Файл: Расчётнографическая работа 2 по курсу физики для бакалавров. Заочная форма обучения. Учебное пособие Новосибирск.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.11.2023

Просмотров: 66

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

I 13 Определим условие наблюдения максимума и минимума интерференции на тонкой пленке. Рис. 1.4 Ход лучей в тонкой пленке толщиной ???? и показателем преломления n. Интерферирующие лучи 1 и 2 показаны на рис. 1.4. Луч 1 проходит через пленку, преломляясь на границе раздела, отражается от нижней границы пленки и выходит в точке C. Луч 2 отражается от верхней поверхности пленки ив точке C интерферирует с лучом 1. Оптическая разность хода между лучами 1 и 2 равна ???? = ????1− ????2= ????(???????? + ????????) − (???????? +????2) (1.29) где ????1= ????(???????? + ????????) – оптическая длина пути луча 1; ????2= (???????? +????2) – оптическая длина пути луча 2. Добавка ????2 для ????2 объясняется тем, что при отражении световой волны от более плотной среды, волна приобретает дополнительную фазу равную ????, что соответствует дополнительной разности хода Используя геометрию рисунка и законы преломления света, можно доказать, что оптическая разность хода интерферирующих волн равна ???? = 2????√????2− ????????????2−????2 или ???? = 2???????????????????????? −????2(1.30) где  – угол падения β – угол преломления ???? – показатель преломления пленки. Запишем условие усиления волнами друг друга (максимум интерференции, используя (1.19) и (1.30): ???? = 2????√????2− ????????????2−????2= Выразим из (1.31) толщину пленки, при которой интерферирующие волны будут усиливать друг друга ????????????????=(????+1 2)????2√????2−????????????2(1.32) D C B A d α 1,2 2 1 β λ 14 где ???? = 0,1,2 …– порядок интерференционного максимума. При этом пленка будет касаться наблюдателю окрашенной в цвет с длиной волны λ. Аналогично получим условие ослабления волнами друг друга (минимум интерференции, используя (1.21) и (1.30): ???? = 2????√????2− ????????????2−????2= (2???? − 1)????2(1.33) Выразим из (1.33) толщину пленки, при которой интерферирующие волны будут ослаблять друг друга ????????????????=????????2√????2−????????????2(1.34) где ???? = 1,2 …– порядок интерференционного минимума. При этом пленка будет касаться наблюдателю тёмной. Обычно в природе мы наблюдаем такие пленки на поверхности воды. Поскольку толщина пленки может меняться от точки к точке, то такие пленки будут казаться окрашенными в разные цвета оптического видимого диапазона, в зависимости оттого какие лучи будут усиливать друг друга в данном месте. 1.1.3. Интерференция на клине (полосы равной толщины Две поверхности, расположенные под малым углом α (???? ≪ 1), образуют систему, получившую название клин (Рис. 1.5). Рис. Интерференция на клине. Считаем, что клин представляет из себя среду с показателем преломления n. Клин имеет разную толщину, поэтому при освещении поверхности клина монохроматическим светом с длиной волны λ, на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные максимумы и минимумы, т.к. в одних точках поверхности толщина клина соответствует условию наблюдения максимума, а в других – условию минимума. Данные максимумы и минимумы будут представлять из себя набор светлых и тёмных полос, поэтому данная интерференционная картина получила название полосы равной толщины. D α dm dm+1 B A λ 15 Определим расстояние между соседними интерференционными максимумами. Пусть в точке А поверхности клина возникает максимум го порядка. Толщина клина в данной точке равна – d m. В точке В возникает максимум го порядка. Соответственно толщина клина в этом месте равна – d m+1Учтём, что луч падающий в точке А разделяется на два луча 1) луч 1 прошедший внутрь клина и отражённый от нижней грани, он опять попадает в точку А, 2) луч 2 отражённый от верхней грани в точке А. Эти два луча интерферируют в точке А. Оптическая разность хода между лучами 1,2 равна ????????= ????1− ????2= 2???????????? −????2(1.35) В (1.35) мы учли, что луч 2 испытывает отражение от более плотной среды и получает дополнительную разность хода ????2. Условие интерференционного максимума в точке А запишется 2???????????? −????2= ???????? (1.36) Аналогично запишем оптическую разность хода между лучами 1,2 равна в точке В. ????????+1= ????1− ????2= 2????????+1???? −????2(1.37) Условие интерференционного максимума в точке B запишется 2????????+1???? −????2= (???? + 1)???? (1.38) Вычитая почленно уравнение (1.36) из (1.38), получаем 2????(????????+1− ????????) = ???? (1.39) Выражая разность толщины клина в местах наблюдения го иго максимумов ∆???? = ????????+1− из (1.39), получаем ∆???? =????2????(1.40) Из прямоугольного треугольника ABD запишем отношение BD к AD ????????????????= tan ???? (1.41) Учтём, что ???????? = ∆????, ???????? = ∆????. Из (1.41), учитывая (1.40), получаем искомое расстояние между соседними интерференционными максимумами ∆???? =∆????tan ????=????2???? tan ????=????2????????(1.42) В (1.42) мы учли, что tan ???? ≈ ???? при малых углах ????. 16 1.1.4. Кольца Ньютона (в отражённом свете) Частным случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона, которые наблюдаются в отражённом свете в схеме, изображенной на рисунке 1. 6. Рис. 1.6 Интерференция в линзе, лежащей выпуклой поверхностью на плоской пластине. Плосковыпуклая линза с большим радиусом кривизны R и показателем преломления ст для стекла ст ≈ 1.5) выпуклой поверхностью лежит на плоской пластине и соприкасается с ней в точке О. Будем считать, что плоская пластина также имеет показатель преломления ста пространство между линзой и пластиной заполнено средой с показателем преломления n, причём ???? < ст. В верхней части Рис. 1.6 показано оптическое устройство (микроскоп) для наблюдения интерференционной картины. Параллельный пучок света с длиной волны λ падает на плоскую поверхность линзы. Рассмотрим ход лучей изданного пучка. На Рис. 1.6 эти лучи выделены (лучи 1,2). Луч 1 проходит сквозь линзу, среду между линзой и пластиной, отражается от поверхности пластины и попадает в точку С. Луч 2 проходит сквозь линзу, отражается от выпуклой поверхности линзы в точке С. Таким образом, в точке С происходит наложение двух лучей 1 и 2. При одной разности хода эти лучи будут усиливать друг друга возникают интерференционные максимумы – светлые кольца, при другой 17 ослаблять друг друга (возникают интерференционные минимумы – тёмные кольца. На Рис. 1.6 выделен радиус ???????? одного из таких колец. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на рис. 1.7. Рис. 1.7 Кольца Ньютона. В центре наблюдается минимум нулевого порядка (темное пятно. Центральный минимум окружен системой чередующихся окрашенных и темных колец, ширина и интенсивность которых постоянно убывает по мере удаления от центрального пятна. Расчет радиусов светлых и темных колец Рис. 1.8). Рис. 1.8 Ход лучей в линзе, лежащей выпуклой поверхностью на плоской пластине. Будем считать, что CD ≈ DB ≈ ????????, где ???????? – толщина клина между линзой и пластиной тогда оптическая разность хода между лучами 1,2 может быть записана) где ???? = 0,1,2 … – порядок интерференционного максимума (минимума ???? – показатель преломления среды между линзой и пластиной. В (1.43) мы учли, что луч 1 испытывает отражение от более плотной среды в точке D и получает дополнительную разность хода ????2, а луч 2 при отражении в точке Сне получает дополнительную разность хода ????2 из-за условия ???? < ????стИз геометрии нашей системы следует связь между радиусом кольца ????????, радиусом кривизны R и толщиной клина между линзой и пластиной ????????: ????????= 2????????????(1.44) Выражая из (1.44) ???????? и подставляя в (1.43), получаем ∆????=???????????????? +????2(1.45) Радиусы светлых колец соответствуют интерференционному максимуму, поэтому (1.45) мы должны приравнять ???????? (см. 1.19): ???????????????? +????2= ???????? (1.46) Из (1.46) получаем радиус светлых колец ????????= √(????−1 2)????????????= √(2????−1)????????2????(1.47) где ???? = 1,2 … – номер светлого кольца. Радиусы тёмных колец соответствуют интерференционному минимуму, поэтому (1.45) мы должны приравнять (2???? + 1)???? 2 (см. а ???????????????? +????2= (2???? + 1)????2(1.48) Из (1.48) получаем радиус тёмных колец ????????= √????????????????(1.49) где ???? = 0,1,2 … – номер тёмного кольца. Формулы (1.47) и (1.49) получены для интерференционной картины вот- ражённом свете, но можно рассмотреть интерференционную картину в проходящем свете. Укажем без вывода, что в этом случае формула (1.47) соответствует условию минимума (тёмное кольцо, а (1.49) условию максимуму (светлое кольцо. 1.2. Дифракция световых волн Огибание световыми волнами препятствий и проникновение в область геометрической тени называется дифракцией световых волн. Дифракция возникает при прохождении световых волн через отверстия в непрозрачных экранах, вблизи границ непрозрачных тел и т.д. В волновой оптике доказывается, что необходимое условие наблюдения дифракции возникает при соотношении ????2 4????≪ ????, где ???? – размеры препятствия ???? 19 – расстояние от источника света до препятствия ???? – длина световой волны. Оценим размеры препятствия ????, на которых в обычной практике может наблюдаться дифракция световых волн. Пусть м, ????0,5 мкм, тогда ???? ≪ 1,4 м, те. размеры препятствия должны быть 10 мкм или меньше для наблюдения дифракции. Разрешение нашего глаза не позволяет различать такие размеры, поэтому картин дифракции в окружающем нас мире мы практически не наблюдаем. Но при определённых условиях, когда неоднородности среды находятся на расстояниях 1–10 мкм, такие неоднородности образуют дифракционную решётку (проходящего или отражательного типа, в которой можно невооружённым взглядом наблюдать дифракцию световых волн. Хорошим примером дифракционной решётки отражательного типа является диск DVD, в котором при рассматривании под разными углами усиливаются волны разных длин волн. Различаются два вида дифракции световых волн дифракция Френеля, или дифракция в расходящихся лучах, и дифракция Фраунгофера, или дифракция в параллельных лучах. В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится позади препятствия наконечном расстоянии от него. Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света. Далее мы рассмотрим подробно второй случай – дифракцию Фраунгофера. 1.2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране Рис. Дифракция света на щели. φ N M Э φ φ D b C B λ Fφ F0 Л 20 Пусть на узкую длинную щель (ширина щели ???????? = ????) падает по нормали плоская световая волна с длиной волны ???? (Рис. 1.9). Вследствие этого колебания во всех точках щели совершаются водной фазе. Будем считать, что волна распространяется в вакууме (???? = 1). За щелью расположена линза (Л) с фокусным расстоянием f. Дифракционная картина наблюдается на экране (Э, который установлен в фокальной плоскости линзы. На Рис показана дифракция световой волны на щели ????????, где φ – угол дифракции, или угол отклонения от прямолинейного распространения падающих волн, который может принимать значения от 0 до ±????2; ????0 – центр дифракционной картины, где интерферируют лучи, угол дифракции которых равен нулю. В ????0 наблюдается центральный дифракционный максимум. Параллельные лучи ???????? и ????????, идущие от краёв щели под углом дифракции ????, собираются линзой в фокальной плоскости линзы (побочный фокус ???? ????). Рассмотрим лучи ???????? и ????????, идущие от краёв щели под углом дифракции ????. Как видно из Рис, оптическая разность хода волн между этими лучами ∆= ???????? = ????????????????????. Всю щель можно разбить по ширине на зоны, которые имеют вид параллельных ребру ???? полосок. Эти зоны получили название зоны Френеля. Эти зоны обладают свойством, что разность хода между лучами, исходящими от соседних зон Френеля равна ???? 2⁄ . Число зон Френеля ф, укладывающихся в отверстие под углом ????, равно ф ????????2⁄=2∙????∙sin ????????(1.50) Все зоны излучают свет в рассматриваемом направлении с одинаковой амплитудой, причём колебания, вызываемые в точке ???????? двумя соседними зонами противоположны по фазе, те взаимно гасят друг друга. Поэтому, если число зон Френеля в отверстии чётное 2∙????∙sin ????????= 2????(1.51) где ???? = 1, 2 … , то излучение от всех зон взаимно компенсируется и подданным углом дифракции ???? наблюдается дифракционный минимум. Из (1.51) получаем условие дифракционного минимума ???? sin ???? = ???????? (1.52) где ???? = 1, 2 … порядок дифракционного минимума. Если число зон Френеля нечётное 2???? sin ????????= (2???? + 1) (1.53) где ???? = 1, 2 … , то одна из зон нескомпенсирована и подданным углом дифракции φ наблюдается дифракционный максимум, соответственно ???? носит название порядок дифракционного максимума. Из (1.53) получаем условие дифракционного максимума ???? sin ???? = (2???? + 1)????2(1.54) где ???? = 1, 2 … порядок дифракционного максимума. 21 Формулы (1.52) и (1.54) являются базовыми для решения задач по дифракции Фраунгофера на щели. Распределение интенсивности света на экране при дифракции на щели показано на Рис. 1.10. Рис. 1.10 Распределение интенсивности света на экране при дифракции на щели. 3.2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке Рис. 1.11 Ход лучей в дифракционной решётке. Одномерная дифракционная решётка представляет собой систему из большого число ???? одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделённых одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками Рис. 1.11). Пусть ???? – ширина непрозрачного промежутка ???? – ширина щели, тогда величина ???? = ???? + ????, называется периодом решётки. Обозначим ???? – 22 ширину дифракционной решётки, тогда связь между ????, ???? и ???? запишется формулой ???? = ???? ∙ ???? (1.55) После дифракционной решётки находится линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Следовательно лучи дифрагировавшие от решётки под углом ???? сойдутся водной точке на экране. Пусть плоская монохроматическая волна с длиной волны ???? падает на решётку по нормали, тогда колебания во всех точках щелей происходят в одинаковой фазе. Будем считать, что световая волна распространяется в вакууме. Выделим лучи 1 и 2, исходящих от двух соседних щелей, разделённых промежутком ???? и дифрагировавшие под углом ???? (Рис. 1.11). Тогда оптическая разность хода ∆ между лучами 1,2 будет равна ∆= ∆???? = ???? sin После прохождения линзы эти лучи сойдутся в точке М на экране. Эти лучи будут усиливать друг друга если на оптической разности между ними укладывается целое число длин волн ???? (см. 1.19). Таким образом, мы получаем условие главных дифракционных максимумов при дифракции света на решётке: ???? sin ???? = где ???? = 0, ±1, ±2, … – номер главного дифракционного максимума На Рис показаны распределения интенсивности на экране при дифракции монохроматической волны с длиной волны ????. Видно, что наибольшую интенсивность имеет максимум нулевого порядка (m = 0), интенсивность остальных максимумов уменьшается приросте. Рис. 1.12 Распределения интенсивности в дифракционном спектре. Дифракционная решётка как спектральный прибор Пусть на дифракционную решётку падает немонохроматический свет с разными длинами волн и ????2. Условие максимум в спектре ого порядка для длины волны ????1 и запишется в виде ???? sin ????1= ????????1(1.58) ???? sin ????2= ????????2(1.59) 23 Учтём, что ????1≠ ????2, следовательно и ????1≠ ????2. Отсюда следует, что немонохроматический свет после прохождения дифракционной решётки будет разделяться на отдельные спектральные линии, находящихся в разных местах экрана. Таким образом, дифракционная решётка выполняет роль спектрального прибора при прохождении через неё немонохроматического света с разными длинами волн. Разрешающая способность дифракционной решётки Пусть на дифракционную решётку падает немонохроматический свет с длинами волн и ????2 и пусть разность ∆???? = ????2− ????1 между ????1 и ????2 мала (????1≈????2≈ ????) , те. выполняется условие ∆???? ≪ ????. Разрешающей способностью ???? дифракционной решётки называется выражение ???? =????∆????(1.60) Спектральные линии ????1 и будут разрешены на экране, если разрешающая способность ???? удовлетворяет соотношению ???? = Условие (1.61) носит название критерий Релея и формулируется следующим образом спектральные линии и ????2 будут разрешены на экране, если максимум длины волны ????1 совпадает с первым минимумом длины волны ????2, а максимум длины волны ????2 совпадает с первым минимумом длины волны Формула (1.61) определяет минимальную разрешающую способность для заданных ∆???? и ????, при больших ???? разрешение заведомо будет достигнуто, поэтому критерий разрешения двух спектральных линий можно записать в виде следующего неравенства ???????? ≥????∆????(1.61a) Минимальная разрешающая способность достигается при возникновении равенства в (1.61a) ???????? =????∆???? 24 1.3. Поляризация световых волн Поляризацией света называют процесс выделения колебаний одного направления у светового вектора из всего многообразия колебаний. Естественный свет – это свет, исходящий от естественных или искусственных источников (лампы накаливания, солнце, свечи, костёр и пр, в котором световой вектор совершает колебания во всевозможных направлениях с одинаковой интенсивностью. Такой свет называется неполяризованным. Существуют специальные приборы, которые позволяют выделить из неполяризованного света, такую световую волну, в котором световой вектор совершает колебания только водном строго заданном направлении. Такие приборы называются поляризаторами Рис. 1.13 Получение линейно поляризованной световой волны из неполяризованного света. В поляризаторе можно выделить направление – OO, вдоль которого будет колебаться световой вектор волны, выходящей из поляризатора (Рис. 1.13). Это направление OO называется оптической осью поляризатора. Плоскость, про- ведённая через оптическую ось OO и луч, выходящий из поляризатора, называется плоскостью поляризации или плоскостью колебаний. Таким образом, световой вектор в световой волне, выходящей из поляризатора будет колебаться параллельно плоскости поляризации. Такая световая волна носит название линейно поляризованная или плоско поляризованная волна. Световые вектора перпендикулярные плоскости поляризации поглощаются поляризатором. В качестве поляризатора используют 1) пластинки, вырезанные из природных кристаллов (турмалин, исландский шпат и др 2) поляроид – представляет из себя пластиковую плёнку с вкрапленными вне кристаллами герапатита. В волновой оптике выделяют несколько типов поляризации 1) линейно поляризованная волна 2) частично поляризованная волна – это волна, в которой колебания одного направления преобладают над колебаниями другого направления 3) эллиптически поляризованная волна – это волна, в которой ????⃗ ????⃗ O O Поляризатор 25 световой вектор вращается по эллипсу вокруг направления светового луча 4) циркулярно поляризованная волна – это волна, в которой световой вектор вращается по окружности вокруг направления светового луча.1   2   3   4   5   6   7   8

