Файл: Лекция Группы.pdf

Лекция 1. Группы.
Понятие бинарной операции
Пусть G – непустое множество. Бинарной алгебраической операцией на множестве G называется всякое правило, по которому каждой упорядоченной паре (a, b) элементов a, b ∈G ставится в соответствие один вполне определенный элемент c ∈ G.
Чтобы подчеркнуть тот факт, что для всех элементов a, b ∈G результат бинарной операции принадлежит множеству G, говорят, что множество G замкнуто относительно данной бинарной операции.
Обычно операции обозначаются знаками ∗, ×,

, , +, − и т. п. Воспользуемся первым из обозначений операции, тогда c = a*b.
На данном множестве G может быть задано, вообще говоря, много различных операций. Желая выделить одну или несколько из них, используют скобки (G,*) и говорят, что операция * определяет на G алгебраическую
структуру или что (G,*) – алгебраическая система.
Пример. Так, на множестве целых чисел Z сложение, вычитание, умножение являются бинарными операциями и определяют различные алгебраические структуры (Z,+), (Z,−), (Z,×).
Можно также рассмотреть другие алгебраические структуры (Z, ), (Z,

), введя новые бинарные операции на множестве Z равенствами a b = a + b − ab; a

b = −a − b.
Алгебраические системы различают по операциям и свойствам этих операций.
Бинарная операция * на множестве G называется коммутативной, если a *b = b * a для всех a, b∈G.
Бинарная операция * на множестве G называется ассоциативной, если (a *b) *c = a *(b *c) для всех a, b, c
∈G.
Пример. Операции сложения и умножения на множестве целых чисел Z являются коммутативными и ассоциативными.
Операция вычитания на Z не является ни коммутативной, ни ассоциативной.
Можно показать, что введенная в примере операция коммутативна и ассоциативна.
Операция

коммутативна, но не ассоциативна.

Пример. Рассмотрим множество M
n
(R) всех квадратных матриц порядка n>1 с операциями сложения и умножения матриц.
Операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна.
Операция умножения матриц является ассоциативной, но не является коммутативной.
Элемент e ∈G называется единичным (или нейтральным) относительно бинарной операции *, если e * a = a
*e = a для всех a
∈G.
Если нейтральный элемент существует, то он единственен.
Пример. Число 0 – нейтральный элемент относительно сложения на множестве целых чисел Z.
Число 1 – нейтральный элемент относительно умножения в Z.
Операция вычитания на множестве Z не имеет нейтрального элемента.
Множество G с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с единичным элементом называется моноидом (или полугруппой с единицей).
Понятие группы
Группой называется непустое множество G с определенной на нем бинарной алгебраической операцией *, которая обладает свойствами:
1) (a *b) *c = a *(b *c) для любых a, b, c
∈G (ассоциативность);
2) существует нейтральный (единичный) элемент, т. е. такой элемент e∈G, что e * a = a *e = a для каждого a∈G;
3) каждый элемент a∈G имеет обратный, т. е. такой элемент b∈G, что a *b = b * a = e.
Для любого элемента группы обратный элемент единственен.
Группы относительно операции сложения обычно называют аддитивными группами, при этом нейтральный элемент называют нулем и обозначают символом 0, а обратный к a элемент – противоположным и обозначают −a. Группы относительно операции умножения обычно называют мультипликативными группами, нейтральный элемент мультипликативной группы часто называют единицей, а обратный к a элемент обозначают a
−1
Группа с коммутативной операцией называется коммутативной или абелевой группой.

