Лекції №11,12

Тема: Взаємний перетин поверхонь

Лінія перетину – це сукупність точок, що одночасно належать до обох поверхонь. Її можна визначити, якщо використати наступні алгоритми:

1 Алгоритм -Якщо одна з поверхонь є проекціювальною відносно певної площини проекцій (наприклад, бічна поверхня прямого циліндра проекціюється в коло, або одна з поверхонь – проекцію вальна призма), то лінія перетину на цій площині проекцій збігається з лінією проекції поверхні. В такому випадку задача зводиться до визначення проекцій точок лінії взаємного перетину за умови їх належності інший поверхні.

2 Алгоритм -В інших випадках для розв’язування п’ятої позиційної задачі можна застосувати введення поверхонь посередників. Найбільш поширені методи, які засновані на такому введенні, - метод допоміжних січних площин, метод допоміжних концентричних сфер та метод допоміжних ексцентричних сфер. Нижче розглянемо перших два методи.

В методі січних площин як поверхні посередники обираються площини окремого положення. Причому при виборі положення допоміжної площини враховують умову, щоб при перетині із заданими поверхнями утворювалися прості геометричні лінії (кола, прямокутники і т. ін.). Перед введенням допоміжної площини необхідно проаналізувати умову і визначити точки, які не потребують додаткових побудов. Це, наприклад, можуть бути точки, що знаходяться на перетині обрисів поверхонь.

Алгоритм розв’язування п’ятої позиційної задачі методом січних площин можна подати такими діями:

1) вводимо допоміжну січну площину окремого положення;

2) знаходимо лінії перетину введеної площини окремо з кожною із поверхонь;

3) визначаємо точки перетину знайдених ліній;

4) повторюємо п. 1-3 ще для кількох допоміжних площин;

5) з’єднуємо отримані точки між собою;

6) переносимо проекції отриманих точок на іншу площину проекцій;

7) визначаємо видимість.

На рис. 6.8, 6.9 поданий приклад побудови лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин. По-перше, визначаємо точки 3₂ та 4₂, які знаходяться на перетині обрисів поверхонь на фронтальній площині проекцій. Горизонтальні проекції цих точок 3₁ та 4₁ отримаємо, якщо перенесемо на горизонтальну проекцію лінії, до якої вони належать. В даному випадку це твірна, яка збігається з обрисом на Π₂, а на Π₁ збігається з віссю циліндра. Як допоміжну січну площини обираємо площину горизонтального положення α(α₂), оскільки при перетині з цією площиною конічна поверхня дає простий переріз у вигляді кола. На Π₂ – це коло проекціюється у вигляді відрізка, який збігається із слід-проекцією α₂, а на Π₁ – у вигляді кола, радіус якого можна визначити. При перетині з циліндром площина α(α₂) утворює прямокутник, на Π₂ проекція якого збігається із слід-проекцією α₂, а на Π₁ – збігається з обрисом поверхні циліндра. Результатом перетину кола та прямокутника є точки 1₁ та 2₁. Фронтальні проекції цих точок 1₂ та 2₂ отримаємо при перенесенні їх на проекцію α₂. З’єднавши точки 1-3-2-4-1 отримаємо лінію перетину.

---

Рисунок 6.8 – Побудова лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин (наочне зображення)

Рисунок 6.9 – Побудова лінії перетину конуса та циліндра методом допоміжних січних площин (проекційне креслення)

Метод концентричних сфер

Умови використання:

1. Поверхні, що перетинаються, є поверхнями обертання.

2. Їх осі перетинаються і лежать в площині паралельній площині проекцій.

Як поверхні- посередники обираються сферичні поверхні з постійним центром в точці перетину осей.

Алгоритм розв’язування п’ятої позиційної задачі методом концентричних сфер можна представити такими діями:

1. визначаємо центр допоміжних сфер;

2. визначаємо мінімальний та максимальний радіуси допоміжних сфер;

3. вводимо допоміжну сферичну поверхню;

4. знаходимо лінії перетину введеної сфери окремо з кожною із поверхонь;

5. визначаємо точки перетину знайдених ліній;

6. повторюємо п. 1 - 5 ще для кількох допоміжних сфер;

7. з’єднуємо отримані точки між собою;

8. переносимо проекції отриманих точок на іншу площину проекцій;

9. визначаємо видимість.

Розглянемо застосування вказаного алгоритму на прикладі перетину закритого тора та циліндра (рис.6.10, 6.11).

Рисунок 6.10 – Побудова лінії перетину циліндра та тора методом допоміжних концентричних сфер (наочне зображення)

Рисунок 6.11 – Побудова лінії перетину циліндра та тора методом допоміжних концентричних сфер (проекційне креслення)

Спочатку визначаємо проекції точок 3₂ і 4₂ як результат перетину обрисів заданих поверхонь. Для визначення найглибших точок 1₂ і 2₂ необхідно ввести допоміжну концентричну сферу із центром в точці О₂ перетину осей циліндра і тора. Радіус сфери обирається таким чином, щоб побудоване коло було вписаним в одну з поверхонь, а іншу перетинало. Результатом перетину тора сферою є коло, яке на фронтальній проекції виглядає як відрізок, що співпадає з екватором сфери. Результатом перетину сфери з циліндром є коло, фронтальна проекція якого виглядає як відрізок А₂В₂.. Проекції точок 1₂ і 2₂ отримаємо на перетині вказаних відрізків. З’єднуємо точки 3₂ – 1₂ – 4₂ – 2₂ – 3_2. Горизонтальні проекції точок лінії перетину будуємо шляхом перенесення на відповідні проекції ліній, до яких точки належать: точки 3₁ і 4₁ належать до екватора тора, а 1₁ і 2₁ – до головного меридіану. З’єднавши відповідні точки, отримаємо горизонтальну проекцію лінії перетину.

Метод ексцентричних сфер.

Умови використання:

1. Обі дві поверхні повинні бути поверхнями обертання, або одна з поверхонь – мати сукупність перерізів в вигляді кіл.

2. Взаємне розташування поверхонь характеризується наявністю спільної площини симетрії.

У якості поверхонь-посередників використовують сфери зі змінним центрами та радіусами.

Питання які виносяться на СРС:

- особливі випадки перетину поверхонь 2-го порядку по плоских кривих ( теорема Монжа).

---

Література – основна (С. 103-119) [8]; (С.65-75) [9];

- додаткова (С. 96-98, 100-106) [12].

---

Смотрите также файлы

• Лекція 6-Криві лінії, поверхні.doc

• Лекція 5-Методи перетворення.doc

• Титульний лист.doc

• Лекція 4-Взаємне положення.doc

• Лекція 9,10-Переріз пов-нь площинами.doc