2.5. Эффект Комптона В г. американский физик Комптон исследовал рассеяние рентгеновских лучей определенной длины волны легкими веществами (парафин, графит, 54 бор и другие. Диапазон длин волн рентгеновских лучей составляет от м дом. То есть их длины волн меньше, чему коротковолновых ультрафиолетовых лучей. Опыты Комптона показали, что рассеянные рентгеновские лучи под углом Ө имеют длину волны ????/ большую, чем длина волны ???? лучей, падающих на вещество. При этом разность ???????? = ????/− ???? зависит только от угла рассеяния Ө смысл этого угла поясняет рис. Она не зависит от свойств рассеивающего вещества и длины волны падающего рентгеновского излучения. ∆???? = ????/− ???? = к ????????????2 Ө2 (2.25) Или ∆???? = к − ????????????Ө) , (2.26) где км комптоновская длина волны. Здесь ℎ  постоянная Планка, с – скорость света, ????0 – масса покоя электрона. Комптоновская длина волны к оказалась постоянной для всех веществ. Эффект Комптона не получил удовлетворительного объяснения в волновой теории света. Объяснение эффекта Комптона было дано на основе квантовой теории электромагнитного излучения. При рассмотрении излучения как потока фотонов, эффект Комптона можно объяснить результатом упругого столкновения рентгеновских фотонов с электронами вещества, слабосвязанными с ядрами атомов легких веществ. Такие электроны можно считать свободными. Фотон при взаимодействии с таким электроном передает ему часть своей энергии и импульса в соответствии с законами сохранения энергии и импульса. Запишем закон сохранения энергии при рассеянии фотона на электроне ????0+ ф ф+ ???????? , (2.27) где ????0 энергия покоя электрона (????0= ????0????2); ф энергия падающего фотона (ф ф энергия рассеянного фотона ф ????????− энергия электрона отдачи (????????= ????????2). Т.к. скорость электрона отдачи в общем случае значительна, тов этом случае электрон нужно рассматривать как релятивистскую частицу. Те. надо учитывать зависимость массы электрона от его скорости. Тогда энергия электрона равна ????????= √????????2????2+ ????0 Запишем закон сохранения импульса при рассеянии фотона на электроне ????⃗ ф ????⃗ ф+ ????⃗ ???? , (2.28) где ????⃗ ф импульс падающего фотона, ф ????⃗ ф импульс рассеянного фотона ф ????⃗ ????− импульс электрона отдачи, (????????= ????????). Запишем более подробно закон сохранения энергии (2.27) ????0????2+ ℎ????????= с+ √????????2????2+ ????0 2????4. (2.29) Закон сохранения импульса (2.28) (с учетом рис. 2.5) будет выглядеть 55 ????????2= (ℎ????)2+ (ℎ????/)2− 2ℎ2????????/????????????Ө. (2.30) Из совместного решения уравнений (2.29) и (2.30) можно получить выражение для разности длин волн падающего и рассеянного фотонов Δλ (см. (2.25) и (2.26)). Из этих уравнений следует, что увеличение длины волны будет наибольшим, если угол рассеяния Ө = π, то есть при условии, когда фотон после рассеяния полетит в сторону, противоположную первоначальному направлению его движения. Согласно уравнению (2.25) при Ө = π значение ∆???? = 2????кПри этом электрон, на котором происходит рассеяние (электрон отдачи, приобретает наибольшую кинетическую энергию. На рис. 2.5 представлено взаимное расположение векторов импульсов согласно закону сохранения импульса.Рис. 2.5 Векторная диаграмма импульсов частиц в опытах Комптона. Пример 3. Фотон с длиной волны λ = 1,1∙10–12 м в результате комптоновского рассеяния на свободном электроне отклонился от первоначального направления на угол ϴ. При этом энергия рассеянного фотона ф составила 47% от энергии падающего фотона ф Определить угол рассеяния ϴ и импульс электрона отдачи р Дано λ= 1,1∙10–12 м , ф Ф = 6,63∙10–34 Дж∙с с = 3∙10 8 мс Найти ϴ –?; Р ? Решение Энергия падающего фотона 56 ф ℎ????????=6,63·10−34·3∙10 81,1·10−12= 1,81 ∙ Дж. Энергия рассеянного фотона ф 0,47 ∙ ф 0,47 ∙ 1,81 ∙ 10−13= 0,85 ∙ Дж. Так как ????ф2=ℎс????ˊ , то ????ˊ ф ????ˊ =6,63∙10−34 0,85∙10−13= 2,34 ∙ 10-12 м. Из формулы Комптона ∆???? = к − ????????????Ө), получим к 1 − ????????????Ө; ????????????Ө = 1 к 1 −????ˊ − ????????кПодставим численные данные Cosϴ = 1 −2.34∙10−12−1,1·10−12 2,43∙10−12≈ 0.5, тогда Ө ≈ 60 По закону сохранения энергии кинетическая энергия электрона к ф ф ф ф ф Т.к. ф 1,81 ∙ Дж, ток Дж ≈ 0,6Мэв. Учитывая соизмеримость кинетической энергии электрона к с энергией покоя электрона ????0 (????0= 0,51Мэв = 0,82 ∙ 10−13 Дж, определим импульс электрона , рассматривая его как релятивистскую частицу ????????=1с√????к????(????к????+ 2????0) , здесь см (скорость света в вакууме. ????????=10−13 3∙10 8√0,96(0,96 + 2 ∙ 0,82)= 5,3·10−22 кг·м сОтвет: ϴ ≈ 60 0 , Ре = 5,3·10−22 кг·м с 57 3. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 3.1. Боровская модель атома водорода В 1903 году Дж. Томсон предположил, что электрически нейтральный атом – это положительно заряженная сфера с вкрапленными в нее электронами, как изюм в булочку. Эта модель позволила определить размеры атома, близкие к размерам, известным из молекулярной физики. Однако, эксперименты Э. Резерфорда, при которых производилось зондирование атомов альфа-частицами, показали, что большую часть атома занимает пустота. На основе экспериментов Резерфорд создал планетарную модель атома. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, в котором сосредоточен весь положительный заряд атома и большая часть его массы, как планеты вокруг Солнца вращаются электроны. Суммарный отрицательный заряд электронов равен положительному заряду ядра. Эта модель несостоятельна потрем причинам 1) Такой атом неустойчив, поскольку электроны – заряженные частицы, движущиеся с ускорением (в данном случае, центростремительным, должны излучать электромагнитные волны. При этом должны терять энергию, постепенно приближаться к ядру ив конце концов, упасть на ядро. Однако атомы – устойчивые образования. 2) В нормальном состоянии никакого излучения атомов не наблюдается. 3) Плавное уменьшение радиуса орбиты должно приводить к монотонному изменению частоты излучения, тек сплошному спектру излучения. В действительности, атомы имеют линейчатый спектр излучения (см. рис. 3.1). Рис. 3.1 Атомарные спектры испускания (1, 2, 3) и поглощения (4, 5, 6) натрия, водорода и гелия2Н. Бор в 1913 году предпринял попытку соединить планетарную модель атома, линейчатые спектры излучения атома и квантовый характер излучения и поглощения света. 2http://znakka4estva.ru/uploads/category_items/sources/7d305ab7f850045b1b40e9667a208f6d.jpg 58 Постулаты Бора 1. Электроны в атоме движутся только по определенным стационарным орбитам, которым соответствуют строго определенные дискретные значения энергии. При движении по стационарным орбитам атом не излучает и не поглощает энергию. В стационарных состояниях строго заданы (квантуются) моменты импульса электрона nrmnn2. При переходе из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается квант энергии nkWWh, равный разности энергий стационарных состояний с номерами k и n. В данных формулах m – масса электрона, n – его скорость в состоянии с номером n, rn – радиус орбиты электрона в стационарном состоянии с номером n, Wk и Wn энергия стационарных состояний с номерами k и n, h – постоянная Планка, – редуцированная постоянная Планка. Теория Бора применима не только для атома водорода, но и для водородоподобных систем ионов, состоящих из ядра, содержащего Z протонов (Z – зарядовое число, номер элемента в таблице Менделеева, и одного электрона. Определим радиусы боровских орбит. Сила Кулона, действующая на электрон в атоме водорода со стороны ядра, является центростремительной силой. ????цс= ????Кул(3.1) ???????????? 2????????= ???????????????? 2???????? где 0 41k – коэффициент в законе Кулона, qe – величина заряда электрона. Выразим скорость из постулата стационарных состояний ????????=????ℏ????????????(3.2) Подставим выражение для скорости в (3.1): ????????2ℏ2????2????????2= Получим зависимость радиуса орбиты электрона rn от номера орбиты n: ????????=ℏ2????????∙????????????2????2(3.3) Заметим, что дробь, стоящая перед квадратом номера орбиты, является набором констант и соответствует радиусу орбиты электрона при n = 1. Тогда для атома водорода при Z=1 можно записать ????????= ????0????2(3.4) 59 где ????0= 5,29 ∙ м боровский радиус. Определим энергию электрона в атоме водорода. Полная механическая энергия электрона в стационарном состоянии с номером n в атоме водорода (ив водородоподобной системе) равна сумме кинетической и потенциальной энергий Wп=Wпотп+????кинп. Кинетическая энергия электрона Wкинn=m????n22Подставим в формулу для скорости (3.2) выражение для радиуса орбиты (3.3). Получим Таким образом, выражение для кинетической энергии примет вид ????кинn=????????2????2????e42 ℏ2n2. Потенциальная энергия атома водорода (и водородоподобной системы) является энергией кулоновского взаимодействия положительного ядра, содержащего протонов, и отрицательно заряженного электрона, находящегося на орбите с номером n. пот −????????qe2rn. Подставим выражение для радиуса (3.3): пот −????????2????2????e4ℏ2????2. Видно, что модуль величины потенциальной энергии в 2 раза больше значения кинетической энергии. Таким образом, полная энергия ????n=−????k2Z2qe42 ℏ2????2. Учитывая все значения констант в (3.5), энергию для водородоподобного иона с зарядовым числом Z можно рассчитать по формуле Wn=− 13,6∙????2n2, эВ (3.6) В случае атома водорода (Z = 1) формула для расчета полной энергии Wn=− 13,6∙1n2, эВ (3.7) При изображении энергетической диаграммы принято ось значений энергии откладывать по вертикали. Тогда значения энергии, которыми обладает электрон, называются энергетическими уровнями. Энергетическая диаграмма атома водорода изображена на рис. 3.2. Переходы электрона из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (сверху вниз, с более высокого уровня на более низкий) сопровождаются испусканием фотона. Переход с более низкого энергетического уровня на более высокий возможен при поглощении фотона. Энергия фотона в соответствии со вторым постулатом Бора равна разности энергий этих уровней. Рис. 3.2 Энергетическая диаграмма атома водорода. Пример 1 Свободный электрон, имея некоторую кинетическую энергию к, столкнулся с атомом водорода, находящимся в первом возбужденном состоянии, и отскочил, приобретя дополнительную энергию. Импульс электрона после столкновения с покоящимся атомом оказался равен 2,091024 кгм/с. Определить кинетическую энергию электрона до столкновения. Излучение не учитывать. Дано n1 = 2 p2 = 2,091024 кгм/с Найти к - ? Решение Изменение кинетической энергии свободного электрона происходит за счет получения энергии от атома водорода. Атом водорода, отдавая энергию, переходит в состояние с меньшей энергией. Если атом находится в первом возбужденном состоянии, то состояние с меньшей энергией – это основное состояние, номер которого n2 = 1. Разность энергий атома идет на совершение работы по ускорению свободного электрона. По теореме о кинетической энергии ????кин2− ????кин1= ????????кин1= ????кин2− Найдем энергию, переданную атомом свободному электрону ???? = ????????1− ????????2???? = −13,6 ∙ (1 22−1 12) = 13,6 ∙ 0,75 = эВ) = 1,632 ∙ Дж 61 Найдем конечную энергию свободного электрона ????кин2=????????2 2=????2 2????=(2,09 ∙ 10−24)2 2 ∙ 9,1 ∙ 10−31= 2,4 ∙ Дж) = 15(эВ)Найдем кинетическую энергию электрона до столкновения ????кин1= ????кин2− ???? = 15 − 10,2 = эВ) = 7,68 ∙ 10−18(Дж)Ответ: ????кин1= эВ) = 7,68 ∙ 10−18(Дж)Достижения теории Бора • Объяснила спектры испускания и поглощения для атома водорода • Точно предсказала энергию ионизации атома водорода Трудности модели Бора • Не получается объяснить спектры испускания и поглощения для многоэлектронных атомов • Не объяснить, почему одни линии ярче других • Не объясняются связи между атомами • Стабильность атома принимается за аксиому Все эти трудности и противоречия снимаются в квантовомеханической модели атома. 3.2. Волны де Бройля Концепция корпускулярно-волнового дуализма Развитие физики XIX-XX вв. показало, что свет обладает как волновыми, таки корпускулярными свойствами. Это проявляется в таких свойствах света 1) интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия, которые отражают волновые свойства световых волн 2) явление фотоэффекта, комптоновское рассеяние, тепловое излучение, которые отражают квантовую природу света. Первое свойство указывает на то, что свет надо понимать как электромагнитную волну, которая характеризуется частотой ν, циклической частотой ???? и длиной волны λ. Эти параметры связаны между собой следующими соотношениями ???? = 2????????; ???? = ????????; ???? = 2????????/????(3.8) Второе свойство указывает на то, что свет надо понимать как поток фотонов (квантов, которые обладают энергией и импульсом. Энергия ???? и импульс ???? связаны с волновыми характеристиками следующими соотношениями ???? = ℎ???? = ℏ????; ???? =ℎ????, (3.9) где ℎ = 6,63 · Дж · с – постоянная Планка, ℏ = 1,05 · Дж · среду- цированная постоянная Планка. Данное свойство света получило название корпускулярно-волнового дуализма. В г. Луи де Бройль (французский физик, анализируя опытные данные, пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена 62 и на любые частицы вещества. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что микрочастицы помимо корпускулярных свойств, обладают еще и волновыми свойствами, те. при определенных условиях ведут себя как волны. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов (3.9). Идея де Бройля состояла в том, что эти соотношения имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля: ????дб=ℎр(3.10) Следует отметить, волны де Бройля не являются электромагнитными. Волна де Бройля – это математическая модель, описывающая поведение микрочастиц в соответствующих условиях. В настоящее время физики пришли к следующей интерпретации физического смысла волн де Бройля: поведение микрочастиц носит вероятностный характера волна де Бройля – математический инструмент для расчета этой вероятности. В 1927 году Дэвиссон и Джермер (амер. физики ) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля нашло в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (????50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Таким образом, гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена и сейчас это надёжно установленный факт. Следует отметить, что корпускулярно-волновой дуализм практически проявляется только для микрочастиц (электронов, нейтронов, протонов, атомов, молекул. Что касается макроскопических тел, то эти тела теоретически также должны обладать волновыми свойствами, нов силу их макроскопической массы ( 1 г, их дебройлев- ская длина волны составляет 10-37 м, что невозможно обнаружить современными методами. Поэтому все макротела в современной физике рассматриваются только как корпускулы. Для грамотного использования формулы (3.10) необходимо выделить две области движения частиц 1) нерелятивистская область и 2) релятивистская область. Нерелятивистская область В этом случае скорость частицы много меньше скорости света с, а кинетическая энергия частицы к много меньшее энергии покоя, что выражается следующими соотношениями ???? ≪ с к ????0????2. Формулу (3.10) в этом случае можно записать ????дб=ℎ????????=ℎ√2????????к, (3.11) где ???? = ???????? = к импульс частицы, выраженный через массу ???? и скорость ???? и через кинетическую энергию к. Иногда в задачах ????дб выгодно выразить 63 через ускоряющее напряжение ????, которое проходит частица с зарядом ????. В этом случае кинетическая энергия частицы определится по формуле к ????????, (3.12) Подставляя её в (3.11), получим формулу ????дб=ℎ√2????????????(3.13)Релятивистская область В этом случае скорость частицы порядка скорости света с (ноне превышаете, а кинетическая энергия к частицы порядка (или большее энергии покоя ????0????2, что выражается следующими соотношениями с к Формулу (3.10) в этом случае можно записать ????дб=ℎ????0????√1 −????2с2=ℎ????√????к(????к+2????0????2), (3.14) где к – кинетическая энергия релятивистской частицы, ???? скорость частицы, ????0 – масса покоя частицы. Пример 2 Через какую разность потенциалов необходимо пропустить ядро кислорода О 16, чтобы его дебройлевская длина волны ????дб1 стала такой же как у ядра гелия Не 4 имеющую кинетическую энергию кэВ Дано О 16 - ядро кислорода Не 4 - ядро гелия кэВ- кинетическая энергия ядра гелия _________________________ Найти ????1−?1   2   3   4   5   6   7   8

