро- тивление. Второе выражение описывает вынужденный процесс перехода системы в новое состояние равновесия, например зарядка конденсатора от источника. Величина
называется временем релаксации. Это время, в течение ко- торого остаточное возмущение в е раз меньше исходного.
89
Действительно, при t =
для первого выражения
А
А
0
=
1
????
, а для второго
А
????
−А
А
0
=
1
????
Электрические релаксационные колебания состоят из двух процессов, процесса зарядки конденсатора (вынуж- денный процесс) и процесса его разрядки через другое со- противление (самостоятельный процесс). Следовательно, в состав схемы должны входить:
1) источник энергии (батарея ЭДС
);
2) сопротивление, через которое заряжается конден- сатор (R);
3) конденсатор (С);
4) неоновая лампа (НЛ), с помощью которой при дос- тижении определенного напряжения на конденсаторе осу- ществляется его разрядка (рис.1).
Электродвижущая сила батареи
должна быть больше потенциала зажигания неоновой лампы, а сопротивление R
- много больше сопротивления неоновой лампы в рабочем
(зажженном) состоянии.
По второму правилу Кирхгофа, для контура при заряд- ке конденсатора
I (R + r) + U = ε
(1)
90 где I
мгновенное значение силы тока; U
мгно- венное значение напряжения на конденсаторе; r
внут- реннее сопротивление источника тока.
Так как R>>r, значением r можно пренебречь.
Учитывая, что
, уравне- ние (1) можно представить в виде
Решением этого уравнения является функция где
1
=R∙C.
(2)
Как видно, это уравнение вынужденного релаксацион- ного процесса с временем ре- лаксации
1
=RC.
Если бы неоновой лампы не было, то напряжение на конденсаторе увеличивалось бы с течением времени со- гласно кривой на графике
(рис. 2) и стремилось бы к ЭДС источника тока
При наличии неоновой лампы процесс протекает ина- че. Когда напряжение на конденсаторе достигает напряже- ния зажигания U
з
, в лампе возникает электрический разряд и конденсатор начинает быстро разряжаться.
Если сопротивление неоновой лампы в зажженном со- стоянии много меньше сопротивления R, то за время про- цесса разрядки конденсатора через неоновую лампу подза- рядка конденсатора от источника тока через сопротивле- ние R незначительна и падение напряжений для контура
(рис. 1) имеет вид:
(3)
91 где R
л
- сопротивление неоновой лампы в зажженном состоянии.
Учитывая, что
(знак «
» означает, что с появлением тока через лампу за- ряд на конденсаторе убывает), уравнение (3) можно пред- ставить в виде
(4)
Решая дифференциальное уравнение (4), получим за- кон, по которому уменьшается напряжение в конденсаторе при его разрядке
(5) где
2
= R
л
C
время релаксации разрядки конденсатора через со- противление неоновой лампы (R
л
) в зажженном состоянии.
На рисунке 3 представлена за- висимость напряжения на конден- саторе во время его разрядки через неоновую лампу согласно уравне- нию (5). Однако полной разрядки конденсатора не происходит. На рис. 4 представлена зави- симость напряжения на конденсаторе от времени для ре- лаксационных электрических колебаний (согласно схеме рис. 1). При включении
происходит зарядка конденсато- ра до напряжения зажигания неоновой лампы согласно уравнению (2) (кривая 0
1).
92
При достижении на конденсаторе напряжения зажигания неоновой лампы лампа зажигается и начина- ется разрядка конденсатора через лампу. Напряжение на конденсаторе уменьша- ется согласно уравнению
(5) до напряжения гашения
U
г неоновой лампы (кривая
(1
2). В этот момент разряд в газе прекращается, лампа гаснет, а конденсатор опять начинает заряжаться от источ- ника тока через сопротивление R. Напряжение на конден- саторе увеличивается (кривая 2
3) и при достижении на- пряжения зажигания U
з в лампе вновь возникает разряд.
Описанные процессы периодически повторяются, то есть в системе возникает колебательный процесс, заключающий- ся в периодической зарядке и разрядке конденсатора.