Пример. Примерами аддитивных абелевых групп являются:
1) (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – множества целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел с операцией сложения;
2) (Z
m
,+) – множество целых чисел, делящихся на m с операцией сложения;
3) (M
m×n
(R),+) – множество прямоугольных матриц размера m×n (m, n
∈N – фиксированные числа) с вещественными элементами относительно операции сложения матриц;
4) (V
n
(R),+) – множество n-мерных векторов с вещественными компонентами относительно операции сложения
( n
∈N – фиксированное число) и др.
Пример. 1) Примерами мультипликативных абелевых групп являются (Q*,×), (R*,×), (C*,×) – множества рациональных, вещественных, комплексных чисел без нуля;
2) множество Z*
m целых чисел, делящихся на m и взаимно простых с m, с операцией умножения – мультипликативная абелева группа;
3) мультипликативная группа GL
n
(R) (General Linear Group – полная (общая) линейная группа) – множество квадратных матриц порядка n ≥ 2 с вещественными элементами и ненулевым определителем с операцией матричного умножения – не является абелевой, так как произведение матриц не коммутативно.
По количеству элементов группы делятся на конечные и бесконечные.
Число элементов конечной группы G называется порядком группы и обозначается |G|.
Пример. 1) Группы (Z
m
,+), (Z*
m
,×) являются конечными, |Z
m
| = m, |Z*
m
|= ϕ(m).
2) Множество (V
n
(R),+) всех n-мерных векторов с вещественными компонентами с операцией сложения – бесконечная абелева группа.
3) Для каждого натурального n существует абелева группа порядка n. Например, группа (Z
n
,+).
В конечных группах удобно задавать алгебраическую операцию с помощью таблицы Кэли.

Подгруппы
Непустое подмножество H группы G называется подгруппой этой группы, если H само является группой относительно той же бинарной алгебраической операции.
Пример. В любой группе G подмножество {e} из одного нейтрального элемента е этой группы и сама группа G являются подгруппами. Такие подгруппы называются тривиальными. Подгруппы группы G, отличные от тривиальных подгрупп {e} и G, называются собственными подгруппами.
Пример. 1) (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+);
2) (Q*,×)
⊂ (R*,×) ⊂ (C*,×);
3) (Z,+)
⊃ (2Z,+) ⊃ (4Z,+) ⊃ (8Z,+) ⊃...⊃ (2kZ,+) ⊃..., где nZ = ={nq : q∈Z}, k ∈N.
Теорема (критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы (G,*) является подгруппой тогда и только тогда, когда для произвольных a, b ∈H произведение a*b
−1
∈H.
Пример. С помощью критерия легко убедиться, что SL
n
(R) (Special Linear Group – специальная линейная группа)
– подмножество квадратных матриц порядка n с определителем, равным 1, образует подгруппу в GL
n
(R).

Циклические группы
Теорема. Пусть а – фиксированный элемент группы G. Тогда множество всевозможных целых степеней элемента а является подгруппой группы G, причем эта подгруппа абелева.
Замечание. Под k-той степенью элемента группы понимается k-кратное применение бинарной операции группы к этому элементу, если k > 0, и к его обратному элементу, если k < 0 :
При этом в силу ассоциативности бинарной операции группы
Подгруппа < a > называется циклической подгруппой, порожденной элементом а.
Группа G называется циклической, если найдется такой элемент b ∈G, что G = < b >, элемент b в этом случае называется образующим.
Пример. 1) Группа (Z,+) является бесконечной циклической группой с образующим 1 или −1;
2) (Z
m
,+) – циклическая группа, порожденная элементом
1
или
1

;
3) группа (Z*
m
,×) является циклической тогда и только тогда, когда по модулю m существует первообразный корень.
Теорема. Всякая циклическая группа абелева.
Теорема. Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

Порядок элемента группы
Натуральное число n называется порядком элемента a∈G, если a n
=e и a k
≠ e для всех натуральных k,1≤ k < n. Если a k
≠ e при всех натуральных k, то элемент a
∈G называется элементом бесконечного порядка.
Пример. 1) Элемент 1 в группе (Z,+) имеет бесконечной порядок.
2) Элемент
1
в группе (Z
m
,+) имеет порядок m.
Теорема. Если a∈G имеет порядок n, то циклическая подгруппа < a > имеет порядок n и
Пример. 1) Рассмотрим группу < A>, порожденную матрицей
Здесь т. е. степени матрицы А попарно различны и образуют бесконечную последовательность. Таким образом, циклическая подгруппа, порожденная матрицей А в группе GL
2
(R), является бесконечной.
2) Матрица H ∈GL
2
(R) вида имеет степени где E − единичная матрица. Согласно теореме, подгруппа < H > − конечная подгруппа порядка 4.
Замечание. Отметим, что чаще группы не являются циклическими. Например, все некоммутативные группы не могут быть циклическими.

Смежные классы
Пусть H – собственная подгруппа группы G и a∈G. Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество aH ={a * h : h
∈H}.
Аналогично, правым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество
Ha ={h * a : h
∈H}.
Элемент a называется представителем соответствующего смежного класса aH или Ha.
Рассмотрим свойства смежных классов на примере левых смежных классов. Аналогичные результаты справедливы относительно правых смежных классов.
Подгруппа H также является одним из смежных классов, причем никакой другой смежный класс не является подгруппой.
Теорема. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Тогда
1) каждый элемент g∈G принадлежит какому-нибудь левому смежному классу по подгруппе H;
2) два элемента a, b∈G принадлежат одному левому смежному классу тогда и только тогда, когда a
−1
*b
∈H;
3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают;
4) для всякого a∈G мощности множеств aH и H совпадают;
5) G есть объединение попарно непересекающихся левых смежных классов по подгруппе H.
Итак, группа G может быть представлена в виде объединения непересекающихся левых (соответственно, правых) смежных классов:
G = H
∪g
1
H
∪g
2
H
∪...; G = H ∪Hg
1
∪Hg
2
∪... .
Множество левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H обозначают G / H :

Пример. 1) Рассмотрим в группе (Z,+) подгруппу четных чисел H = 2Z. Тогда имеем два смежных класса: 2Z и
1+ 2Z – множества четных и нечетных чисел.
2) Аналогично можно рассмотреть в группе (Z,+) подгруппу чисел, кратных m: H = mZ = {mz : z∈Z}. Тогда имеем m смежных классов, представляющих собой классы вычетов по модулю m. Соответственно, множество смежных классов – это множество классов вычетов: G / H = Z / Z
m
Теорема. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Тогда количество левых смежных классов совпадает с количеством правых смежных классов.
Количество (мощность множества) всех различных левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается G:H.
Теорема. Порядок конечной группы равен произведению порядка и индекса любой ее подгруппы:
|G|=G:H
⋅| H |.
Следствие 1 (теорема Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.
Следствие 2. Если G – конечная группа из n элементов, то a n
=e для каждого a
∈G. Порядок элемента группы делит порядок группы.
Любая группа простого порядка является циклической и не содержит собственных подгрупп.
Если G – абелева группа, a, b∈G и их порядки равны m и n соответственно. Тогда
1) если (m, n) =1, то элемент a*b∈G имеет порядок mn;
2) если (m, n) = d >1, то в группе G найдется элемент порядка [m,n].

Нормальные подгруппы
Подгруппа H группы G называется нормальной, если для всякого a∈G имеет место aH = Ha, т. е. каждый левый смежный класс по подгруппе H совпадает с правым смежным классом. В этом случае пишут H G.
Ясно, что у абелевых групп все подгруппы нормальные.
Теорема. H G тогда и только тогда, когда для каждого a∈G имеетместо aHa
−1
= H (для каждого a
∈G для всех h
∈H элемент a*h*a
−1
∈H).
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Пусть (G1,∗) и (G2, ) – две группы (в каждой группе определена своя операция ∗ или ).
Всякое отображение f :G1→G2, сохраняющее операцию, т. е. обладающее свойством f (a *b) = f (a) f (b) для всех a, b∈G1, называется гомоморфизмом из G1 в G2.
Образом группы G1 при гомоморфизме f :G1→G2 называется множество Im f ={ f (a)∈G2 :a∈G1}.
Ядром гомоморфизма f :G1→G2 называется множество Ker f ={a∈G1 : f (a) = e2}, где e2 – нейтральный элемент группы (G2, ).
Свойства гомоморфизмов групп
1. Если f :G1 →G2 – гомоморфизм групп, то:
1) f (e1) = e2, т. е. при гомоморфизме нейтральный элемент первой группы переходит в нейтральный элемент второй группы;
2) f (a
−1
) = ( f (a))
−1
для всех a
∈G1, т. е. образ обратного элемента при гомоморфизме есть обратный элемент к образу.
2. Im f – подгруппа группы G2 : Im f
⊆ G2.
3. Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы G1 : Ker f G1.
Взаимно однозначное отображение f :G1→G2, сохраняющее операцию, т. е. обладающее свойством f (a *b)
= f (a) f (b) для всех a, b
∈G1, называется изоморфизмом групп G1 и G2. Изоморфные группы обозначают G1
≅G2.
В математике изоморфные объекты считаются одинаковыми. Основная цель теории групп – классифицировать все группы с точностью до изоморфизма.
Теорема. Все циклические группы одного и того же порядка изоморфны.