(для ядра кислорода) Решение Данная задача относится к нерелятивистской области, поскольку ????к≪????????????????2Введём удобные обозначения. Все параметры задачи, относящиеся к кислороду, обозначим индексом «1», а относящиеся к гелию индексом «2». По формуле (3.13) запишем длину волны де Бройля для кислорода ????дб1=ℎ√2????1????1????1 , (1) где ????1 – масса ядра кислорода ????1 – заряд ядра кислорода ????1 – искомая разность потенциалов для ядра кислорода, которую необходимо определить в задаче. Определим массу и заряд для ядра кислорода. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче О 16. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра кислорода, выраженную в атомных единицах массы (????????= 1,66 · кг – 64 атомная единица массы. Следовательно ????1= 16????????. Нижний индекс обозначает заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда ????. Следовательно. По формуле (3.11) запишем длину волны де Бройля для гелия ????дб2=ℎ√2????2????к2 , (2) где ????2 – масса ядра гелия ????2 – заряд ядра гелия к – кинетическая энергия ядра гелия равная 320 эВ. Определим массу и заряд для ядра гелия. Поступаем аналогично как и для кислорода. Символическое обозначение для гелия Не Следовательно ????2= 4????????,????2= 2????. Кинетическую энергию ядра гелия к удобно выразить по формуле (3.13): кэВ, отсюда находим ????2=320 эВ Дж 160 В (3) В (3) мы выразили 320 эВ в джоулях, домножив 320 эВ на элементарный заряда затем сократили на ????. Теперь удобно записать длину волны де Бройля для гелия по формуле (3.13) ????дб2=ℎ√2????2????2????2(4) По условию задачи ????дб1= ????дб2(5) Подставим в (5) выражения (1) и (4) ℎ√2????1????1????1=ℎ√2????2????2????2 (6) Сократим в (6) слева и справа на ℎ и, затем используя алгебраические преобразования получим расчетную формулу для ????1????1=????2????2????1????1????2(7) Подставим в (7) найденные величины, ????2, и получим ответ ????1=4????????2????16????????8????160 = 10 В. Ответ ????1= 10 В. 3.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга В разделе волны де Бройля мы показали, что микрочастицы одновременно проявляют себя как волны, и как корпускулы. К ним неприменимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит кто му, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью. Если поместить частицу в данную точку пространства, то мы ничего не сможем сказать о длине волны частицы. Действительно, волновой процесс подразумевает некий объём пространства, в котором он сосредоточен (вспомним о волнах на поверхности моря. Следовательно, для частицы с точно заданной координатой импульс становится полностью неопределённым. Это напрямую следует из формулы ????дб=ℎр, выразим отсюда импульс ???? частицы, тогда ???? =ℎ????дб(3.15) Поскольку для точки ????дб0, то импульс становится полностью неопреде- лённым. Только рассматривая протяженный участок ∆???? мы сможем определить импульс частицы. Чем больше ∆???? (неопределённость координаты, тем меньше неопределённость импульса ∆????????, тем точнее определён импульс ???????? и наоборот, чем меньше ∆????, тем больше неопределенность в нахождении ∆????????. Из этих качественных рассуждений вытекают соотношения неопределенностей между импульсом и координатой, которые впервые были получены немецким физиком Гейзенбергом и носят название соотношения неопределенностей Гейзенберга. Запишем эти соотношения для координат x, y, z и импульсов ????????,????????,????????∆????∆????????≥ℏ2; ∆????∆????????≥ℏ2 ; ∆????∆????????≥ℏ2 (3.14) где ℏ = 1,05 · Дж · с – редуцированная постоянная Планка. Часто в (3.14) пренебрегают коэффициентом 1 2⁄ и тогда соотношения неопределенностей Гейзенберга выглядят ∆????∆????????≥ ℏ; ∆????∆????????≥ ℏ ; ∆????∆????????≥ ℏ (3.15) Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс. Смысл соотношений (3.14) и (3.15) заключается в следующем произведение неопределенностей координаты ∆???? и импульса ∆???????? (аналогично для двух других канонически сопряженных величин) не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой. Здесь надо иметь ввиду, что неопределенность координаты и импульса вине определяется нашими измерительными приборами, а задаётся фундаментальными законами физики. Помимо соотношения неопределенностей между импульсом и координатой в физике существует соотношение неопределенностей между энергией и временем ∆????∆???? ≥ ℏ (3.16) где ∆???? – неопределенность энергии частицы, ∆???? – неопределенность времени нахождения частицы в данном состоянии. Из соотношения (3.16) вытекает, что 66 энергетические уровни атомов в возбуждённых состояниях никогда не задаются точно, а известны с определённой погрешностью ∆????. Из соотношения (3.16) также следует, что частота фотона ????, излученного атомом, никогда не имеет точного значения, а определяется с определённой погрешностью ∆???? =1????, где ???? – время пребывания атомом в возбуждённом состоянии. Следует отметить, что соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют смысл практически только для микрочастиц (электронов, нейтронов, протонов, атомов, молекул. Что касается макроскопических тел, то для них в силу их макроскопической массы ( 1 г, их неопределенность координаты составляет 10-37 м, что невозможно обнаружить современными методами. Поэтому соотношения неопределенностей Гейзенберга для макротел в современной физике использовать никого смысла нет, и можно считать, что координата и импульс для таких тел известны точно. Пример 3 Ядро азота ????7 14 ускоряется напряжением ???? и влетает в камеру Вильсона. Неопределенность координаты ядра можно измерить с погрешностью 1 нм, а неопределённость импульса с точностью 0.1%. Оценить нижнюю границу напряжения н, при котором ещё можно произвести измерения координаты и импульса с указанной точностью. Дано ????7 14 – ядро азота ∆???? = 1 нм м ∆????????= 0.1% = 10−3__________________ Найти н Решение 1) Выразим кинетическую энергии через импульс частицы к 2????(1) Выразим отсюда импульс ????: ???? = к) С другой стороны, кинетическую энергии можно записать через ускоряющее напряжение ???? и заряд частицы ????: к ????????. (3) Подставим (3) в (2), получим ???? = √2???????????? (4) 67 Запишем неопределенность импульса, используя условие задачи ∆???? = 10−3√2???????????? (5) Запишем соотношение неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой ∆????∆???? ≥ ℏ (6) Подставим в (6) соотношение (5) ∆????10−3√2???????????? ≥ ℏ (7) Возведём в квадрат левую и правую часть (7) ∆????2 10−6 2???????????? ≥ ℏ2(8) Запишем соотношение для напряжения ????, используя (8) ???? ≥ℏ2 10−6 2????∆????2????(9) Неравенство (9) является расчётной формулой нашей задачи. Определим массу ???? и заряд ???? для частицы. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче – ????7 14. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра азота, выраженную в атомных единицах массы (????????= 1,66 · кг – атомная единица массы. Следовательно ???? = 14????????. Нижний индекс обозначает заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда ???? (1,610-19 Кл. Следовательно ???? = 7????. Подставим все известные числовые параметры в (9) ???? ≥(1,0510−34)2 10−6 2141,66·10−27(10−9)271,610−19= 0,21 В (10) Нижняя граница напряжения н определяется из неравенства (10) и равна 0,21 В, следовательно н 0,21 В.Ответ: н 0,21 В 3.4. Волновая функция и ее физический смысл В квантовой механике любые микрочастицы наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами. Волновые свойства выражаются в том, что частицы могут интерферировать или дифрагировать, проходя через соответствующие препятствия. Для каждой частицы можно ввести волну де Бройля с длиной волны ????дб=ℎ???? . Из-за волновых свойств поведение микрочастиц носит вероятностный характер. М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или Ψ – функцией (пси-функцией). Волновая функция Ψ(????, ????, ????, ????) в общем случае зависит от трёх пространственных координат ????, ????, ???? и от времени ????. В соответствии с интерпретацией Борна физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля. Квадрат модуля определяет плотность вероятности ????(????, ????, ????, ????) обнаружить частицу в данной точке пространства ????, ????, ????. Таким образом ????(????, ????, ????, ????) = |Ψ|2 68 Зная плотность вероятности ????, можно рассчитать вероятность ???????? попадания частицы в элемент объема ???????? ???????? = ???????????? = |Ψ|2????????(3.17) Формулу (3.17) можно распространить навесь объем, занимаемый частицей (в общем случае бесконечный. Если мы точно знаем, что данном объеме частица присутствует (достоверное событие, то вероятность такого события обращается в 1. Поэтому интегрируя (3.17) по всему объему ????, мы получаем соотношение ∫|Ψ|2???????? = ∫ ???? ???????? = 1 (3.18) Соотношение (3.18) в квантовой механике носит название условие нормировки. В квантовой механике принимается, что Ψ и А, где А = const, описывают одно и тоже состояние частицы. Если А подставить в (3.18), то мы получим ????2∫|Ψ|2???????? = 1 (3.19) Условие нормировки (3.19) используют, чтобы определить неизвестную константу ???? на которую домножается волновая функция Ψ. Условия, которые налагаются на волновую функцию Ψ. Функция Ψ должна быть 1) конечной (так как вероятность ???? не может быть больше единицы по определению 2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 итак как вероятность должна быть однозначной) непрерывной (следует из непрерывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная) 4) иметь непрерывную первую производную 5) волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями то она может находится в состоянии Ψ, описываемой линейной комбинаций этих функций Ψ = ∑ ????nΨn, (3.20) где ????n – любые комплексные числа. С помощью волновой функции Ψ вычисляются средние значения любой физической величины L (координаты, импульса, момента импульса и т.п.) по правилу < ???? >= ∫ Ψ∗????̂ Ψ????????, (3.21) где < ???? > – среднее значение величины L; Ψ∗ – комплексно сопряжённая волновая функция ????̂ – оператор физической величины L. 69 3.5. Уравнение Шрёдингера Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой физики. Оно является следствием волновой природы частиц, решая его можно определить волновую функцию Ψ физической системы. Уравнение Шредингера строго логически ниоткуда не следует, его нужно рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными. В квантовой механике выделяют временное уравнение Шредингера и стационарное уравнение Шредингера. Временное уравнение Шредингера записывается в виде ????ℏ????????????????= −ℏ2 2???????????? + ????(????, ????)???? (3.22) где ???? = √−1 – мнимая единица ℏ − постоянная Планка Δ =????2????????2+????2????????2+????2????????2 – оператор Лапласа ????(????, ????) – потенциальная функция частицы в силовом поле ???? – масса частицы. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (те. не изменяется стечением времени, то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера те. Ψ – функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей один зависит только от координат, другой – только от времени Ψ(????, ????, ????, ????) = Ψ(????, ????, ????)????−????????ℏ???? , (3.23) где ???? – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Если (3.23) подставить в (3.22), то временное уравнение Шредингера превращается в стационарное (те. независящее от времени ???? ) уравнение Шредингера) где ????(????, ????, ????) – волновая функция, зависит только от координат ????, ????, ????. Как правило большинство задач квантовой механики сводится к решению стационарного уравнения Шредингера. Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями (????1, ????2… ????????… ), а соответствующие им значения энергии (????1, ????2… ????????… ), – собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется энергетическим спектром. Если ???????? принимает дискретные значения, то спектр – дискретный, если непрерывные – сплошной или непрерывный. В качестве примера мы рассмотрим два вида кванто-механических задач 1) частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками 2) прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы. 70 3.5.1. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками На рис. 3.3 показана физическая система для данной задачи. Потенциальная энергия ????(????) определяется следующими соотношениями ????(????) = ∞, при ???? < 0; ????(????) = 0, при 0 ≤ ???? ≤ ????; ????(????) = ∞, при ???? > ???? (3.25) Рис. 3.3 Яма с бесконечно высокими стенками. Данная задача является одномерной, частица находится в области 0 ≤ ???? ≤ ????, где ???? – ширина потенциальной ямы. Частица не может попасть в область ив область ???? > ????, т.к. в этом случае её энергия станет равна бесконечности, что физически бессмысленно. В указанных областях (???? < 0; ???? > ????) волновая функция частицы обращается в ноль (????(????) = 0 ), что показывает, что здесь частица находиться не может. В силу непрерывности волновая функция в точках ???? = 0 и ???? = ???? также равна нулю ????(????) = 0 в точках ???? = 0 и ???? = ???? (3.26) Соотношение (3.26) называются граничными условиями задачи. Используем стационарное уравнение Шредингера (3.22). С учётом (3.24) для области 0 ≤ ???? ≤ ???? оно может быть записано в виде ????2????????????2+2????ℏ2???????? = 0 (3.27) Введём константу k, которая определяется из соотношения ????2=2????ℏ2???? (3.28) Тогда (3.27) запишется ????2????????????2+ ????2???? = 0 (3.29) Общее решение (3.29) запишется в виде ????(????) = ???? sin ???????? + ???? cos ???????? (3.30) Используя первое граничное условие (3.26) в ???? = 0, можно показать, что ???? = 0 . Следовательно, ????(????) = ???? sin ???????? (3.31) Теперь используем второе граничное условие (3.26) в ???? = ???? , получаем ????(????) = ???? sin ???????? = 0 (3.32) x l 0 U(x) U=∞ U=∞ U=0 71 Решая (3.32), получаем ???????? = ????????, (3.33) где ???? = 1,2 … любое натуральное число. Выражаем ???? из (3.33) ???? =????????????(3.34) Подставляя (3.34) в (3.28), мы определяем спектр энергий частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ????????=????2ℏ2 2????????2????2, (3.35) где ???? = 1,2 … называется главным квантовым числом, оно определяет номер энергетического уровня, на котором находится частица. Таким образом, частица в потенциальной яме может находиться только на определенном энергетическом уровне ???????? (или как говорят находится в квантовом состоянии n»), энергетический спектр данной системы является дискретным. Каждому энергетическому уровню ???????? соответствует своя волновая функция) Неизвестную константу ???? находим из условия нормировки (3.19) Если подставить (3.35) в (3.19) и провести интегрирование, то можно определить константу ????. В нашем случае постоянная ???? равна. Подставляя ???? в (3.35) получаем окончательный вид волновых функций ????????(????) = √2????sin???????????????? (3.36) Из (3.36) определяем плотность вероятности ????(????) = |Ψ|2????????(????) =2????sin2 ???????????????? (3.37) Графики ????????(????) и ????????(????) для квантовых состояний ???? = 1,2,3 изображены на рис. 3.4 Рис. 3.4 Волновые функции и плотности вероятности для состояний ???? =1,2,3. Из рис видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n: при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы (???? =????2), ноне на краях 72 при n = 2 наиболее вероятное положение частицы при ???? =????4 и ???? =3????4; при n = 3 наиболее вероятное положение частицы при ???? =????6,????2 Если мы хотим определить вероятность ???? попадания частицы в область [????1, ????2], то мы должны проинтегрировать соотношение ???????? = ???????????? = |Ψ|2???????? по всей области [????1, ????2]: ???? = ∫ |Ψ|2????2????1???????? =2????∫ sin2 ????????????????????2????1???????? а) Формула (3.38) является расчетной для задач на потенциальную яму с бесконечно высокими стенками. Пример 4 Ядро углерода ????6 12 находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ???? с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом уровне. Запишите волновую функцию и плотность вероятности данного состояния. Изобразите графически волновую функцию и плотность вероятности частицы. Определите на графике точки, где 1) вероятность обнаружить частицу минимальная 2) вероятность обнаружить частицу максимальная. Рассчитайте вероятность ???? попадания частицы в область ???? 4⁄ < ???? < 2???? 3⁄ . Дано ????6 12 – ядро углерода ???? = 2 (номер энергетического уровня) ______________________ Найти 1) {???????????????? } 2){???????????????? } 3)????−? Для области ???? 4⁄ < ???? < 2???? 3⁄ Решение 1) Воспользуемся формулой (3.36) для волновых функций в одномерной прямоугольной потенциальной яме ????????(????) = √2????sin???????????????? (1) В нашем случае номер энергетического уровня ???? = 2. Подставляем его в (1) и получаем формулу ????2(????) = √2????sin2???????????? (2) Определяем плотность вероятности для данного квантового состояния по формуле (3.37) ????2(????) =2????sin2 2???????????? (3) Изобразим ????2(????) ив виде графика. Их вид показан на Рис (???? =2). Из графика видно, что 1) точки, где вероятность обнаружить частицу минимальная равны ????????????????= 0,????2, ????; 2) точки, где вероятность обнаружить частицу максимальная равны ????????????????=????4,3????4. Вероятность обнаружить частицу в области ????4⁄ < ???? < 2???? 3⁄ определим по формуле (3.38), учитывая номер энергетического уровня ???? = 2 и пределы интегрирования, получаем ???? = ∫|Ψ|2 2????3⁄????4⁄???????? =2????∫sin2 2????????????2????3⁄????4⁄???????? (4) Разложим sin2 2???????? по формуле двойного угла sin2 2????????=1−cos4????????2 и поставим в (4) ???? =2????∫1−cos4????????2 2????3⁄????4⁄???????? =2????[1 2∫???????? − ∫cos4????????2????3⁄????4⁄????????]2????3⁄????4⁄(5) Берём интегралы в (5) по стандартным правилам математического анализа и получаем ???? =2????[5????24−????√3 8] = Ответ) ????????????????= 0,????2, ????; 2) ????????????????=????4,3????4; 3) ???? = 0,278 1   2   3   4   5   6   7   8

3.5.2. Прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы Физическая модель данной задачи изображена на Рис. 3.5. Частица c энергией налетает на потенциальный прямоугольный барьер высотой ????0. Потенциальная энергия для частицы в поле движения барьера имеет вид ????(????) = 0, при ???? < 0; ????(????) = ????0, при 0 ≤ ???? ≤ ????; ????(????) = 0, при ???? > ????. Опишем поведение частицы, налетающий на потенциальный барьер, для двух случаев 1) классическая частица 2) квантовая частица. Классическая частица : при ???? > ????0 она пройдет над барьером, при ???? <????0 – отразится от него. Квантовая частица при ???? > ????0 есть вероятность того, что частица отразится от барьера, при ???? < ????0 есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер. Прохождение классической частицы сквозь барьер при ???? < ????0 исключается, поскольку при этом кинетическая энергия частицы внутри барьера станет отрицательной, что физически бессмысленно. Для квантовой частицы прохождение сквозь барьер при ???? < ????0 возможно из-за соотношения неопределённостей, поэтому существует вероятность того, что она пройдет сквозь барьер. Такое явление получило название в физике туннельного эффекта. На Рис. 3.5 вся область движения поделена натри области 1) ???? < 0 область налетающих и от- ражённых частиц 2) 0 ≤ ???? ≤ ???? область барьера 3) ???? > ???? область частиц прошедших сквозь барьер. 74 Из решения уравнения Шрёдингера следует, что волновые функции в областях определяются соотношениями Ψ1= ????1????????????????+ ????1????−????????????– волновая функция налетающей и отражённой от барьера частицы Ψ2= ????2????−????????– волновая функция частицы внутри барьера Ψ3= ????3????????????????– волновая функция частицы, прошедшей сквозь барьер. Рассчитаем вероятность ???? (коэффициент прозрачности барьера, что частица с энергией ???? пройдёт сквозь барьер ширины ????. Предполагаем, что энергия частицы ???? меньше высоты ????0 потенциального барьера (???? < ????0). Запишем стационарное уравнение Шредингера (3.24) для нашего случая ????2????????????2+2????ℏ2(???? − ????0)???? = 0 (3.38) Рис. 3.5 Прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы. Перепишем (3.38) в форме ????2????????????2−2????ℏ2(????0− ????)???? = 0 (3.39) Обозначим ????2=2????ℏ2(????0− ????), тогда (3.39) запишется ????2????????????2− ????2???? = 0 (3.40) Решением уравнения (3.40) является волновая функция Ψ2= ????2????−????????, где ???? = √2????ℏ2(????0− ????) =√2????(????0−????)ℏ(3.41) Рассчитаем плотность вероятности ????2(????) – обнаружить частицу внутри барьера) Рассчитаем плотность вероятности ????2(????) при ???? = ????, это и будет искомая вероятность ???? – коэффициент прозрачности барьера, что частица преодолеет барьер и окажется в области 3. xl0U0 U(x) W < U0 12 Налетающие частицыПрошедшие частицы 75 ????2(????) = ???? или ???? = ????0exp (−2ℏ√2????(????0− ????)????) (3.43) Здесь ????0 – коэффициент 1 (обычно при расчете принимается за 1); ℏ = 1.05 Дж · с − постоянная Планка ???? – масса частицы ????0 – высота потенциального барьера ???? – энергия частицы ???? – ширина потенциального барьера. Формула (3.43) является расчетной для задач на потенциальный барьер прямоугольной формы. Пример 5 Ядро атома углерода С 12 с энергией ???? = 11,8 эВ движется в положительном направлении оси x и налетает на прямоугольный потенциальный барьер высотой ????0= 12 эВ и шириной ????0= 3 пм. Определить вероятность прохождения ядром этого барьера. Во сколько раз надо расширить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном (при выше приведённых условиях) была такой же как для ядра атома углерода. Дано С 12 – ядро углерода ???? = 11,8 эВ ????0= 12 эВ ????0= 3 пм = 3 · мкг масса протона ℏ = 1.05 · 10−34 Дж · с – постоянная Планка ???? = 1,610−19 Кл – элементарный заряд. _______________________ Найти 1) ????−?2) ????????0−? Решение 1) Чтобы определить вероятность прохождения ядром барьера, воспользуемся формулой (3.43) ???? = ????0exp (−2ℏ√2????????(????0− ????)????0) (1) Считаем ????0 1. Определим массу ???????? ядра атома углерода. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче – С 12. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра углерода, выраженную в атомных единицах массы (????????= 1,66 кг – атомная единица массы. Следовательно ????????= 12????????. При подстановке ив) необходимо электрон-вольты перевести в джоули. Для этого ????0 и ???? домножим на элементарный заряд ???? . Подставляем все числовые параметры в (1), проводим вычисления, получаем ответ 76 ???? = exp (−2 1.05 · 10−34√2 · 12 · 1,66 · 10−27(12 − 11,8) · 1,610−19· 3 · 10−12)= 0,13 2) Чтобы найти ответ на второй вопрос, запишем условие равенства вероятности прохождения протоном барьера (при выше приведённых условиях) и ядра атома углерода. ????????= ???????? → exp (−2ℏ√2????????(????0− ????)????) = exp (−2ℏ√2????????(????0− ????)????0) (2) Равенство (2) возможно только в том случае, если равны показатели экспонент, следовательно −2ℏ√2????????(????0− ????)???? = −2ℏ√2????????(????0− ????)????0(3) Сократим в (3) на одинаковые сомножители, получим √???????????? = Выразим отсюда искомое соотношение ????0????: ????????0= √????????????????= √12·1,66·10−27 1,67·10−27= 3,45. Ответ 1) ???? = 0,13; 2) ????????0= 3,45. 77 4. ПОЛУПРОВОДНИКИ 4.1 Кристаллическая структура твердых тел Сточки зрения электрофизических свойств твердые тела делят натри большие группы металлы, диэлектрики и полупроводники. Металлы – вещества, хорошо проводящие электрический ток, с удельным сопротивлением  = 108 106 Омм. Удельное сопротивление металлов линейно растет с увеличением температуры. Диэлектрики – вещества, которые практически не проводят электрический ток. Их удельное сопротивление  > 10 8 Омм. Промежуточное положение занимает обширный класс веществ, называемых полупроводниками. Их удельное сопротивление варьируется от 106 до 10 8 Омм. Удельное сопротивление полупроводников очень сильно зависит от наличия примесей в материале, от температуры, воздействия света и т.д. Оно экспоненциально уменьшается с ростом температуры. Свойства веществ зависят от их внутреннего строения. Рассмотрим твердые тела. Большинство твёрдых веществ имеют кристаллическую структуру расположение атомов в пространстве характеризуется периодической повторяемостью и образует геометрически правильный рисунок, называемый кристаллической решёткой. Точки, в которых размещены частицы кристалла, называют узлами решётки. В узлах кристаллической решётки могут находиться атомы, ионы или молекулы. В зависимости от природы частиц, расположенных в узлах, и характера связи между ними различают четыре типа кристаллов ионные, металлические, атомные и молекулярные. Металлические кристаллы Присоединении атомов металла в кристаллическую решетку, валентные электроны атомов отрываются от своих атомов и свободно хаотично перемещаются по всему объему кристалла. В узлах кристаллической решётки металла остаются положительные ионы, пространство между которыми заполнено газом свободных электронов (рис. 4.1). 78 Рис. 4.1 Модель свободных электронов3Суммарный заряд свободных электронов равен по модулю и противоположен по знаку общему заряду положительных ионов, поэтому металлический проводник в целом оказывается электрически нейтральным. Валентные электроны в металлах являются "свободными, в том смысле, что они не связаны с отдельными атомами, хотя они остаются связанными с кристаллической решеткой в целом. При приложении к металлу электрического поля его свободные электроны начнут упорядоченно двигаться под действием этого поля, образуя электрический ток. Проводимость металла обусловлена наличием свободных электронов. Ионные кристаллы В узлах ионной кристаллической решётки размещены положительно и отрицательно заряженные ионы. Силы взаимодействия между узлами являются в основном электростатическими (кулоновскими. Классическим примером ионного кристалла является кристалл поваренной соли NaCl, в котором атом натрия отдает свой валентный электрон атому хлора, превращаясь в положительно заряженный иона атом хлора, приняв дополнительный электрон, становится отрицательно заряженным ионом (рис. 4.2). В кристаллическом состоянии такие вещества являются изоляторами, так Рис. 4.2 Ионный кристалл поваренной соли 3https://ege-study.ru/wp-content/uploads/2016/04/St20_01.jpg 4erudicate.ru 79 как отсутствуют свободные заряженные частицы, способные перемещаться под действием электрического поля. Вещество становится проводником только при нарушении кристаллической структуры (в растворе или расплаве. Атомные кристаллы В узлах кристаллической решетки атомных кристаллов находятся атомы, соединенные с соседними узлами ковалентными (парными) связями. При температуре абсолютного нуля и отсутствии внешних воздействий свободные заряженные частицы в таких кристаллах отсутствуют, и вещество является изолятором (рис. 4.3). При повышении температуры, освещении и других воздействиях, ковалентные связи могут разрушаться, освобождая электроны. Тогда в кристалле появляется электропроводность. В зависимости от реакции на внешние воздействия, вещества с атомными кристаллическими решетками являются диэлектриками или полупроводниками. Рис. 4.3 Структура кристалла кремния Молекулярные кристаллы В узлах кристаллической решетки молекулярных кристаллов расположены молекулы, соединенные между собой Ван-дер-Ваальсовыми силами. Такие вещества без нарушения структуры не проводят электрический ток, те, являются диэлектриками. 4.2 Зонная структура кристаллов Разделение веществ на классы можно объяснить при помощи зонных диаграмм, изображающих энергетическое строение вещества. В одиночных атомах электроны обладают строго заданными (квантованными) значениями энергии, которые называются энергетическими уровнями. Каждому состоянию электрона в атоме соответствует свой энергетический уровень. Энергетические уровни заполняются электронами по принципу наименьшей энергии, те. снизу вверх. Состояние, при котором все электроны обладают наименьшими из возможных значений энергии, называется основным. При поглощении атомом дополнительной энергии электроны могут переходить в состояние с большей энергией, которое называется возбужденным. По принципу Паули водном и том же атоме не может быть более одного электрона водном квантовом состоянии. Присоединении атомов в кристаллическую структуру валентные электроны различных атомов могут взаимодействовать между собой и остальными атомами кристалла. В результате понижаются потенциальные барьеры, отделяющие электроны в соседних атомах. Валентные электроны становятся способными перемещаться от атома к атому. Чтобы электроны кристалла, находящиеся на одном и том же энергетическом уровне, не оказались водном и том же состоянии (что запрещено принципом Паули, происходит расщепление энергетического уровняв каждом атоме на близкие подуровни. Количество подуровней в простейшем случае соответствует количеству атомов в кристалле. Энергетический уровень превращается в энергетическую зону, которую называют разрешенной зоной. Разность энергий между отдельными подуровнями разрешенной энергетической зоны очень мала, примерно 1022 эВ. Поэтому спектр значений энергии электрона в разрешенной зоне можно считать сплошным. Ширина разрешенных энергетических зон измеряется несколькими эВ. Верхний энергетический уровень разрешенной зоны называют потолком, нижний – дном. Интервалы между разрешенными зонами называются запрещенными энергетическими зонами ив них электроны находится не могут. Поскольку электроны стремятся занять энергетические уровни с наинизшей энергией, тов кристалле нижние энергетические зоны оказываются полностью заполненными, а самые верхние заполнены либо частично, либо совершенно свободны. Электрические свойства металлов, диэлектриков и полупроводников зависят от заполняемости разрешенных зон электронами и ширины запрещенных зон. В зависимости от заполняемости электронами, разрешенные зоны условно делят на свободные (без электронов, полностью заполненные (на всех уровнях имеются электроны) и частично заполненные. В металлах самая верхняя разрешенная зона, имеющая электроны, не полностью заполнена электронами, и чтобы электроны перешли на более высокие энергетические уровни этой же зоны, достаточно небольшой энергии теплового движения или электрического поля (рис. 4.4). Например, при Т К энергия теплового движения kT10-4 эВ, что гораздо больше разности энергий соседних уровней зоны. Возможность свободного наращивания энергии электронов при их переходах по уровням в энергетической зоне соответствует возможности свободного перемещения электронов по металлу, что обуславливает хорошую проводимость и теплопроводность металлов. Эту зону металла называют зоной проводимости. 81 Теперь рассмотрим кристаллы, у которых верхняя разрешенная энергетическая зона, имеющая электроны, заполнена электронами полностью. Внешнее электрическое поле в таком случае не в состоянии изменить характер движения электронов, не разрушая кристалл. Внутри же самой полностью заполненной зоны, не содержащей ни одного свободного уровня, оно может вызывать лишь перестановку электронов местами, что не нарушает симметрии их распределения по скоростям. Это не приводит к возникновению электрического тока в таких кристаллах. Таким образом, твердые тела с полностью заполненными электронами энергетическими зонами являются непроводниками. По ширине запрещенной зоны непроводники делятся на диэлектрики и полупроводники. Верхняя заполненная зона полупроводников и диэлектриков называется валентной зоной, следующая за ней свободная зона называется зоной проводимости. К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону. У типичных диэлектриков W > 3 эВ. Так, у алмаза W = 5,2 эВ у нитрида бора W = 4,6 эВ у Al2O3 – W = 7 эВ. У типичных полупроводников ширина запрещенной зоны менее 3 эВ. Например, у германия W = 0,66 эВ у кремния W = 1,12 эВ у антимонида индия W = 0,17 эВ. Рис. 4.4 Энергетические диаграммы металла, полупроводника и диэлектрика. 4.3 Собственные полупроводники Собственная электропроводность Собственными полупроводникамиявляются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Приме-Зона проводимости Зона проводимости Зона проводимости W Валентная зона Валентная зона Валентная зона W W Металл Полупроводник Диэлектрик Запрещенная зона 82 ром собственных полупроводников могут служить химически чистые Ge, Si, а также многие химические соединения InSb, GaAs, CdS и др. Рис. 4.5 Собственная проводимость германия6Возникновение собственной электропроводности показано на примере германия на рис. 4.5. Большие черные кружочки – атомы германия. Маленькие черные кружочки – электроны. Черточками показаны пары атомов, которым принадлежат электроны, участвующие в ковалентных связях. Белые кружочки – разорванные ковалентные связи, отсутствие электрона в ковалентной связи, дырка. При температуре абсолютного нуля все валентные электроны участвуют в ковалентных связях и не могут свободно перемещаться по кристаллу. Электропроводность отсутствует. При повышении температуры или при других воздействиях некоторые электроны могут получить дополнительную энергию, достаточную для разрыва ковалентной связи. Электроны покидают связь и становятся свободными в пределах кристалла (на рисунке показано стрелочками. На их месте в ковалентной связи возникает некомпенсированный положительный заряд, равный по модулю заряду электрона. Такая незаполненная (разорванная) ковалентная связь называется дыркой. Она может заполниться электроном из соседней ковалентной связи. В результате дырка будет перемещаться по кристаллу. Движение свободных электронов и дырок в отсутствии электрического поля будет хаотичным. Дырки являются квазичастицами. Они характеризуются свойствами 1. Не существуют в вакууме. В отсутствии коллектива электронов представление о дырках лишено смысла 2. Описывают поведение полупроводника во внешних электромагнитных полях 3. Не подходят для описания свойств полупроводника в гравитационных полях. Если на кристалл наложить электрическое поле, то свободные электроны электроны проводимости) будут двигаться против направления напряженности электрического поля, а дырки – по направлению напряженности электрического поля, что приведет к возникновению электрического тока. Электропроводность, возникающая в собственных полупроводниках и обусловленная движением электронов и дырок, называется собственной. Количество свободных электронов и количество дырок в собственном полупроводнике одинаковы. Поведение электронов и дырок можно описать сточки зрения энергетической диаграммы. При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости (рис. 4.6). При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. В результате тепловых забросов электронов из валентной зоны в зону проводимости в валентной зоне возникают вакантные состояния, которые как рази называются дырками. Во внешнем электрическом полена освободившееся от электрона место (дырку) может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Рис. 4.6 Генерация электронно-дырочных пар7В собственных полупроводниках наряду с процессом генерации электрон- но-дырочных пар идет обратный процесс рекомбинации, при котором электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке или испуская квант электромагнитного излучения. В результате процессов генерации и рекомбинации в полупроводнике приданной температуре устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно n и p то 7 https://studfiles.net/html/2706/202/html_Xnv3xLWLLX.21PC/img-Tk9vm3.png 84 ???? = ???? = ????????(4.1) где индекс i означает собственный полупроводник. Запишем закон Ома в дифференциальной форме ???? =1????????⃗ = ????????⃗ , где j – вектор плотности тока, – удельное сопротивление вещества, – электропроводность (удельная проводимость) вещества, E– вектор напряженности электрического поля в образце. Электропроводность вещества определяется величиной заряда q носителей тока, их концентрацией n, подвижностью . Подвижность это коэффициент пропорциональности между модулем дрейфовой скорости др носителей тока и величиной напряженности электрического поля др ????E В полупроводниках носителями тока являются отрицательно заряженные свободные электроны (электроны проводимости) и положительно заряженные дырки, имеющий одинаковый по модулю заряд, равный модулю заряда электрона. Электропроводность полупроводника определяется формулой ???? = ????????(???? ∙ ????????+ ???? ∙ ????????), где n – концентрация электронов проводимости, p – концентрация дырок, ???????? – подвижность электронов проводимости, ???????? – подвижность дырок. В чистом беспримесной полупроводнике (собственном полупроводнике) концентрации электронов и дырок равны между собой ???? = ???? = ????????. Исходя из формулы (4.3), в собственном полупроводнике электропроводность описывается формулой ???? = ????????????????(????????+ ????????). Особенностью полупроводников является специфическая зависимость их электропроводности от температуры. Строго говоря, от температуры зависят и концентрация, и подвижности носителей заряда. Однако во многих случаях в узком диапазоне температур зависимостью подвижностей от температуры можно пренебречь и считать подвижности постоянными, независящими от температуры. Тогда вид зависимости электропроводности от температуры будет определяться видом зависимости концентрации носителей тока от температуры. Зависимость концентрации собственных носителей от температуры описывается экспонентой ????????= ????0????−∆???? (2????????)⁄, (4.5) где ∆???? – ширина запрещенной зоны (минимальная энергия образования элек- тронно-дырочной пары, k – постоянная Больцмана, T – температура образца, n0 – концентрация носителей при высоких температурах. Концентрация ????0 определяется по формуле ????0= √????????∙ ???????? , 85 где NC – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, NV – эффективная плотность состояний в валентной зоне. Обычно соблюдается условие ????????≈ ????????, поэтому можно считать, что Исходя из (4.5), получаем формулу для ????: ???? = ????0????????(???????? + ????????)????−∆???? (2????????)⁄(4.6) Обозначим ????0= ????????????0(????????+ и условно назовем это электропроводностью образца при бесконечно большой температуре. В результате получим выражение для электропроводности образца ???? = ????0????−∆???? (Таким образом, зависимость электропроводности собственного полупроводника от температуры является экспоненциальной. Пример 6. При температуре 27 С находится образец, изготовленный из германия. Длина образца 10 мм, ширина и высота по 1 мм. Приданной температуре собственная электропроводность германия равна 0,02 (Омсм)1. Полупроводник нагрели до 100 С. Чему станет равно сопротивление образца при этой температуре Ширина запрещенной зоны германия равна 0,67 эВ и считается постоянной в данном интервале температур. Тепловым расширением образца пренебречь. Дано Т = 27 С 300 К Т = 100 С = 373 Кl=10мм=10-2м a=1мм=10-3м b=1мм=10-3м σ1=2∙10−21Ом∙см=21Ом∙мk=1,38∙10-23ДжК=8,62∙10-5эВК_________________________ Найти R2 - ? Решение Зависимость сопротивления от геометрических размеров и материала образца. Электропроводность приданных температурах 86 ????1= ????0????−∆???? (2????????1)⁄????2= ????0????−∆???? (Исключим неизвестную нам электропроводность при высоких температурах (Отсюда ????2=????????1∙ ???? ∙ ????∙ ????(− ∆????2????(1????1 − Производим расчет ????2=10−2 2 ∙ 10−3∙ 10−3∙ ????(− 0,67 2∙8,62∙10−5(1 300 −1 373))= Ом) Ответ R2 = 396 Ом. 1   2   3   4   5   6   7   8

(для ядра кислорода) Решение Данная задача относится к нерелятивистской области, поскольку
????
к
≪
????
????????
????
2
Введём удобные обозначения. Все параметры задачи, относящиеся к кислороду, обозначим индексом «1», а относящиеся к гелию индексом «2». По формуле (3.13) запишем длину волны де Бройля для кислорода
????
дб1
=
ℎ
√2????
1
????
1
????
1
,
(1) где
????
1
– масса ядра кислорода
????
1
– заряд ядра кислорода
????
1
– искомая разность потенциалов для ядра кислорода, которую необходимо определить в задаче. Определим массу и заряд для ядра кислорода. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче О 16
. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра кислорода, выраженную в атомных единицах массы (
????
????
= 1,66 · кг –

64 атомная единица массы. Следовательно
????
1
= 16????
????
. Нижний индекс обозначает заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда
????. Следовательно. По формуле (3.11) запишем длину волны де Бройля для гелия
????
дб2
=
ℎ
√2????
2
????
к2
,
(2) где
????
2
– масса ядра гелия
????
2
– заряд ядра гелия к – кинетическая энергия ядра гелия равная
320 эВ. Определим массу и заряд для ядра гелия. Поступаем аналогично как и для кислорода. Символическое обозначение для гелия Не Следовательно
????
2
= 4????
????
,
????
2
= 2????. Кинетическую энергию ядра гелия к удобно выразить по формуле
(3.13): кэВ, отсюда находим
????
2
=
320 эВ Дж 160 В
(3) В (3) мы выразили
320 эВ в джоулях, домножив 320 эВ на элементарный заряда затем сократили на ????. Теперь удобно записать длину волны де Бройля для гелия по формуле (3.13)
????
дб2
=
ℎ
√2????
2
????
2
????
2
(4) По условию задачи
????
дб1
= ????
дб2
(5) Подставим в (5) выражения (1) и (4)
ℎ
√2????
1
????
1
????
1
=
ℎ
√2????
2
????
2
????
2
(6) Сократим в (6) слева и справа на
ℎ и, затем используя алгебраические преобразования получим расчетную формулу для
????
1
????
1
=
????
2
????
2
????
1
????
1
????
2
(7) Подставим в (7) найденные величины,
????
2
, и получим ответ
????
1
=
4????
????
2????
16????
????
8????
160 = 10 В. Ответ ????
1
= 10 В.
3.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга В разделе волны де Бройля мы показали, что микрочастицы одновременно проявляют себя как волны, и как корпускулы. К ним неприменимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит кто му, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью. Если поместить частицу в данную точку пространства, то мы ничего не сможем сказать о длине волны частицы. Действительно, волновой процесс подразумевает некий объём пространства, в котором он сосредоточен (вспомним о волнах на поверхности моря. Следовательно, для частицы с точно заданной координатой импульс становится полностью неопределённым. Это напрямую следует из формулы
????
дб
=
ℎ
р
, выразим отсюда импульс
???? частицы, тогда
???? =
ℎ
????
дб
(3.15) Поскольку для точки
????
дб
0, то импульс становится полностью неопреде- лённым. Только рассматривая протяженный участок
∆???? мы сможем определить импульс частицы. Чем больше
∆???? (неопределённость координаты, тем меньше неопределённость импульса
∆????
????
, тем точнее определён импульс
????
????
и наоборот, чем меньше
∆????, тем больше неопределенность в нахождении ∆????
????
. Из этих качественных рассуждений вытекают соотношения неопределенностей между импульсом и координатой, которые впервые были получены немецким физиком Гейзенбергом и носят название соотношения неопределенностей Гейзенберга. Запишем эти соотношения для координат x, y, z и импульсов
????
????,
????
????,
????
????
∆????∆????
????
≥
ℏ
2
; ∆????∆????
????
≥
ℏ
2
; ∆????∆????
????
≥
ℏ
2
(3.14) где
ℏ = 1,05 · Дж · с – редуцированная постоянная Планка. Часто в (3.14) пренебрегают коэффициентом 1 2
⁄ и тогда соотношения неопределенностей Гейзенберга выглядят
∆????∆????
????
≥ ℏ; ∆????∆????
????
≥ ℏ ; ∆????∆????
????
≥ ℏ
(3.15) Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс. Смысл соотношений (3.14) и (3.15) заключается в следующем произведение неопределенностей координаты
∆???? и импульса
∆????
????
(аналогично для двух других канонически сопряженных величин) не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой. Здесь надо иметь ввиду, что неопределенность координаты и импульса вине определяется нашими измерительными приборами, а задаётся фундаментальными законами физики. Помимо соотношения неопределенностей между импульсом и координатой в физике существует соотношение неопределенностей между энергией и временем
∆????∆???? ≥ ℏ
(3.16) где
∆???? – неопределенность энергии частицы, ∆???? – неопределенность времени нахождения частицы в данном состоянии. Из соотношения (3.16) вытекает, что

66 энергетические уровни атомов в возбуждённых состояниях никогда не задаются точно, а известны с определённой погрешностью
∆????. Из соотношения (3.16) также следует, что частота фотона
????, излученного атомом, никогда не имеет точного значения, а определяется с определённой погрешностью
∆???? =
1
????
, где
???? – время пребывания атомом в возбуждённом состоянии. Следует отметить, что соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют смысл практически только для микрочастиц (электронов, нейтронов, протонов, атомов, молекул. Что касается макроскопических тел, то для них в силу их макроскопической массы ( 1 г, их неопределенность координаты составляет
10
-37
м, что невозможно обнаружить современными методами. Поэтому соотношения неопределенностей Гейзенберга для макротел в современной физике использовать никого смысла нет, и можно считать, что координата и импульс для таких тел известны точно. Пример 3 Ядро азота
????
7 14
ускоряется напряжением
???? и влетает в камеру Вильсона. Неопределенность координаты ядра можно измерить с погрешностью 1 нм, а неопределённость импульса с точностью 0.1%. Оценить нижнюю границу напряжения н, при котором ещё можно произвести измерения координаты и импульса с указанной точностью. Дано
????
7 14
– ядро азота
∆???? = 1 нм м
∆????
????
= 0.1% = 10
−3
__________________ Найти н Решение
1) Выразим кинетическую энергии через импульс частицы к 2????
(1) Выразим отсюда импульс
????:
???? = к) С другой стороны, кинетическую энергии можно записать через ускоряющее напряжение
???? и заряд частицы ????: к ????????.
(3) Подставим (3) в (2), получим
???? = √2????????????
(4)

67 Запишем неопределенность импульса, используя условие задачи
∆???? = 10
−3
√2????????????
(5) Запишем соотношение неопределенностей Гейзенберга между импульсом и координатой
∆????∆???? ≥ ℏ
(6) Подставим в (6) соотношение (5)
∆????10
−3
√2???????????? ≥ ℏ
(7)
Возведём в квадрат левую и правую часть (7)
∆????
2 10
−6 2???????????? ≥ ℏ
2
(8) Запишем соотношение для напряжения
????, используя (8)
???? ≥
ℏ
2 10
−6 2????∆????
2
????
(9) Неравенство (9) является расчётной формулой нашей задачи. Определим массу
???? и заряд ???? для частицы. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче –
????
7 14
. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра азота, выраженную в атомных единицах массы (
????
????
= 1,66 · кг – атомная единица массы. Следовательно
???? = 14????
????
. Нижний индекс обозначает заряд ядра, выраженный в единицах элементарного заряда
???? (1,6

10
-19
Кл. Следовательно
???? = 7????. Подставим все известные числовые параметры в (9)
???? ≥
(1,05

10
−34
)
2 10
−6 2

14

1,66·10
−27

(10
−9
)
2

7

1,6

10
−19
= 0,21 В
(10) Нижняя граница напряжения н определяется из неравенства (10) и равна
0,21 В, следовательно н 0,21 В.
Ответ: н 0,21 В
3.4. Волновая функция и ее физический смысл В квантовой механике любые микрочастицы наряду с корпускулярными обладают волновыми свойствами. Волновые свойства выражаются в том, что частицы могут интерферировать или дифрагировать, проходя через соответствующие препятствия. Для каждой частицы можно ввести волну де Бройля с длиной волны
????
дб
=
ℎ
????
. Из-за волновых свойств поведение микрочастиц носит вероятностный характер. М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или
Ψ – функцией (пси-функцией). Волновая функция Ψ(????, ????, ????, ????) в общем случае зависит от трёх пространственных координат
????, ????, ???? и от времени ????. В соответствии с интерпретацией Борна физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля. Квадрат модуля определяет плотность вероятности
????(????, ????, ????, ????) обнаружить частицу в данной точке пространства
????, ????, ????. Таким образом ????(????, ????, ????, ????) = |Ψ|
2

68 Зная плотность вероятности ????, можно рассчитать вероятность ???????? попадания частицы в элемент объема
????????
???????? = ???????????? = |Ψ|
2
????????
(3.17) Формулу (3.17) можно распространить навесь объем, занимаемый частицей (в общем случае бесконечный. Если мы точно знаем, что данном объеме частица присутствует (достоверное событие, то вероятность такого события обращается в 1. Поэтому интегрируя (3.17) по всему объему ????, мы получаем соотношение
∫|Ψ|
2
???????? = ∫ ???? ???????? = 1
(3.18) Соотношение (3.18) в квантовой механике носит название условие нормировки. В квантовой механике принимается, что Ψ и А, где А = const, описывают одно и тоже состояние частицы. Если А подставить в (3.18), то мы получим
????
2
∫|Ψ|
2
???????? = 1
(3.19) Условие нормировки (3.19) используют, чтобы определить неизвестную константу
???? на которую домножается волновая функция Ψ. Условия, которые налагаются на волновую функцию Ψ. Функция
Ψ должна быть
1) конечной (так как вероятность
???? не может быть больше единицы по определению
2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 итак как вероятность должна быть однозначной) непрерывной (следует из непрерывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная)
4) иметь непрерывную первую производную
5) волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями то она может находится в состоянии
Ψ, описываемой линейной комбинаций этих функций
Ψ = ∑ ????
n
Ψ
n
,
(3.20) где
????
n
– любые комплексные числа. С помощью волновой функции
Ψ вычисляются средние значения любой физической величины L (координаты, импульса, момента импульса и т.п.) по правилу
< ???? >= ∫ Ψ
∗
????̂ Ψ????????,
(3.21) где
< ???? > – среднее значение величины L; Ψ
∗
– комплексно сопряжённая волновая функция
????̂ – оператор физической величины L.

69
3.5. Уравнение Шрёдингера Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой физики. Оно является следствием волновой природы частиц, решая его можно определить волновую функцию
Ψ физической системы. Уравнение Шредингера строго логически ниоткуда не следует, его нужно рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными. В квантовой механике выделяют временное уравнение Шредингера и стационарное уравнение Шредингера. Временное уравнение Шредингера записывается в виде
????ℏ
????????
????????
= −
ℏ
2 2????
???????? + ????(????, ????)????
(3.22) где
???? = √−1 – мнимая единица ℏ − постоянная Планка Δ =
????
2
????????
2
+
????
2
????????
2
+
????
2
????????
2
– оператор Лапласа
????(????, ????) – потенциальная функция частицы в силовом поле
???? – масса частицы. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (те. не изменяется стечением времени, то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера те. Ψ – функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей один зависит только от координат, другой – только от времени
Ψ(????, ????, ????, ????) = Ψ(????, ????, ????)????
−????
????
ℏ
????
,
(3.23) где
???? – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Если (3.23) подставить в (3.22), то временное уравнение Шредингера превращается в стационарное (те. независящее от времени
???? ) уравнение Шредингера) где
????(????, ????, ????) – волновая функция, зависит только от координат ????, ????, ????.
Как правило большинство задач квантовой механики сводится к решению стационарного уравнения Шредингера. Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями (
????
1
, ????
2
… ????
????
… ), а соответствующие им значения энергии (
????
1
, ????
2
… ????
????
… ), – собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется энергетическим спектром. Если
????
????
принимает дискретные значения, то спектр – дискретный, если непрерывные – сплошной или непрерывный. В качестве примера мы рассмотрим два вида кванто-механических задач
1) частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками 2) прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы.

70
3.5.1. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками На рис. 3.3 показана физическая система для данной задачи. Потенциальная энергия
????(????) определяется следующими соотношениями
????(????) = ∞, при ???? < 0; ????(????) = 0, при 0 ≤ ???? ≤ ????; ????(????) = ∞, при ???? > ???? (3.25) Рис. 3.3 Яма с бесконечно высокими стенками. Данная задача является одномерной, частица находится в области
0 ≤ ???? ≤ ????, где ???? – ширина потенциальной ямы. Частица не может попасть в область ив область ???? > ????, т.к. в этом случае её энергия станет равна бесконечности, что физически бессмысленно. В указанных областях (
???? < 0; ???? > ????) волновая функция частицы обращается в ноль (
????(????) = 0 ), что показывает, что здесь частица находиться не может. В силу непрерывности волновая функция в точках
???? = 0 и ???? = ???? также равна нулю
????(????) = 0 в точках ???? = 0 и ???? = ????
(3.26) Соотношение (3.26) называются граничными условиями задачи. Используем стационарное уравнение Шредингера (3.22). С учётом (3.24) для области
0 ≤ ???? ≤ ???? оно может быть записано в виде
????
2
????
????????
2
+
2????
ℏ
2
???????? = 0
(3.27)
Введём константу k, которая определяется из соотношения
????
2
=
2????
ℏ
2
????
(3.28) Тогда (3.27) запишется
????
2
????
????????
2
+ ????
2
???? = 0
(3.29) Общее решение (3.29) запишется в виде
????(????) = ???? sin ???????? + ???? cos ????????
(3.30) Используя первое граничное условие (3.26) в
???? = 0, можно показать, что
???? = 0 . Следовательно,
????(????) = ???? sin ????????
(3.31) Теперь используем второе граничное условие (3.26) в
???? = ???? , получаем
????(????) = ???? sin ???????? = 0
(3.32)
x
l
0
U(x)
U=∞
U=∞
U=0

71 Решая (3.32), получаем
???????? = ????????,
(3.33) где
???? = 1,2 … любое натуральное число. Выражаем
???? из (3.33)
???? =
????????
????
(3.34) Подставляя (3.34) в (3.28), мы определяем спектр энергий частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
????
????
=
????
2
ℏ
2 2????????
2
????
2
,
(3.35) где
???? = 1,2 … называется главным квантовым числом, оно определяет номер энергетического уровня, на котором находится частица. Таким образом, частица в потенциальной яме может находиться только на определенном энергетическом уровне ????
????
(или как говорят находится в квантовом состоянии n»), энергетический спектр данной системы является дискретным. Каждому энергетическому уровню
????
????
соответствует своя волновая функция) Неизвестную константу
???? находим из условия нормировки (3.19) Если подставить (3.35) в (3.19) и провести интегрирование, то можно определить константу
????. В нашем случае постоянная ???? равна. Подставляя
???? в (3.35) получаем окончательный вид волновых функций
????
????
(????) = √
2
????
sin
????????
????
????
(3.36) Из (3.36) определяем плотность вероятности
????(????) = |Ψ|
2
????
????
(????) =
2
????
sin
2 ????????
????
????
(3.37) Графики
????
????
(????) и ????
????
(????) для квантовых состояний ???? = 1,2,3 изображены на рис. 3.4 Рис. 3.4 Волновые функции и плотности вероятности для состояний
???? =
1,2,3. Из рис видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n: при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы (
???? =
????
2
), ноне на краях

72 при n = 2 наиболее вероятное положение частицы при
???? =
????
4
и
???? =
3????
4
; при n = 3 наиболее вероятное положение частицы при
???? =
????
6
,
????
2
Если мы хотим определить вероятность
???? попадания частицы в область
[????
1
, ????
2
], то мы должны проинтегрировать соотношение ???????? = ???????????? = |Ψ|
2
???????? по всей области [????
1
, ????
2
]:
???? = ∫ |Ψ|
2
????
2
????
1
???????? =
2
????
∫ sin
2 ????????
????
????
????
2
????
1
???????? а) Формула (3.38) является расчетной для задач на потенциальную яму с бесконечно высокими стенками. Пример 4 Ядро углерода
????
6 12
находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной
???? с бесконечно высокими стенками на втором энергетическом уровне. Запишите волновую функцию и плотность вероятности данного состояния. Изобразите графически волновую функцию и плотность вероятности частицы. Определите на графике точки, где 1) вероятность обнаружить частицу минимальная 2) вероятность обнаружить частицу максимальная. Рассчитайте вероятность
???? попадания частицы в область ???? 4
⁄ < ???? < 2???? 3
⁄ . Дано
????
6 12
– ядро углерода
???? = 2 (номер энергетического уровня)
______________________ Найти
1) {
????
????????????
}
2){
????
????????????
}
3)
????−? Для области ???? 4
⁄ < ???? < 2???? 3
⁄ Решение
1) Воспользуемся формулой (3.36) для волновых функций в одномерной прямоугольной потенциальной яме
????
????
(????) = √
2
????
sin
????????
????
????
(1) В нашем случае номер энергетического уровня
???? = 2. Подставляем его в
(1) и получаем формулу
????
2
(????) = √
2
????
sin
2????
????
????
(2) Определяем плотность вероятности для данного квантового состояния по формуле (3.37)
????
2
(????) =
2
????
sin
2 2????
????
????
(3) Изобразим
????
2
(????) ив виде графика. Их вид показан на Рис (???? =
2). Из графика видно, что 1) точки, где вероятность обнаружить частицу минимальная равны
????
????????????
= 0,
????
2
, ????; 2) точки, где вероятность обнаружить частицу максимальная равны
????
????????????
=
????
4
,
3????
4
. Вероятность обнаружить частицу в области
????
4
⁄ < ???? < 2???? 3
⁄ определим по формуле (3.38), учитывая номер энергетического уровня
???? = 2 и пределы интегрирования, получаем
???? = ∫
|Ψ|
2 2????
3
⁄
????
4
⁄
???????? =
2
????
∫
sin
2 2????
????
????
2????
3
⁄
????
4
⁄
????????
(4) Разложим sin
2 2????
????
по формуле двойного угла sin
2 2????
????
=
1−cos
4????
????
2
и поставим в
(4)
???? =
2
????
∫
1−cos
4????
????
2 2????
3
⁄
????
4
⁄
???????? =
2
????
[
1 2
∫
???????? − ∫
cos
4????
????
2????
3
⁄
????
4
⁄
????????]
2????
3
⁄
????
4
⁄
(5)
Берём интегралы в (5) по стандартным правилам математического анализа и получаем
???? =
2
????
[
5????
24
−
????√3 8

] = Ответ)
????
????????????
= 0,
????
2
, ????; 2) ????
????????????
=
????
4
,
3????
4
; 3)
???? = 0,278
1   2   3   4   5   6   7   8

3.5.2. Прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы Физическая модель данной задачи изображена на Рис. 3.5. Частица c энергией налетает на потенциальный прямоугольный барьер высотой ????
0
. Потенциальная энергия для частицы в поле движения барьера имеет вид
????(????) = 0, при ???? < 0; ????(????) = ????
0
, при 0 ≤ ???? ≤ ????; ????(????) = 0, при ???? > ????. Опишем поведение частицы, налетающий на потенциальный барьер, для двух случаев 1) классическая частица 2) квантовая частица. Классическая частица : при
???? > ????
0
она пройдет над барьером, при
???? <
????
0
– отразится от него. Квантовая частица при
???? > ????
0
есть вероятность того, что частица отразится от барьера, при
???? < ????
0
есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер. Прохождение классической частицы сквозь барьер при ???? < ????
0
исключается, поскольку при этом кинетическая энергия частицы внутри барьера станет отрицательной, что физически бессмысленно. Для квантовой частицы прохождение сквозь барьер при ???? < ????
0
возможно из-за соотношения неопределённостей, поэтому существует вероятность того, что она пройдет сквозь барьер. Такое явление получило название в физике туннельного эффекта. На Рис. 3.5 вся область движения поделена натри области 1)
???? < 0 область налетающих и от- ражённых частиц 2)
0 ≤ ???? ≤ ???? область барьера 3) ???? > ???? область частиц прошедших сквозь барьер.

74 Из решения уравнения Шрёдингера следует, что волновые функции в областях определяются соотношениями
Ψ
1
= ????
1
????
????????????
+ ????
1
????
−????????????
– волновая функция налетающей и отражённой от барьера частицы
Ψ
2
= ????
2
????
−????????
– волновая функция частицы внутри барьера
Ψ
3
= ????
3
????
????????????
– волновая функция частицы, прошедшей сквозь барьер. Рассчитаем вероятность
???? (коэффициент прозрачности барьера, что частица с энергией
???? пройдёт сквозь барьер ширины ????. Предполагаем, что энергия частицы
???? меньше высоты ????
0
потенциального барьера (???? < ????
0
). Запишем стационарное уравнение Шредингера (3.24) для нашего случая
????
2
????
????????
2
+
2????
ℏ
2
(???? − ????
0
)???? = 0
(3.38) Рис. 3.5 Прохождение частицы сквозь барьер прямоугольной формы. Перепишем (3.38) в форме
????
2
????
????????
2
−
2????
ℏ
2
(????
0
− ????)???? = 0
(3.39) Обозначим
????
2
=
2????
ℏ
2
(????
0
− ????), тогда (3.39) запишется
????
2
????
????????
2
− ????
2
???? = 0
(3.40) Решением уравнения (3.40) является волновая функция
Ψ
2
= ????
2
????
−????????
, где
???? = √
2????
ℏ
2
(????
0
− ????) =
√2????(????
0
−????)
ℏ
(3.41) Рассчитаем плотность вероятности
????
2
(????) – обнаружить частицу внутри барьера) Рассчитаем плотность вероятности
????
2
(????) при ???? = ????, это и будет искомая вероятность
???? – коэффициент прозрачности барьера, что частица преодолеет барьер и окажется в области 3.
x
l
0
U
0
U(x)
W < U
0 1
2 Налетающие частицы
Прошедшие частицы

75
????
2
(????) = ???? или
???? = ????
0
exp (−
2
ℏ
√2????(????
0
− ????)????)
(3.43) Здесь
????
0
– коэффициент 1 (обычно при расчете принимается за 1);
ℏ = 1.05 Дж · с − постоянная Планка ???? – масса частицы ????
0
– высота потенциального барьера
???? – энергия частицы ???? – ширина потенциального барьера. Формула (3.43) является расчетной для задач на потенциальный барьер прямоугольной формы. Пример 5 Ядро атома углерода С 12
с энергией
???? = 11,8 эВ движется в положительном направлении оси x и налетает на прямоугольный потенциальный барьер высотой
????
0
= 12 эВ и шириной ????
0
= 3 пм. Определить вероятность прохождения ядром этого барьера. Во сколько раз надо расширить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном (при выше приведённых условиях) была такой же как для ядра атома углерода. Дано С 12
– ядро углерода
???? = 11,8 эВ
????
0
= 12 эВ
????
0
= 3 пм = 3 · мкг масса протона
ℏ = 1.05 · 10
−34
Дж · с – постоянная Планка
???? = 1,6

10
−19
Кл – элементарный заряд.
_______________________ Найти
1)
????−?
2)
????
????
0
−? Решение
1) Чтобы определить вероятность прохождения ядром барьера, воспользуемся формулой (3.43)
???? = ????
0
exp (−
2
ℏ
√2????
????
(????
0
− ????)????
0
)
(1) Считаем
????
0
1. Определим массу
????
????
ядра атома углерода. Воспользуемся обозначениями, которые даны в задаче –
С 12
. Верхний индекс здесь обозначает массу ядра углерода, выраженную в атомных единицах массы (
????
????
= 1,66 кг – атомная единица массы. Следовательно ????
????
= 12????
????
. При подстановке ив) необходимо электрон-вольты перевести в джоули. Для этого
????
0
и ???? домножим на элементарный заряд ???? . Подставляем все числовые параметры в (1), проводим вычисления, получаем ответ

76
???? = exp (−
2 1.05 · 10
−34
√2 · 12 · 1,66 · 10
−27
(12 − 11,8) · 1,6

10
−19
· 3 · 10
−12
)
= 0,13 2) Чтобы найти ответ на второй вопрос, запишем условие равенства вероятности прохождения протоном барьера (при выше приведённых условиях) и ядра атома углерода.
????
????
= ????
????
→ exp (−
2
ℏ
√2????
????
(????
0
− ????)????) = exp (−
2
ℏ
√2????
????
(????
0
− ????)????
0
)
(2) Равенство (2) возможно только в том случае, если равны показатели экспонент, следовательно
−
2
ℏ
√2????
????
(????
0
− ????)???? = −
2
ℏ
√2????
????
(????
0
− ????)????
0
(3) Сократим в (3) на одинаковые сомножители, получим √????
????
???? = Выразим отсюда искомое соотношение
????
0
????
:
????
????
0
= √
????
????
????
????
= √
12·1,66·10
−27 1,67·10
−27
= 3,45. Ответ 1)
???? = 0,13; 2)
????
????
0
= 3,45.

77
4. ПОЛУПРОВОДНИКИ
4.1 Кристаллическая структура твердых тел Сточки зрения электрофизических свойств твердые тела делят натри большие группы металлы, диэлектрики и полупроводники. Металлы – вещества, хорошо проводящие электрический ток, с удельным сопротивлением

= 10

8

10

6
Ом

м. Удельное сопротивление металлов линейно растет с увеличением температуры. Диэлектрики – вещества, которые практически не проводят электрический ток. Их удельное сопротивление

> 10 8
Ом

м. Промежуточное положение занимает обширный класс веществ, называемых полупроводниками. Их удельное сопротивление варьируется от 10

6
до
10 8
Ом

м. Удельное сопротивление полупроводников очень сильно зависит от наличия примесей в материале, от температуры, воздействия света и т.д. Оно экспоненциально уменьшается с ростом температуры. Свойства веществ зависят от их внутреннего строения. Рассмотрим твердые тела. Большинство твёрдых веществ имеют кристаллическую структуру расположение атомов в пространстве характеризуется периодической повторяемостью и образует геометрически правильный рисунок, называемый кристаллической решёткой. Точки, в которых размещены частицы кристалла, называют узлами решётки. В узлах кристаллической решётки могут находиться атомы, ионы или молекулы.
В зависимости от природы частиц, расположенных в узлах, и характера связи между ними различают четыре типа кристаллов ионные, металлические, атомные и молекулярные. Металлические кристаллы Присоединении атомов металла в кристаллическую решетку, валентные электроны атомов отрываются от своих атомов и свободно хаотично перемещаются по всему объему кристалла. В узлах кристаллической решётки металла остаются положительные ионы, пространство между которыми заполнено газом свободных электронов (рис. 4.1).

78 Рис. 4.1 Модель свободных электронов
3
Суммарный заряд свободных электронов равен по модулю и противоположен по знаку общему заряду положительных ионов, поэтому металлический проводник в целом оказывается электрически нейтральным. Валентные электроны в металлах являются "свободными, в том смысле, что они не связаны с отдельными атомами, хотя они остаются связанными с кристаллической решеткой в целом. При приложении к металлу электрического поля его свободные электроны начнут упорядоченно двигаться под действием этого поля, образуя электрический ток. Проводимость металла обусловлена наличием свободных электронов. Ионные кристаллы В узлах ионной кристаллической решётки размещены положительно и отрицательно заряженные ионы. Силы взаимодействия между узлами являются в основном электростатическими (кулоновскими. Классическим примером ионного кристалла является кристалл поваренной соли NaCl, в котором атом натрия отдает свой валентный электрон атому хлора, превращаясь в положительно заряженный иона атом хлора, приняв дополнительный электрон, становится отрицательно заряженным ионом (рис. 4.2). В кристаллическом состоянии такие вещества являются изоляторами, так Рис. 4.2 Ионный кристалл поваренной соли 3
https://ege-study.ru/wp-content/uploads/2016/04/St20_01.jpg
4
erudicate.ru

79 как отсутствуют свободные заряженные частицы, способные перемещаться под действием электрического поля. Вещество становится проводником только при нарушении кристаллической структуры (в растворе или расплаве. Атомные кристаллы В узлах кристаллической решетки атомных кристаллов находятся атомы, соединенные с соседними узлами ковалентными (парными) связями. При температуре абсолютного нуля и отсутствии внешних воздействий свободные заряженные частицы в таких кристаллах отсутствуют, и вещество является изолятором (рис. 4.3). При повышении температуры, освещении и других воздействиях, ковалентные связи могут разрушаться, освобождая электроны. Тогда в кристалле появляется электропроводность. В зависимости от реакции на внешние воздействия, вещества с атомными кристаллическими решетками являются диэлектриками или полупроводниками. Рис. 4.3 Структура кристалла кремния Молекулярные кристаллы В узлах кристаллической решетки молекулярных кристаллов расположены молекулы, соединенные между собой Ван-дер-Ваальсовыми силами. Такие вещества без нарушения структуры не проводят электрический ток, те, являются диэлектриками.
4.2 Зонная структура кристаллов Разделение веществ на классы можно объяснить при помощи зонных диаграмм, изображающих энергетическое строение вещества. В одиночных атомах электроны обладают строго заданными (квантованными) значениями энергии, которые называются энергетическими уровнями. Каждому состоянию электрона в атоме соответствует свой энергетический уровень. Энергетические уровни заполняются электронами по принципу наименьшей энергии, те. снизу вверх. Состояние, при котором все электроны обладают наименьшими из возможных значений энергии, называется основным. При поглощении атомом дополнительной энергии электроны могут переходить в состояние с большей энергией, которое называется возбужденным. По принципу Паули водном и том же атоме не может быть более одного электрона водном квантовом состоянии. Присоединении атомов в кристаллическую структуру валентные электроны различных атомов могут взаимодействовать между собой и остальными атомами кристалла. В результате понижаются потенциальные барьеры, отделяющие электроны в соседних атомах. Валентные электроны становятся способными перемещаться от атома к атому. Чтобы электроны кристалла, находящиеся на одном и том же энергетическом уровне, не оказались водном и том же состоянии (что запрещено принципом Паули, происходит расщепление энергетического уровняв каждом атоме на близкие подуровни. Количество подуровней в простейшем случае соответствует количеству атомов в кристалле. Энергетический уровень превращается в энергетическую зону, которую называют разрешенной зоной. Разность энергий между отдельными подуровнями разрешенной энергетической зоны очень мала, примерно 10

22
эВ. Поэтому спектр значений энергии электрона в разрешенной зоне можно считать сплошным. Ширина разрешенных энергетических зон измеряется несколькими эВ. Верхний энергетический уровень разрешенной зоны называют потолком, нижний – дном. Интервалы между разрешенными зонами называются запрещенными энергетическими зонами ив них электроны находится не могут. Поскольку электроны стремятся занять энергетические уровни с наинизшей энергией, тов кристалле нижние энергетические зоны оказываются полностью заполненными, а самые верхние заполнены либо частично, либо совершенно свободны. Электрические свойства металлов, диэлектриков и полупроводников зависят от заполняемости разрешенных зон электронами и ширины запрещенных зон. В зависимости от заполняемости электронами, разрешенные зоны условно делят на свободные (без электронов, полностью заполненные (на всех уровнях имеются электроны) и частично заполненные. В металлах самая верхняя разрешенная зона, имеющая электроны, не полностью заполнена электронами, и чтобы электроны перешли на более высокие энергетические уровни этой же зоны, достаточно небольшой энергии теплового движения или электрического поля (рис. 4.4). Например, при Т К энергия теплового движения kT

10
-4
эВ, что гораздо больше разности энергий соседних уровней зоны. Возможность свободного наращивания энергии электронов при их переходах по уровням в энергетической зоне соответствует возможности свободного перемещения электронов по металлу, что обуславливает хорошую проводимость и теплопроводность металлов. Эту зону металла называют зоной проводимости.

81 Теперь рассмотрим кристаллы, у которых верхняя разрешенная энергетическая зона, имеющая электроны, заполнена электронами полностью. Внешнее электрическое поле в таком случае не в состоянии изменить характер движения электронов, не разрушая кристалл. Внутри же самой полностью заполненной зоны, не содержащей ни одного свободного уровня, оно может вызывать лишь перестановку электронов местами, что не нарушает симметрии их распределения по скоростям. Это не приводит к возникновению электрического тока в таких кристаллах. Таким образом, твердые тела с полностью заполненными электронами энергетическими зонами являются непроводниками. По ширине запрещенной зоны непроводники делятся на диэлектрики и полупроводники. Верхняя заполненная зона полупроводников и диэлектриков называется валентной зоной, следующая за ней свободная зона называется зоной проводимости.
К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону. У типичных диэлектриков

W > 3 эВ. Так, у алмаза

W = 5,2 эВ у нитрида бора

W = 4,6 эВ у Al
2
O
3
–

W = 7 эВ.
У типичных полупроводников ширина запрещенной зоны менее 3 эВ. Например, у германия

W = 0,66 эВ у кремния

W = 1,12 эВ у антимонида индия

W = 0,17 эВ. Рис. 4.4 Энергетические диаграммы металла, полупроводника и диэлектрика.
4.3 Собственные полупроводники Собственная электропроводность Собственными полупроводникамиявляются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Приме-
Зона проводимости Зона проводимости Зона проводимости
W Валентная зона Валентная зона Валентная зона

W

W Металл Полупроводник Диэлектрик Запрещенная зона

82 ром собственных полупроводников могут служить химически чистые Ge, Si, а также многие химические соединения InSb, GaAs, CdS и др. Рис. 4.5 Собственная проводимость германия
6
Возникновение собственной электропроводности показано на примере германия на рис. 4.5. Большие черные кружочки – атомы германия. Маленькие черные кружочки – электроны. Черточками показаны пары атомов, которым принадлежат электроны, участвующие в ковалентных связях. Белые кружочки
– разорванные ковалентные связи, отсутствие электрона в ковалентной связи, дырка. При температуре абсолютного нуля все валентные электроны участвуют в ковалентных связях и не могут свободно перемещаться по кристаллу. Электропроводность отсутствует. При повышении температуры или при других воздействиях некоторые электроны могут получить дополнительную энергию, достаточную для разрыва ковалентной связи. Электроны покидают связь и становятся свободными в пределах кристалла (на рисунке показано стрелочками. На их месте в ковалентной связи возникает некомпенсированный положительный заряд, равный по модулю заряду электрона. Такая незаполненная (разорванная) ковалентная связь называется дыркой. Она может заполниться электроном из соседней ковалентной связи. В результате дырка будет перемещаться по кристаллу. Движение свободных электронов и дырок в отсутствии электрического поля будет хаотичным. Дырки являются квазичастицами. Они характеризуются свойствами
1. Не существуют в вакууме. В отсутствии коллектива электронов представление о дырках лишено смысла
2. Описывают поведение полупроводника во внешних электромагнитных полях
3. Не подходят для описания свойств полупроводника в гравитационных полях. Если на кристалл наложить электрическое поле, то свободные электроны электроны проводимости) будут двигаться против направления напряженности электрического поля, а дырки – по направлению напряженности электрического поля, что приведет к возникновению электрического тока. Электропроводность, возникающая в собственных полупроводниках и обусловленная движением электронов и дырок, называется собственной. Количество свободных электронов и количество дырок в собственном полупроводнике одинаковы. Поведение электронов и дырок можно описать сточки зрения энергетической диаграммы. При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости (рис. 4.6). При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. В результате тепловых забросов электронов из валентной зоны в зону проводимости в валентной зоне возникают вакантные состояния, которые как рази называются дырками. Во внешнем электрическом полена освободившееся от электрона место (дырку) может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Рис. 4.6 Генерация электронно-дырочных пар
7
В собственных полупроводниках наряду с процессом генерации электрон- но-дырочных пар идет обратный процесс рекомбинации, при котором электроны переходят из зоны проводимости в валентную зону, отдавая энергию решетке или испуская квант электромагнитного излучения. В результате процессов генерации и рекомбинации в полупроводнике приданной температуре устанавливается определенная равновесная концентрация электронов и дырок Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно n и p то
7
https://studfiles.net/html/2706/202/html_Xnv3xLWLLX.21PC/img-Tk9vm3.png

84
???? = ???? = ????
????
(4.1) где индекс i означает собственный полупроводник. Запишем закон Ома в дифференциальной форме
???? =
1
????
????⃗ = ????????⃗ , где
j

– вектор плотности тока,

– удельное сопротивление вещества,

– электропроводность (удельная проводимость) вещества,
E

– вектор напряженности электрического поля в образце. Электропроводность вещества определяется величиной заряда q носителей тока, их концентрацией n, подвижностью

. Подвижность это коэффициент пропорциональности между модулем дрейфовой скорости др носителей тока и величиной напряженности электрического поля др ????E В полупроводниках носителями тока являются отрицательно заряженные свободные электроны (электроны проводимости) и положительно заряженные дырки, имеющий одинаковый по модулю заряд, равный модулю заряда электрона. Электропроводность полупроводника определяется формулой
???? = ????
????
(???? ∙ ????
????
+ ???? ∙ ????
????
), где n – концентрация электронов проводимости, p – концентрация дырок,
????
????
– подвижность электронов проводимости,
????
????
– подвижность дырок. В чистом беспримесной полупроводнике (собственном полупроводнике) концентрации электронов и дырок равны между собой ???? = ???? = ????
????
. Исходя из формулы (4.3), в собственном полупроводнике электропроводность описывается формулой
???? = ????
????
????
????
(????
????
+ ????
????
). Особенностью полупроводников является специфическая зависимость их электропроводности от температуры. Строго говоря, от температуры зависят и концентрация, и подвижности носителей заряда. Однако во многих случаях в узком диапазоне температур зависимостью подвижностей от температуры можно пренебречь и считать подвижности постоянными, независящими от температуры. Тогда вид зависимости электропроводности от температуры будет определяться видом зависимости концентрации носителей тока от температуры. Зависимость концентрации собственных носителей от температуры описывается экспонентой
????
????
= ????
0
????
−∆???? (2????????)
⁄
,
(4.5) где
∆???? – ширина запрещенной зоны (минимальная энергия образования элек- тронно-дырочной пары, k – постоянная Больцмана, T – температура образца, n
0
– концентрация носителей при высоких температурах. Концентрация
????
0
определяется по формуле
????
0
= √????
????
∙ ????
????
,

85 где N
C
– эффективная плотность состояний в зоне проводимости, N
V
– эффективная плотность состояний в валентной зоне. Обычно соблюдается условие
????
????
≈ ????
????
, поэтому можно считать, что Исходя из (4.5), получаем формулу для
????:
???? = ????
0
????
????
(????
????
+ ????
????
)????
−∆???? (2????????)
⁄
(4.6) Обозначим ????
0
= ????
????
????
0
(????
????
+ и условно назовем это электропроводностью образца при бесконечно большой температуре. В результате получим выражение для электропроводности образца
???? = ????
0
????
−∆???? (Таким образом, зависимость электропроводности собственного полупроводника от температуры является экспоненциальной. Пример 6. При температуре 27 С находится образец, изготовленный из германия. Длина образца 10 мм, ширина и высота по 1 мм. Приданной температуре собственная электропроводность германия равна 0,02 (Ом

см)

1
. Полупроводник нагрели до 100 С. Чему станет равно сопротивление образца при этой температуре Ширина запрещенной зоны германия равна 0,67 эВ и считается постоянной в данном интервале температур. Тепловым расширением образца пренебречь. Дано Т = 27 С 300 К Т = 100 С = 373 К
l=10мм=10
-2
м
a=1мм=10
-3
м
b=1мм=10
-3
м
σ
1
=2∙10
−2
1
Ом∙см
=2
1
Ом∙м
k=1,38∙10
-
23
Дж
К
=8,62∙10
-
5
эВ
К
_________________________ Найти
R
2
- ? Решение Зависимость сопротивления от геометрических размеров и материала образца. Электропроводность приданных температурах

86
????
1
= ????
0
????
−∆???? (2????????
1
)
⁄
????
2
= ????
0
????
−∆???? (Исключим неизвестную нам электропроводность при высоких температурах (Отсюда
????
2
=
????
????
1
∙ ???? ∙ ????
∙ ????
(−
∆????
2????
(
1
????1
− Производим расчет
????
2
=
10
−2 2 ∙ 10
−3
∙ 10
−3
∙ ????
(−
0,67 2∙8,62∙10−5
(
1 300
−
1 373
))
= Ом) Ответ R
2
= 396 Ом.
1   2   3   4   5   6   7   8

4.4 Примесные полупроводники Некоторые примеси, внедренные в полупроводниковый материал, существенно изменяют его электропроводность. Донорная проводимость возникает в полупроводниках, в которых внедрены атомы примеси с валентностью, на единицу больше, чему атомов основного вещества. Примесные атомы замещают атомы основного вещества в узлах кристаллической решетки и создают ковалентные (или ионно-ковалентные) связи с окружающими их атомами основного вещества. Лишний валентный электрон примеси не участвует в создании такой связи и оказывается наиболее слабосвязанным. За счет энергии теплового движения он легко отрывается от своего атома и становится свободным электроном в пределах кристалла, способным участвовать в создании электрического тока. Поскольку ковалентные связи при этом не нарушаются, то дырки не возникают. Такой полупроводник имеет электронную проводимость и называется электронным, донорным или типа. При ионизации доноров полупроводник в целом остается электронейтральным, поскольку отрицательный заряд свободных электронов в точности равен положительному заряду ионизованных неподвижных доноров, находящихся в узлах кристаллической решетки Риса Рис. 4.7 Донорный полупроводник
8
С точки зрения зонной теории процесс ионизации донора можно представить следующим образом. Поскольку атом донора является чужеродным для данной кристаллической решетки, то его энергетический спектр оказывается отличным от спектра атомов основного вещества. Один из энергетических уровней валентного электрона донора оказывается в запрещенной зоне энергий основного вещества, причем донорный уровень оказывается расположенным близко к дну зоны проводимости (рис. 4.7, б. Энергии теплового движения может оказаться достаточно, чтобы перевести электрон с донорного уровняв зону проводимости. Образующиеся при этом положительные заряды принадлежат неподвижным ионам донора и не участвуют в электропроводности. Энергия активации донора

W
D
обычно в несколько раз меньше ширины запрещенной зоны

W, поэтому вероятность переброски электрона из валентной зоны в зону проводимости намного меньше вероятности переброски электрона с донорного уровня. Поэтому количество электронов в зоне проводимости (n
n
) на несколько порядков больше количества дырок в валентной зоне (р
п
). В донорном полупроводнике основными носителями тока являются электроны. Присутствующие в небольшом количестве дырки являются неосновными носителями заряда. Акцепторная проводимость возникает при внедрении атомов примеси с валентностью, на единицу меньшей, чему атомов основного вещества. Примесные атомы в узлах кристаллической решетки создают ковалентные связи с атомами основного вещества, при этом для создания полноценных связей, характерных для данного кристалла, у примеси не хватает одного электрона. При тепловом движении атомов примесь захватывает недостающий электрону других атомов основного вещества, разрушая ковалентную связь между атомами и создавая свою ковалентную связь с атомом основного вещества. При этом примесь превращается в отрицательно заряженный ион в кристаллической решетке, а положительно заряженная разрушенная ковалентная связь между атомами
8
http://geum.ru/next/images/238289-nomer-e73fd6f.gif

88 основного вещества (дырка) может перемещаться по кристаллу за счет разрушения других ковалентных связей и заполнения уже разорванной связи риса. Рис. 4.8 Акцепторный полупроводник
9
С точки зрения зонной теории процесс ионизации акцептора можно представить следующим образом. Поскольку атом акцептора является чужеродным для данной кристаллической решетки, то его энергетический спектр оказывается отличным от спектра атомов основного вещества. Один из энергетических уровней атома акцептора оказывается в запрещенной зоне энергий основного вещества, причем акцепторный уровень оказывается расположенным близко к потолку валентной зоны (рис. 4.8, б. Энергии теплового движения может оказаться достаточно, чтобы перевести электрон с верхнего уровня валентной зоны на уровень акцептора. В валентной зоне возникает незаполненное состояние – дырка. Образующиеся при этом отрицательные заряды принадлежат неподвижным ионам акцептора и не участвуют в электропроводности. Энергия активации донора

W
A
обычно в несколько раз меньше ширины запрещенной зоны

W, поэтому вероятность переброски электрона из валентной зоны в зону проводимости намного меньше вероятности переброски электрона из валентной зоны на уровень акцептора. Поэтому количество дырок в валентной зоне (р
р
) на несколько порядков больше количества электронов в зоне проводимости (р. В акцепторном полупроводнике основными носителями заряда являются дырки. Присутствующие в небольшом количестве свободные электроны являются неосновными носителями заряда. В примесном полупроводнике произведение концентраций свободных электронов ???? и дырок ???? при тепловом равновесии есть величина постоянная, равная квадрату концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике при той же температуре
???????? = ????
????
2
(4.8)
9
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/239/238289/238289_html_1fc5b48f.gif

89 Энергия ионизации примеси намного меньше энергии разрыва ковалентных связей между атомами основного вещества (ширины запрещенной зоны, поэтому при не слишком высоких температурах концентрация носителей заряда, появившихся за счет ионизации примеси, намного больше концентрации собственных носителей. Обычно при температурах, являющихся рабочими для большинства полупроводниковых приборов, концентрация основных носителей заряда (электронов в n – типе и дырок в p – типе) примерно равна концентрации ионизированной примеси. Из соотношения (4.8) можно определить концентрацию неосновных носителей заряда в примесном полупроводнике. Так, в донорном полупроводнике, где основными носителями заряда являются электроны с концентрацией n
n
, для концентрации дырок (p
n
) получим
????
????
=
????
????
2
????
????
(4.9) Аналогично для концентрации электронов (n
p
) в акцепторном полупроводнике с концентрацией основных носителей p
p
можно записать
????
????
=
????
????
2
????
????
(4.10)
4.5 Контакт электронного и дырочного полупроводников При контакте двух полупроводников n - и типа концентрации электронов и дырок по обе стороны от границы сильно различаются. Электроны из области
n диффундируют в область p, заполняют в ней разорванные ковалентные связи, происходит процесс рекомбинации носителей. В приконтактной области исчезают носители тока, но остаются неподвижные ионизированные примеси, создающие электрическое поле Е
к
. Это поле препятствует дальнейшей диффузии электронов. В результате получаются две электрически нейтральные области p- и типа, разделенные областью пространственного заряда, обедненной носителями (рис. 4.9). При температурах, являющихся рабочими для большинства приборов, контактную разность потенциалов в области пространственного заряда можно рассчитать по формуле
????
????
=
????????
????
????
????????
????
????
????
????
????
????
2
, где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура прибора, q
e
– элементарный заряд, N
A
– концентрация акцепторов в области, N
D
– концентрация доноров в области, n
i
– собственная концентрация носителей.

90 Рис. 4.9 р-п переход в равновесии
10
Ширина области пространственного заряда (ширина p-n перехода) в условиях равновесия может быть рассчитана по формуле
∆x=√
2εε
0
q e
(
1
N
D
+
1
N
A
) где

– относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника,

0
– электрическая постоянная. Если к области приложить положительный потенциала к области приложить отрицательный потенциал, то такая разность потенциалов называется прямым смещением. Напряженность внешнего электрического поля Е
внеш при таком смещении оказывается направленной противоположно направлению собственного электрического поля перехода Е
к
, общая напряженность уменьшается, общая разность потенциалов уменьшается, облегчается диффузия электронов из области в область. Через p-n переход течет ток, который называется прямым. Ширина области пространственного заряда уменьшается (рис.
4.10). Рис. 4.10. р-п переход при прямом смещении
10
https://studfiles.net/html/2706/811/html_AhwH4edDkS.0bvc/img-gq1JMW.png

91 Если к области приложить положительный потенциала к области приложить отрицательный потенциал, то такая разность потенциалов называется обратным смещением (рис. 4.11). Напряженность внешнего электрического поля Е
внеш при таком смещении оказывается сонаправленной с собственным электрическим полем перехода Е
к
, общая напряженность увеличивается, общая разность потенциалов увеличивается, диффузия электронов из области в область еще больше затрудняется. Через p-n переход может течь ток, обусловленный дрейфом неосновных носителей заряда (электронов из области и дырок из области, который на несколько порядков меньше прямого тока и называется обратным. Ширина области пространственного заряда увеличивается. Рис. 4.11 р-п переход при обратном смещении Ширина области пространственного заряда при наличии электрического смещения может быть рассчитана по формуле
∆???? = √
2εε
0
q e
(
1
N
D
+
1
N
A
) ∙(φ
k
∓ ????),
(4.11) где знак минус берется для прямого смещения U, а знак плюс берется для обратного смещения U.
ВАХ идеального p-n перехода описывается формулой
???? = ????
0
∙ (????
±
????????????
????????
− 1),
(4.12) где I
0
– величина силы тока при достаточно большом обратном смещении, знак плюс берется для прямого смещения U, а знак минус берется для обратного смещения U (рис. 4.12).