Рассмотренные электрические колебания в системе яв- ляются релаксационными.
Период Т релаксационных колебаний состоит из сумы времен t
1
(зарядка конденсатора от напряжения гашения U
г до напряжения зажигания U
з
) и t
2
(разрядки конденсатора через зажженную неоновую лампу от U
з до U
г
), Т = t
1
+ t
2
Взяв из уравнения (2)
, получим t
1
τ
1
ln
ε
U
г
ε
U
з
(6)
Соответственно, из уравнения (5) при получим
93 2 t
2
τ
2
ln
U
з
U
(7) г
Отсюда период колебаний
T
t
1
t
2
τ
1 ln
ε
U
г
τ ln
U
з
(8)
ε
U
з
U
г
При наличии в системе релаксационных колебаний видны периодические вспышки света лампы, разделенные паузами. Соотношение времен вспышек и пауз, опреде- ляемых уравнениями (6) и (7), зависит от времен релакса- ции
1 и
2
, которые зависят от величины емкости конден- сатора, сопротивления R и сопротивления лампы R
л в за- жженном состоянии (
1
=RC и
2
=R
л
C).
При R
R
л получаем
1
2
, колебания прекращаются и лампа постоянно горит. При R>>R
л наблюдаются кратко- временные вспышки разделенные продолжительными пау- зами. В этом случае можно считать, что t
2
<
1
94
95
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и оборудование: источник питания «Модуль ИП», измерительный модуль «Релаксационные коле- бания ФПЭ-12», магазин сопротивлений, магазин
ёмкостей, электронный осциллограф.
Внешний вид установки представлен на рис.5
Рис.5.
Модуль 1 представляет собой конструктивно само- стоятельное изделие. На передней панели графически изо- бражена упрощенная схема электрическая принципиаль- ная, установлены пять гнёзд и кнопочный переключатель.
На задней панели установлен разъём поз. 8 для подвода питания.
Принцип работы модуля ФПЭ-12 основан на получе- нии релаксационных колебаний в контуре при подаче пи- тающего напряжения (см. схему электрическую принци- пиальную). Модуль позволяет изучать релаксационные ко- лебания при различных параметрах RC
цепи и снимать вольтамперную характеристику неоновой лампы. Пере- ключатель необходим для выбора режима: снятие вольт- амперной характеристики лампы или изучение релаксаци-
96 онных колебаний. К гнёздам на передней панели модуля с обозначением PO , C подключается магазин ёмкостей 4, к которому параллельно подключается осциллограф 3 через делитель напряжения; с обозначением R - магазин сопро- тивлений 5. При снятии вольтамперной характеристики лампы кнопка переключателя должна быть в отключенном состоянии, при изучении релаксационных колебаний кноп- ку включить. К разъёму на задней панели подключается модуль ИП.
Меняя сопротивления, ёмкости и напряжение источ- ника можно:
1) определить потенциал зажигания и гашения разряда в неоновой лампе;
2) наблюдать релаксационные колебания и определить их период при различных сопротивлениях, ёмкостях и на- пряжениях.
Схема соединений установки представлены на рис.6.
Рис.6.
IV. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.
1. Установить на осциллографе коэффициенты развёртки
k
x
0.5 мс/дел, k
y
5 В/дел.
2. На магазинах ёмкости и сопротивления установить зна- чения C
0.2 мкФ и R
10 4
Ом соответственно. Кнопка
ГЕН V/A должна быть нажата.
97 3. С помощью ручек регулировки модуля ИП установите напряжение на электродах неоновой лампы 100 В.
4. При достижении потенциала зажигания на экране ос- циллографа появляются кривые аналогичные рис. 4.
5. Увеличивая напряжение, определите потенциал зажига- ния разряда в неоновой лампе U
з
, а затем, уменьшая на- пряжение, определите потенциал гашения разряда U
г
Результаты занесите в таблицу 1. Измерения повторите не менее пяти раз.
6. Увеличивая напряжение на модуле от 100 В до 120 В с шагом 2 В, определить периоды релаксационных коле- баний по формуле
Т
????
