Файл: Лабораторная работа обработка результатов прямых и косвенных измерений цель работы.pdf

12
n
x
x
x



,...,
,
2 1
должны быть взяты при одинаковой довери- тельной вероятности P
1
= P
2
= ... = P
n
= P. В этом случае довери- тельная вероятность для доверительного интервала Δу будет тоже P.
Формулу (11) используют в случае, если функция


n
х
х
x
f
у
,...
,
2 1

имеет вид суммы или разности аргументов.
Формулу (12) удобно применяют в случае, если функция


n
х
х
x
f
у
,...
,
2 1

имеет вид произведения или частного аргу- ментов.
Часто систематическая и случайная ошибки близки друг к другу и обе в одинаковой степени определяют точность резуль- тата. В этом случае общую ошибку


находят как квадратич- ную сумму случайной Δ и систематической

ошибок с веро- ятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки
2 2






(13)
Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно по- думать о последующих расчетах и выписать формулы, по кото- рым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тща- тельно, а на какие не нужно тратить больших усилий.
При обработке результатов косвенных измерений
предлагается следующий порядок операций:
1. Все величины при прямых измерениях обработать в со- ответствии с правилами обработки результатов прямых измере- ний. При этом для всех измеряемых величин необходимо задать одно и то же значение доверительной вероятности P.
2. Оценить точность результата косвенных измерений по формулам (9) – (12), где производные вычислить при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппи- ровать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и

13 выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по
модулю.
3. Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложить их по правилу сложения оши- бок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросить.
4. Результат измерения записать в виде формулы
у
у
у



5. Определить относительную погрешность результата се- рии косвенных измерений
%
100
у
у



Приведем пример расчета ошибки косвенного измерения.
Пример. Находим объем цилиндра по формуле
4 2
h
d
V


,
(14) где d – диаметр цилиндра; h – высота цилиндра.
Обе эти величины определяем непосредственно. Пусть измерение этих величин микрометром дало следующие резуль- таты: d = (4,01 ± 0,03) мм , h = (8,65 ± 002) мм, при одинаковой доверительной вероятности Р = 0,95.
Среднее значение объема согласно (14) равно


19
,
109 4
65
,
8 01
,
4 14
,
3 2




V
мм
3
Используя выражение (14) имеем
4
ln ln ln
2
ln ln





h
d
V

14
d
d
V
2
ln



,
h
h
V
1
ln



Тогда, согласно формуле (12), найдем абсолютную по- грешность измерения объема
2 2
2





 






 



h
h
d
d
V
V
или
65
,
1 65
,
8 02
,
0 01
,
4 03
,
0 2
19
,
109 2
2













 



V
мм
3
Так как измерения производили с помощью микрометра, цена деления которого 0.01мм, систематические ошибки составили
01
,
0




h
d
мм. На основании (10) систематическая ошибка
V

будет
67
,
0 65
,
8 01
,
0 01
,
4 01
,
0 2
19
,
109 2























h
h
d
d
V
V
мм
3
.
Систематическую ошибку можно сравнить со случайной, следовательно
  

2 78
,
1 67
,
0 65
,
1 2
2





V
мм
3
Таким образом, результат измерения составляет
V = (109 ± 2) мм
3
при P = 0,95, а относительная погрешность

15
%
2
%
100 109 2
%
100





V
V

.
5. Получить у преподавателя индивидуальное задание на
выполнение работы.
Каждая бригада студентов получает деталь цилиндриче- ской формы и измерительное средство – штангенциркуль.
6. Определить объем детали цилиндрической формы.
6.1. Измерить диаметр и длину цилиндрического тела.
Диаметр и длину цилиндрического тела измеряют штан- генциркулем. Для более полного учета случайных погрешностей диаметр и длину измерить в 5 разных местах цилиндрического тела.
6.2. Вычислить средние значения диаметра
D
, длины
L
цилиндрического тела по формуле (1).
6.3. Найти абсолютные погрешности отдельных измере- ний
i
d

и
i
L

по формуле (2).
6.4. Рассчитать выборочное среднее квадратическое от- клонение результата измерений
X
S
и выборочное среднее квад- ратическое отклонение среднего арифметического
X
S
по фор- мулам (5) и (6).
6.5. Задавая значение доверительной вероятности Р=95%, по табл.1 найти значение доверительного интервала и опреде- лить абсолютные погрешности измерения диаметра и длины цилиндрического тела.
6.6. Сравнить абсолютные погрешности с аппаратурной погрешностью и представить окончательный результат измере- ния диаметра и длины тела в таблице бланка отчета.