92 Рис. 4.12 ВАХ идеального p-n перехода Пример 7 При обратном напряжении 60 В величина тока через кремниевый p-n переход равна 0,5 мкА. Чему равна сила тока через этот p-n переход при прямом напряжении 0,3 В Температура p-n перехода 300 К. Дано
????
обр
= 60В
????
обр
= мкА = 5 ∙ 10
−7
А
????
пр
= В
_______________________ Найти пр -? Решение
ВАХ идеального p-n перехода описывается формулой
???? = ????
0
∙ (????
±
????????????
????????
− 1) Определим I
0
, учитывая, что знак обратного тока – отрицательный.
????
0
=
????
обр
(????
−
????????????
????????
− 1)
=
−5 ∙ 10
−7
(????
−
1,6∙10−19∙60 1,38∙10−23∙300
− 1)
≈ 5 ∙ Определим искомую величину прямого тока
???? = ????
0
∙ (????
????????????
????????
− 1) = 5 ∙ 10
−7
∙ (????
1,6∙10−19∙0,3 1,38∙10−23∙300
− 1) = Ответ 55 мА

93
5. РГР № 2 Вариант 1
1. В опыте Юнга вначале рассматривается излучение с длиной волны λ
1
= 0,7 мкм, а затем с λ
2
. Определите значение длины волны λ
2
, если шестая светлая полоса в первом случае совпадает с девятой темной полосой во втором случае. Рисунком поясните схему опыта Юнга, укажите на рисунке распределение интенсивности света на экране. Опыт проводится в вакууме. (
????
2
= 494 нм)
2. Красная граница фотоэффекта рубидия λ
0
=0,81 мкм. Определить скорость фотоэлектронов при облучении рубидия монохроматическим светом с длиной волны λ=0,4 мкм. Какую задерживающую разность потенциалов з надо приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок. Насколько изменится задерживающая разность потенциалов з при увеличении длины волны падающего света на Δλ=200 нм Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения и задерживающий потенциале мс з 1,57 В з 1,1 В)
3. Свободный электрон, имея кинетическую энергию 15 эВ, неупруго столкнулся с атомом водорода, находящимся в основном состоянии, и отскочил от него, потеряв часть энергии. Энергия электрона после столкновения оказалась 2.91 эВ. Определить длины волн, которые может излучить атом водорода после столкновения с электроном. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней все переходы между уровнями, которые могут произойти после столкновения. (
????
1
= 102,3 нм ????
2
= 121,2 нм ????
3
= 654,5 нм)

94 Вариант 2
1. Вертикально-расположенная мыльная пленка образует клин, угол которого составляет 25 секунд (25
"
). В отражённом свете наблюдаются полосы равной толщины. Длина волны монохроматического света равна 650 нм, что соответствует красному цвету. Показатель преломления пленки n = 1,33. Сколько красных полос наблюдается на участке длиной 1 см. Свет на поверхность клина падает нормально. Изобразите ход лучей в клине, рисунком поясните, какие лучи интерферируют в этом случае. (N=5)
2. При освещении катода светом с длиной волны сначала λ
1
=440 нм, а затем
λ
2
=680 нм обнаружили, что запирающий потенциал изменился в 3 раза. Определить работу выхода электрона из катода. Сравните скорости электронов Vm
1 и V
m2
, с которыми они вылетают из катода. Изобразите на рисунке вольтампер- ную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (
А
в
= 1,33 эВ
????
????1
????
????2
= 1,73)
3. Атомарный водород, находящийся в основном состоянии, облучается монохроматическим светом с энергией 15 эВ. Электроны, вылетающие из атомов в результате ионизации, попадают в магнитное поле с индукцией 1 мТл перпендикулярно линиям индукции. Определить радиус окружности, по которой движутся электроны. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода на отдельном рисунке изобразите движение электронов в магнитном поле. (
???? = 4 мм)

95 Вариант 3
1. Естественный свет силой 20 кд падает по нормали на поляризатор и анализатор (Рис. 5.1), угол между главными плоскостями которых составляет α = 37 0
, а поглощение светового пучка в каждом из них составляет k. После прохождения системы поляризатор – анализатор, световой пучок падает по нормали на зеркало и, отразившись, вновь проходит через систему анализатор – поляризатор в обратном направлении и выходит из поляризатора. Считая, что интенсивность светового пучка, выходящего из поляризатора составляет 9 % от входящего в поляризатор, определите 1) силу света падающего на зеркало I
2
; 2) коэффициент поглощения k. (
????
2
= 4,24 кд; k = 0,1844) Рис. 5.1 П – поляризатор, А – анализатор, З – зеркало, I
e
– интенсивность естественного света на входе в поляризатор, I
1
– интенсивность света после прохождения поляризатора, I
2
– интенсивность света, падающего на зеркало, I – интенсивность света выходящего из поляризатора. При нагревании абсолютно черного тела его температура изменилась от Т К до Т =2000 К. Во сколько раз изменилась при этом 1) его энергетическая светимость э 2) максимальная излучательная способность r
λm
; 3) насколько изменилась длина волны λ
m
, на которую приходится максимум излучательной способности этого тела, увеличится или уменьшится Рисунком поясните график распределения энергии излучательной способности в спектре излучения абсолютно чёрного тела, укажите для данных температур положение
λ
m1 и λ
m2
. (
????
2Э
????
1Э
= 16;
????
????????2
????
????????1
= 32; ∆???? = 1,45 мкм)
3. Атомарный водород, находящийся в первом возбужденном состоянии, переходит в основное состояние, испуская фотон. Этот фотон попадает на поверхность калиевого фотокатода и вызывает фотоэффект. Чему равна максимально возможная скорость фотоэлектрона Работа выхода калия 2.15 эВ. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней переход, соответствующей данной задаче. (
????
????
= 1,688 ∙ 10 6 мс ПАЗ Вариант 4
1. На щель шириной 0,05 мм падает нормально монохроматический свет. Под углом 2 0
наблюдается минимум четвертого порядка. Найти угловую ширину центрального максимума ∆????. Рисунок оптической схемы обязателен. Покажите на рисунке распределение интенсивности света на экране, выделите угловую ширину центрального максимума ∆????. (∆???? = 1 0
)
2. Красная граница фотоэффекта λ
0
= 0,62 мкм. Определить длину волны λ
1
света, падающего на катод, если задерживающее напряжение U
з1
=1В. Во втором опыте длина волны света, падающего на катод λ
2
= 0,7 λ
1
. Сравните во сколько раз будут отличаться задерживающие напряжения (з из) и максимальные скорости, с которыми вылетают электроны из катода (V
m1
ив этих опытах. Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (
????
1
=
414 нм
????
з2
????
з1
= 2,3;
????
2
????
1
= 1,51)
3. Атомарный водород, находящийся в основном состоянии, облучается монохроматическим светом с длиной волны 88,6 нм и ионизируется. Электроны, вылетающие из атомов в результате ионизации, попадают в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и начинают двигаться по окружности радиусом мм. Определить величину индукции магнитного поля ????. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода на отдельном рисунке изобразите движение электронов в магнитном поле. (
???? = 2,13 мТл)

97 Вариант 5
1. Параллельный пучок света с длиной волны λ = 643,8 нм падает по нормали на пластинку из кристалла кварца вполовину длины волны перпендикулярное оптической оси. Показатели преломления для необыкновенного и обыкновенного лучей составляют соответственно
????
????
= 1,5514 и ????
????
= 1,5423. Определить
1) длины волн этих лучей в кристалле 2) минимальную толщину пластинки 3) разность фаз между необыкновенными обыкновенным лучами на выходе из пластинки 4) уравнение колебаний светового вектора для луча на выходе из пластинки. Обосновать, какой тип поляризации будет наблюдаться у луча на выходе из пластинки. Изобразите на рисунке ход для необыкновенного и обыкновенного лучей, покажите тип поляризации этих лучей. (
????
????
= 415 нм о нм ????
????
= 35,4 мкм Ф = ????; ????
????????
= −
????
????
????
????
????
????????
)
2. Работа выхода электрона из металла А
в
= эВ. Поверхность металла облучается фотонами с длиной волны λ= 0,4 мкм. Определить задерживающее напряжение з для этого опыта. Найти максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона (р пов
). Во сколько раз отличается этот импульс от импульса фотона (р ф, который падает на поверхность. Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (з В ????
пов
= 5,677 ∙ кг мс
????
пов
????
ф
= 342,5)
3. Атомарный водород, находящийся в основном состоянии, облучается монохроматическим светом с длиной волны 121,56 нм и переходит в возбужденное состояние. Определить радиус
???? боровской орбиты этого возбужденного состояния. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней все переходы из возбужденного в основное состояние, включая промежуточные переходы. (
???? = 0,212 нм)

98 Вариант 6
1. Монохроматический свет падает нормально на щель шириной 10 мкм. За щелью находится тонкая линза с оптической силой 4Дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Найти длину волны света ????, если расстояние между симметрично расположенными минимумами второго порядка равно 6 см. Приведите рисунок для схемы установки. Изобразите дифракционную картину интенсивности света на экране. Пронумеруйте все дифракционные максимумы и минимумы на экране. (
???? = 0,6 мкм)
2. Температура абсолютно черного тела увеличилась в 1,5 раза, в результате чего длина волны λ
m
, на которую приходится максимум энергии излучения, изменилась на Δλ
m
= 800 нм. Определить начальную Т и конечную Т температуру тела. Во сколько разв результате нагревания изменилась тепловая мощность, излучаемая телом Рисунком поясните график распределения энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела, укажите для данных температур положение
λ
m1 и λ
m2
. (Т 1208 К Т 1812 КР Р 5)
3. Атомарный водород, находящийся в некотором возбужденном состоянии, переходит в основное состояние. При этом радиус боровской орбиты уменьшается враз. Определить все длины волн ????
????
, излучаемые при переходе из первоначального состояния в основное, имея ввиду, что переход в основное состояние может происходить через промежуточные состояния. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней все переходы из возбужденного в основное состояние, включая промежуточные переходы.
(
????
1
= 654 нм ????
2
= 121 нм ????
3
= 102 нм )

99 Вариант 7
1. Расстояние между экраном и дифракционной решеткой равно 42,0 см. Если дифракционная решетка освещается желтой линией натрия (λ
1
= 589 нм, то максимум первого порядка на экране отстоит от центрального пикана расстоянии см. Другой источник создает максимум первого порядка, отстоящий на
2,0 см от центрального максимума. Какова его длина волны λ
2
? Изобразите на рисунке дифракционную картину интенсивности света на экране для длин волн
λ
1 и λ
2
, выделив разными цветами эти длины волн. (
????
2
= 476 нм)
2. Определить работу выхода электронов из натрия (
А
в
,эВ), если красная граница фотоэффекта λ
0
= 500 нм. Чему равна кинетическая энергия вылетевшего электрона (кэВ, если натрий облучать светом с λ = 0,35 мкм. Найти значение задерживающего напряжения (з) при таком облучении. Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (
А
в
= 2,48 эВ кэВ з 1,07 В)
3. В покоящемся атоме водорода электрон перешёл с пятого энергетического уровняв основное состояние. Какую скорость а приобрёл атом за счет испускания фотона Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней переход, соответствующей данной задаче. (а 4,19 мс)

100 Вариант 8
1. Дифракционная решетка шириной 10 мм содержит 5000 штрихов. Определить полное число максимумов ????
????????????
, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки для длины волны 0,6 мкм. Определить угол
????
????????????
, соответствующий последнему максимуму. Изобразите на рисунке дифракционную картину интенсивности света на экране, пронумеруйте все главные дифракционные максимумы, покажите на рисунке угол
????
????????????
. (
????
????????????
= 7; ????
????????????
= 64,16 0
)
2. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, надо приложить задерживающее напряжение з В. Если платиновую пластинку заменить другой пластинкой, то задерживающее напряжение нужно увеличить доз В. Определить работу выхода А электронов с поверхности этой пластинки (в эВ. Работа выхода электронов для платины А = 5,3 эВ. Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (А 3 эВ)
3. Возбужденный атом водорода при переходе в основное состояние испустил два кванта, последовательно, с длинами волн 4,051 мкм и 97,25 нм. Определите энергию ???? первоначального состояния данного атома и радиус ???? боровской орбиты для этого состояния. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней переходы, соответствующие данной задаче.
(
???? = −0,544 эВ ???? = 1,325 нм

101 Вариант 9
1. Сосуд с глицерином закрыт стеклянной (тяжелый крон) крышкой, представляющей собой плоскопараллельную пластину. Сосуд помещен вводу (Рис. 5.2). Луч света, проходящий через воду, падает на стекло. Каков угол падения света
???? на стеклянную крышку, если свет, отраженный от глицерина, является максимально поляризованным Решение обязательно сопровождать рисунком, на котором указать ход лучей. (п
глицерина
=1,47, п
стекла
=1,65, п
воды
= 1,33)
(
???? = 44,76 Рис. 5.2 К задаче 1, Вариант 9.
2. Какая доля энергии фотона
???? израсходована на работу вырывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта λ
0
=307 нм, а максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна 1 эВ. Определите задерживающее напряжение з при заданном освещении. Изобразите на рисунке вольтамперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения низа- держивающий потенциал з. (
???? = 0,8; з 1 В)
3. Возбужденный атом водорода имеет радиус 0,848 нм. При переходе в основное состояние он испустил два кванта. Длина волны первого кванта равна
484,8 нм. Определите длину волны, энергию и импульс второго кванта. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней переходы, соответствующие данной задаче. (
????
2
= 121,2 нм ???? = 10,25 эВ ???? =
0,547 ∙ кг мс

102 Вариант 0 Дифракционная решетка, имеющая 500 штрихов на 1 мм, имеет ширину 2 см. На нее нормально падает свет с длинами волн
????
1
= 550 нм и неизвестной Определить минимальное различие между
????
1
и
????
2
, если их необходимо разрешить в любом порядке В каком порядке н достигается наилучшее разрешение Изобразите на рисунке дифракционную картину интенсивности света на экране, пронумеруйте все главные дифракционные максимумы, которые могут быть видны на экране. (
∆???? = 0,055 нм н 3)
2. Уединенный цинковый шарик облучается светом с длиной волны λ=200 нм. Определить 1) с какой наибольшей скоростью ????
????
будут вылетать электроны из шарика 2) до какого максимального потенциала
????
????
зарядится шарик, теряя фотоэлектроны. Работа выхода для цинка 4 эВ. Изобразите на рисунке вольт- амперную характеристику фотоэффекта (ВАХ); покажите на ВАХ ток насыщения ни задерживающий потенциал з. (
????
????
= 8,82 ∙ 10 5 мс В. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны
96,97 нм. Вычислите, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода и скорость электрона на этой орбите. Изобразите на рисунке энергетическую диаграмму атома водорода, покажите на ней все переходы из возбужденного в основное состояние, включая промежуточные переходы. (
???? = нм ???? = 0,544 ∙ 10 мс

103 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1 – Фундаментальные физические величины
№ п п Величина Обозначение. Значение
1. Магнитная постоянная

0 4

·10

7
Гн/м
2. Электрическая постоянная

0 8,85418782·10
-12
Ф/м
3. Скорость света в вакууме с
299792458 мс ≈ 3·10 мс
4. Элементарный заряде Кл
5. Постоянная Планка h
6,626176·10
-34
Дж·с Постоянная Планка редуцированная
1,0545887·10
-34
Дж·с
6. Число Авогадро А 23
моль 7. Атомная единица массы а.е.м.
1,6605655·10
-27
кг
8. Энергетический эквивалент одной а.е.м.
931,5016 МэВ
9 Масса покоя масса электрона е кг
5,4858026·10
-4
а.е.м.
10 масса мюона m

1,883566·10
-28
кг
0,11342920 а.е.м.
11 масса протона m
p
1,6726485·10
-27 кг
1,007276470 а.е.м.
12 масса нейтрона m
n
1,6749543·10
-27 кг
1,008665012 а.е.м.
13. Удельный заряд электрона е e
1,7588047·10 11
Кл

кг
14. Число Фарадея
F
9,648456·10 4
ККл/моль
15. Постоянная Ридбергам. Боровский радиус a
0 5,2917706·10
-11
м
17 Комптоновская длина волны электрона км протона км. Магнетон Бора Б Дж/Т
20. Ядерный магнетон яд Дж/Т
21 Магнитный момент электрона е Дж/Т
22 протона

p
1,4106171·10
-26
Дж/Т
23. Газовая постоянная
R
8,31441 Дж/(моль·К)
24. Объем 1 моля идеального газа
V
0 2,241383·10
-2
ммоль
25. Постоянная Больцмана k
1,380662·10
-23
Дж/К

104
№ п п Величина Обозначение. Значение
26. Постоянная
Стефана-
Больцмана

5,67032·10
-8
Вт/(м
2
·К
4
)
27. Гравитационная постоянная
G
6,6720·10
-11
Н·м
2
/кг
2 28. Квант магнитного потока

0 2,0678506·10
-15
Вб

105 ЛИТЕРАТУРА
1.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В и тт. Том 1. Механика учебное пособие / ИВ. Савельев. — Санкт-Петербург: Лань, 2011. — 352 с.
2.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В и тт. Том 2. Электричество и магнетизм учебное пособие / ИВ. Савельев. — Санкт-Петербург: Лань, 2011.
— 352 с.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В и тт. Том 3. Молекулярная физика и термодинамика учебное пособие / ИВ. Савельев. — Санкт-Петербург: Лань, 2011. — 224 с.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В и тт. Том 4. Волны. Оптика учебное пособие / ИВ. Савельев. — Санкт-Петербург: Лань, 2011. — 256 с.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В и тт. Том 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц учебное пособие / ИВ. Савельев. — Санкт-Петербург: Лань, 2011. —
384 с. Трофимова Т.И. Курс физики учеб. пособие для вузов. – М Издательский центр Академия, 2007. – 560 с.
7. Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики учеб. пособие / Т.И.
Трофимова. – М Высш. шк, 2008. – 404 с.
8.
Трофимова, Т. И. Физика Текст : учебник / Т. И. Трофимова. – М Академия, 2012. – 316 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В х тт. Том 1. Механика учебное пособие / ИВ. Савельев. — М Наука, 1988. – 304 с
2.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В х тт. Том 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика учебное пособие / ИВ. Савельев. — М Наука,
1988. – 496 с.
3.
Савельев, ИВ. Курс общей физики. В х тт. Том 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц учебное пособие / ИВ. Савельев. — М Наука, 1988. – 304 с.
4. Лисейкина, ТА. Курс физики. Раздел 1. Механика Электронный ресурс учеб. пособие / ТА. Лисейкина, ТЮ. Пинегина, А. Г. Черевко ; Сиб. гос. унт телекоммуникаций и информатики. – Электрон. дан. (1 файл. – Новосибирск СибГУТИ, 2007. – 122 с.
5. Лисейкина, ТА. Курс физики. Раздел шестой. Статистическая физика и термодинамика Электронный ресурс : учеб. пособие / ТА. Лисейкина, ТЮ.
Пинегина, А. Г. Черевко ; Сиб. гос. унт телекоммуникаций и информатики. – Электрон. дан. (1 файл. – Новосибирск : СибГУТИ, 2013. – 122 с. Лубский В.В., Грищенко ИВ. Волновые свойства электромагнитного поля Лабораторный практикум по физике/СибГУТИ. – Новосибирск, 2018 гс. Черевко
А.Г.,
Гулидов АИ. Физика конденсированного состояния. Лабораторный практикум Методическое пособие. – Новосибирск
СибГУТИ, 2017. –129 с.
1   2   3   4   5   6   7   8

Смотрите также файлы