????
l
N
,
где
k
х
– коэффициент горизонтальной развертки ос- циллографа, l – длина участка этой развертки (число больших полных клеток на экране), на котором уклады- вается N полных колебаний.
7. Уменьшите напряжение источника до 20 В, переключите переключатель модуля ИП в положение «Выкл», вы- ключите осциллограф и источник питания.
V. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
1. Результаты измерений занести в таблицы 1 и 2 2. Определите средние значения U
з и U
г таблицу 1. и занесите их в
3. Найти значение частоты релаксационных колебаний
1
T
98
Таблица 1.
№ п.п
1
2
3
4
5
ср
U
з
, В
U
г
, В
Таблица 2.
U , В
T , мс
4. Построить график зависимости частоты колебаний от напряжения. Сделать выводы.
VI. ЛИТЕРАТУРА.
1. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ,
2016 – 428с.
2. Молотков Н.Я. М758 Основы общей физики: учебное пособие: в 3-х т.Т. 2. Электричество и магнетизм.
Оптика/Н.Я. Молотков.- Старый Оскол: ТНТ, 2016 –
372с.
3. Общая физика. Учебное пособие для бакалавров.
Воробьёв А.А., КНО Рус 2016.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Дайте определение релаксационного процесса.
2. От каких параметров схемы зависит период релаксаци- онных колебаний?
99 3. Как изменяется период релаксационных колебаний при уменьшении сопротивления R?
4. Начертите электрическую схему для получения релак- сационных электрических колебаний.
5. Какими процессами определяются электрические релаксационные колебания в схеме?
6. Объясните принцип работы генератора релаксационных колебаний.
7. Можно ли определять неизвестные сопротивления и ём- кости, используя схему генератора релаксационных ко- лебаний?
10 0
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 3-09
1 2 3 4 5 6 7
Изучение интерференции света и определение
радиуса кривизны линзы методом колец Ньютона
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение явлений интерференции света
и измерение радиуса кривизны линзы.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Волны одинаковой частоты, колебания в которые отличаются постоянной разностью фаз не изменяющейся со временем, называются когерентными (связанными).
Явление перераспределения энергии в пространстве
происходящее в результате наложения когерентных волн,
носит название интерференции.
В интерференционных схемах получение когерентных световых волн достигается путем искусственного расчленения световых волн, исходящих из одного источника на две (или более) части. Последние, будучи когерентными волнами, в области перекрытия дают устойчивую интерференционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос.
Выясним условия, при которых в определенных точках пространства будут располагаться максимумы или минимумы интенсивности света.
Рассмотрим два источника волн S
1
и S
2
(рис.1.). Пусть они возбуждают колебания U
1
и U
2
с одинаковыми амплитудой
A
и частотой
и различными начальными фазами ????1 и ????2 (???? = 2???? ∙ r / λ)
U
1
= A · sin(ωt -
????
1
)
U
2
= A · sin(ωt -
????
2
)
(1)
10 1
Определим результирующее колебание в точке М, удаленной от источников на расстоянии r
1
и r
2
. До точки М дойдут две волны, так что результирующее колебание здесь будет равно:
U = U
1
+ U
2
= 2Acos(
(????
2
− ????
1
) 2
⁄
) · sin(ωt -(????
2
+ ????
1
) 2
⁄ ) (2)
Тогда амплитуда ре- зультирующего коле- бания в точке M будет равна.
A
M
= 2Acos
(
(????
2
− ????
1
) 2
⁄
(
3)
Рис. 1.
где
1
и
2
- начальные фазы соответствующих волн
Отсюда условие максимума запишется в виде cos(
(????
2
− ????
1
) 2
⁄
) = 1, ∆???? = ????
2
–
????
1
= 2kπ (4) где k = 0, 1, 2, ..
Выразим разность фаз ∆???? через показатели преломления сред и перепишем условия максимума и минимума для интерференции света с учетом новых обозначений. Если при этом обозначим через
0
- длину световой волны в вакууме, то для среды с показателем преломления n, получим
???? =
????