16 6.7. Оценить относительную погрешность серии измере- ний и представить результаты в таблице бланка отчета.
6.8. Рассчитать среднее значение объема цилиндрического тела по формуле
4
/
2
L
D
V




При вычислении среднего объема для исключения дополни- тельной ошибки при округлении числа

следует взять не менее
5 значащих цифр, т.е.

=3,1416.
6.9. Найти абсолютную погрешность (случайную ошибку) среднего значения объема по формуле (12).
6.10. Найти относительную погрешность косвенного из- мерения объема цилиндрического тела по формуле (10).
6.11. Сравнить систематическую ошибку со случайной и рассчитать общую ошибку по формуле (13).
6.12. Найти относительную погрешность косвенного из- мерения объема цилиндрического тела по формуле (3).
6.13. Промежуточные и окончательные результаты запи- сать в табл.1 и 2 бланка отчета.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое измерение?
2. Чем обуславливается невозможность выполнения абсо- лютно точных измерений?
3. Что обычно принимают в качестве истинного значения измеряемой величины?
4. Какие виды погрешностей измерений вы знаете?
6. Как определяется наиболее вероятное значение измеря- емой величины?

17 7. Как определяется абсолютная и относительная погреш- ности для простейших косвенных измерений?
8. Для чего служит нониус в штангенциркуле?
9. Как определяется абсолютная погрешность измерения диаметра тела, если все показания штангенциркуля совпали?
10. Как изменится точность нониуса при увеличении чис- ла его делений в два раза?

18
МГУИЭ
Отчет о лабораторной работе
«Обработка результатов прямых и косвенных измерений»
Ф.И.О. студента
Кафедра
ТмиМ
Группа
Бриг.
Вар.
Таблица 1 1. Результаты измерений
Номер измерения
,
i
D
мм
,
i
D

мм
2
i
D

, мм
2
,
i
L
мм
i
L

, мм
2
i
L

, мм
2 1
2 3
4 5
Точность при- бора для изме- рения, мм

СИ


СИ

Доверительная вероятность Р,%

Р

19
Таблица 2 2. Обработка результатов прямых измерений
Определяемая величина
Расчетная формула
Результат
Среднее арифметиче- ское значение диа- метра
D
,мм
n
D
D
D
D
n




2 1
Среднее арифметиче- ское значение длины
L
, мм
n
L
L
L
L
n




2 1
Выборочное среднее квадратическое от- клонение среднего арифметического, мм
2
:
-диаметра
D
S
-длины
L
S
)
1
(
1





n
n
D
S
n
i
i
D
)
1
(
1





n
n
L
S
n
i
i
L
Значение коэффици- ента Стьюдента
)
(n
P
t
Абсолютная погреш- ность измерения, мм:
-диаметра
D

-длины
L

D
n
P
S
t
D
)
(



L
n
P
S
t
L
)
(



Окончательный ре- зультат измерения, мм:
-диаметра
D
-длины
L
D
D
D



при вероятности
Р= %
L
L
L



при вероятности
Р= %
Относительная по- грешность измере- ния,%:
-диаметра
D

-длины
L

%
100
D
D
D



%
100
L
L
L




20
Таблица 3 3. Обработка результатов косвенных измерений
Определяемая величина
Расчетная формула
Результат
Среднее значе- ние объема
V
, мм
3 4
/
2
L
D
V




Абсолютная по- грешность изме- рения объема
V

, мм
3 2
2
ln ln






















L
L
V
D
D
V
V
V
, где



D
V
ln



L
V
ln
Систематическая погрешность измерения объе- ма
V

, мм
3
















L
L
V
D
D
V
V
V
ln ln
Суммарная по- грешность изме- рения объема


V
, мм
3
   
2 2
V
V
V






Результат изме- рения объема при доверитель- ной вероятности
Р= %






V
V
V
при Р= %
Относительная погрешность измерения объе- ма

, %
%
100
V
V


