ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.11.2023
Просмотров: 34
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Основные законы алгебры логики
В алгебре логики существует четыре пары основных законов:
∙ два переместительных (коммутативных);
∙ два сочетательных (ассоциативных);
∙ два распределительных (дистрибутивных)
∙ два закона инверсии.
В алгебре логики доказано, что любую логическую функцию можно выразить только через комбинацию логических операций И, ИЛИ и НЕ.
Для приведения логических выражений к эквивалентным, но более простым в записи используют ряд логических законов.
Закон тождества. Согласно данному закону мысль, заключённая в некотором высказывании, остаётся неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует
A = A.
Закон противоречия утверждает, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием: «Это яблоко спелое» и «Это яблоко не спелое»
A и не A = 0
Закон исключенного третьего утверждает, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно; третьего не дано: «Сегодня я либо получу 10, либо не получу». Истинно либо суждение, либо его отрицание
A или не A = 1
Закон двойного отрицания заключается в том, что отрицать отрицание какого-нибудь высказывания то же, что утверждать это высказывание: «Неверно, что 2 ∙ 2< >4»
Не не A = А
Законы идемпотентности утверждают, что в алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Операция «и» с одинаковыми «сомножителями» равносильна одному из них; операция «или» одинаковых «слагаемых» равносильна одному из них:
A и A = А
A или A = А
Законы коммутативности и ассоциативности заключаются в том, что «И» и «ИЛИ» аналогичны одноимённым знакам умножения и сложения чисел:
законы коммутативности:
A или B = B или A; (А + В = В + А)
A и B = B и A; (А * В = В * А)
законы ассоциативности:
(A или B) или C = A или (B или C);
(A и B) и C = A и (B и C).
Законы дистрибутивности утверждают, что логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только операция «И» дистрибутивна относительно «ИЛИ», но и «ИЛИ» дистрибутивна относительно «И»:
(A или B) и C = (A и C) или (B и C);
(A и B) или C = (A или C) и (B или C).
Законы де Моргана показывают как отрицаются высказывания:
не(A или B) = не А и не В
не(A и B) = не А или не В
Данные законы можно выразить в следующих кратких формулировках:
∙ отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей;
∙ отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.
Законы поглощения констант утверждают, что ложь не влияет на значение логического выражения при операции «ИЛИ», а истина – при операции «И»:
A или 1 = 1;
A или 0 = A;
A и 1 = A;
A и 0 = 0.
Законы поглощения показывают, как упрощать логические выражения при повторе операнда:
A или (A и B) = A;
A и (A или B) = A.
Знак отрицания над выражением даёт возможность опустить скобки, в которые это выражение заключено (отрицание является самой старшей логической операцией).
При упрощении выражений следует помнить старшинство операций: НЕ, И, ИЛИ.