????
, ???? =
????
0
????
(5)
10 2 где v - скорость света в данной среде, λ - длина световой волны в ней.
Тогда выражение для разности фаз можно записать в виде
∆???? = 2π (
????
2
????
1
−
????
1
????
2
) =
2????
????
0
(n
2
· r
2
– n
1
· r
1
) (6)
Произведение показателя преломления n на длину пути
r называется оптической длиной пути и обозначается буквой L.
В этих обозначениях условия максимума (2) в явлении интерференции приобретает вид
2????
????
0
∙ ∆L = 2πk, ∆L
max
= k ∙ λ
0
= 2k
????
0 2
(7)
То есть, оптическая разность хода должна быть равна четному числу длин полуволн.
Условие минимума определяется соответственно
∆L
min
= ( 2k +l) ∙
????
0 2
⁄
Прежде чем рассматривать конкретный пример, необходимо отметить, что при отражении световых волн от границы раздела двух сред происходит изменение фазы вектора напряженности электрического или магнитного поля. Фаза изменяется на,
(∆???? = 2???? ∙ ∆L ????
⁄ =????), что эквивалентно 2 (∆???? ????)
⁄ =1
изменению разности хода на полволны. Если вторая среда имеет больший показатель преломления (????
2
> ????
1
), то изменяется фаза вектора Е, если наоборот - первая среда имеет больший показатель преломления (????
2
> ????
1
), то изменяется фаза вектора H.
Конечно, потеря полволны одним из векторов
10 3 электромагнитного поля является необходимым условием отражения, то есть изменение направления электромагнитной волны. Ведь три вектора E, H и v образуют правовинтовую систему. Отражение, то есть изменение вектора v на обратный, возможно только в том случае, если при этом изменится на обратный ещё один из векторов E или H. Только при этом условии они снова будут образовывать правовинтовую систему.
При наложении световых волн, полученных путём расчленения световых волн идущих от одного источника на два волны, нужно учитывать ещё и длину коге- рентности.
Длиной когерентности называется такая мак- симальная разность хода, при которой разность фаз при наложении двух волн случайно не изменяется с течением времени.
Длина когерентности различных источников волн составляет некоторое количество длин полуволн, т.е. зависит от k . Наибольшей длиной когерентности обладают лазеры.
При использовании лазера интерференционную картину можно получить если направить луч лазера на плоско- выпуклую стеклянную линзу (рис.2.)
Рис.2.
Луч лазера, падая на линзу, отражается от выпуклой и плоской поверхностей линзы разделяется на два луча. В результате между ними возникает разность хода и будет наблюдаться экране их интерференция в виде светлых и тёмных колец. Радиус колец rk зависит от длины волны света λ , радиуса кривизны линзы R , расстояния от линзы до экрана L и показателя преломления материала линзы.
Приближённо можно рассматривать это как интерфе-
10 4
2 ренцию от двух мнимых источников S1 и S2 .
Используя законы геометрической оптики можно получить выражение для радиуса k – того светлого колеца.
(9)
Отсюда видно, что r
k
является функцией только от k, т.е. можно формулу (9) представить как
(10) где С угловой коэффициент
Зная угловой коэффициент, радиус кривизны линзы определим по формуле
(11)
III. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Приборы и принадлежности: оптическая скамья, иссле- дуемая линза в оправе, экран с измерительной шкалой.
Лабораторная установка схематически изображена на рис.3.
10 5
Рис. 3.
Излучение лазера 1 направляется на линзу 2. Для получения контрастной интерференционной картины на обе поверхности линзы нанесено отражающее покрытие Al.
Коэффициент отражения от выпуклой поверхности линзы составляет 20% , а от плоской поверхности - 100%. Стекло из которого изготовлена линза, имеет показатель преломления n = 1,52. Свет в установке распространяется по маршруту лазер-линза-экран. Экран устанавливают так, чтобы центр колец примерно попадал в центр коорди- натной сетки, с помощью которой можно измерить диамет- ры (радиусы) световых интерференционных колец (рис.4).
Рис.4.
IV.
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ.