Файл: Лабораторная работа "Исследование затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре".pdf

1
Лабораторная работа
"Исследование затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре"
Цель работы: изучение затухающих электромагнитных колебаний и определение величин, характеризующих процессы в замкнутом колебательном контуре.
Теоретическое введение
1.Свободные электромагнитные колебания
Известно, что электромагнитные колебания можно возбудить в системе,
называемой колебательным контуром.
Реальный колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L и резистора R (рис1), соединённых последовательно.
Если предварительно заряженный конденсатор С замкнуть на индуктивность L, то конденсатор начнёт разряжаться, и по контуру будет проходить изменяющийся со временем ток. Когда заряд конденсатора станет равным нулю, ток в контуре достигнет максимума.
В этот момент достигнет максимума и пропорциональное току магнитное поле, сконцентрированное главным образом в катушке L.
Изменение магнитного поля приведет к возникновению в контуре ЭДС
самоиндукции, которая, согласно закону Ленца, сначала замедляет скорость разрядки конденсатора. После того, как конденсатор полностью разрядится, ЭДС самоиндукции начнёт поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начинается снова, но ток идет в обратном направлении и т.д.
Во время разрядки конденсатора С его электрическая энергия (CU
2
/2)
превращается в энергию магнитного поля тока в контуре,
сосредоточенную, главным образом в катушке (LI
2
/2) и наоборот.

2
Максимальные значения напряжения на конденсаторе U
cm
и тока в контуре I
т
носит название амплитуд колебаний напряжения и тока. Так как контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением R, то часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло. Вследствие этого энергия, запасенная в контуре, постепенно уменьшается, а амплитуда колебаний U
cm
или I
т
убывает со временем. Уменьшение энергии электромагнитных колебаний из-за потерь на излучение для замкнутого контура, используемого в данной работе, пренебрежимо мало по сравнению с энергией контура, и поэтому не принимается во внимание.
Составим уравнение, описывающее затухающие колебания в замкнутом контуре. На основании второго правила Кирхгофа для цепи, приведённой на рис.1, имеем:
IR+U
C
=
ℰ
,
(1)
где U
с
- напряжение на конденсаторе, равное q/c, q - заряд конденсатора, I -
ток в цепи, ℰ - ЭДС самоиндукции, возникающая вследствие изменения тока при перезарядке конденсатора.
Согласно закону электромагнитной индукции:
�
�
=− �
��
��
(2)
По определению тока, его величина / может быть представлена в виде:
I=dq/dt = (dU
c
/dt)C
(3)
С учетом (2) и (3)
уравнение (1) примет вид:
CR(dU
c
/dt)+ U
c
= -LC(d2U
c
/dt
2
)
(4)
или
LC(d2U
c
/dt
2
) + CR(dU
c
/dt) +U
c
= O
Разделив на LC, получим дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:
�
2
�
�
/dt
2
+ R/L(dU
c
dt) + (1/LC)U
C
= О
(5)
Введем обозначения

3
R/L = 2

,
1/LC=�
0 2
,
(6)
где

- коэффициент затухания, ω
0
- собственная частота колебаний,
возникающих в контуре при R, стремящемся к 0.
Решение уравнения (5) зависит от соотношения

и ω
0
Рассмотрим некоторые возможные случаи.
Случай 1 :

2
< �
0 2
, т.е. R
2
/4L < 1/LC, что соответствует слабому затуханию. Решение уравнения (5) при этом условии имеет вид:
и
с
= U
co
е

t
cos(��+�) ,
(7)
где U
со
- максимальное напряжение на конденсаторе при t=0, � -
начальная фаза колебания и � = �
0 2
− �
2
- частота затухающих колебаний в контуре. График функции (7) показан на рис.2.
Частота со зависит от параметров контура:
� = 1/�� − �
2
/4�
2
и малом затухании колебания в контуре можно считать гармоническими,
совершаемыми с частотой сои амплитудой U
cm
=U
m
�
−��
, уменьшающейся со временем по экспоненциальному закону. Несмотря на то,что затухающие колебания не являются, строго говоря, периодическими,
для них тоже можно ввести понятие периода, колебания, как промежутка времени между двумя последовательными прохождениями величины U
c
через максимум или минимум. Тогда:
� = 2�/� = 2�/ 1/�� − �
2
/4�
(9)
Для характеристики затухания колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания δ. Логарифмический декремент затухания определяют как логарифм отношения двух соседних последовательных значений напряжения:
δ = ln(U
cml
/ U
cm2
) = ln(U
om
�
−��
/ U
om
�
−�(�=�)
) =T,
(10)
где U
cm1
и U
cm2
- амплитуды напряжений, соответствующие моментам времени, отличающимся на период Т (рис.2).
Коэффициент затухания является величиной, обратной времени τ, в течение которого амплитуда U
cm
уменьшается в е раз, т.е.

= 1/ �
(11)
С учетом (11) формулу (10) можно преобразовать:

4
δ = ln(U
cm1
/ U
cm2
) =

T=T/τ = N
e
,
(12)
где N
e
показывает число колебаний в контуре, при котором амплитуда уменьшается в е раз, е - основание натурального логарифма.
В радиотехнике качество контура оценивается его добротностью Q. Она определяется,
как величина,
обратно пропорциональная его логарифмическому декременту затухания:
Q =

/
δ
=

N
e
(13)
Из уравнения (13) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться, прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Покажем, что добротность Q контура характеризует процесс изменения энергии контура со временем.
Энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды напряжения, т.е.
W=W
0
�
−2��
(14)
где W
0
- значение энергии при t=0.
Найдем скорость изменения энергии, продифференцировав (14) по времени t:
dW/dt = -2W
O
�
−2��
= -2W
(15)
При условии, что затухание слабое ( << ω
0
) , убыль энергии за период согласно (15) будет равна:
∆�/∆� =− 2��; − �� = 2

��
(16)
или
-ΔW=2δW= (2

/Q)W
(17)
Отсюда
� = 2��/− ��
(18)
Из (18) следует, что при слабом затухании добротность Q оказывается пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания. Добротность контура тем выше,
чем меньше затухание колебаний в нем.
Используя (6), (9) и (13) получим для Q при слабом затухании:

5
Q = 1/� �/�
(19)
Случай 2:

2
= �
0 2
. При этом условии частота колебаний � (формула
(8) обращается в нуль, а период Т в бесконечность, т.е. колебания совершаться не будут, решение уравнения (5) в этом случае имеет вид:
и
с
= (а+bt)�
−

�
(20)
где а и b — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. В зависимости от а и b величина U
c
с течением времени не проходит через максимум ни разу, или проходит через него один раз.
При t → ∞ величина U
c
по (20) асимптотически стремится к нулю.
Такой процесс называется апериодическим. График его представлен на рис.3.
Рис. 3
Выполнение условия

2
= �
0 2
зависит от параметров контура. Оно возможно, исходя из (8) при
R
k
2 �/�
(21)

6
Ход работы
Приборы и принадлежности:
- рабочая панель с замкнутым колебательным контуром (рис. ),
состоящим из источника постоянного напряжения, 2-х кнопочных переключателей на платформах, конденсатора (4.7 мкФ и 1 мкФ)
на платформе, соленоида (39 мГн, 17,7 Ом) на платформе,
резистора (10 Ом) на платформе, переменного резистора (470 Ом)
на платформе;
- цифровой USB-датчик напряжения рассчитанный на диапазон
±100В, миллиамперметр;
- компьютер с установленным программным обеспечением цифровой лаборатории Радуга,
- комплект соединительных проводов.
Задание 1.
Наблюдение затухающих колебаний в колебательном контуре.
измерение периода колебаний. определение коэффициента и
декремента затухания. определение добротности контура.
Подготовка к эксперименту

7
Соедините последовательно плюсовую клемму источника постоянного напряжения, кнопочный переключатель, конденсатор емкостью 4,7 мкФ и минусовую клемму источника напряжения.
Параллельно конденсатору включите последовательную цепь,
состоящую из второго кнопочного переключателя резистора и соленоида. переключатели установить в разомкнутое положение.
Используя ярлык на рабочем столе войдите в программу.
Подключите датчик к USB-входам компьютера. Выберите в программе вкладку Подключенные датчики и выделите имеющийся датчик кнопкой мыши. Закоротите входы датчиков и проведите обнуление (рис.).

8
Плюсовой клемме датчиков соответствуют красные провода от соответствующей клеммы к датчику.
Подключите один из измерительных каналов датчика к резистору,
(для наглядной демонстрации процесса зарядки можно второй датчик параллельно подключить к конденсатору).
Проведение эксперимента
Перейдите в программе на страницу проведения измерений.
1 2
Подключение измерительных каналов датчика

9
В меню «Настройка датчика» установите частоту дискретизации
10000 Гц.
В меню «Каналы» отключите усредняющий фильтр и включите режим сглаживания (рис.).

10
Для начала регистрации нажмите экранную кнопку «Старт».
На
короткое время замкните первый кнопочный переключатель и зарядите конденсатор.
Замкните второй кнопочный переключатель и разрядите конденсатор через цепь с соленоидом.
Остановите регистрацию, нажав экранную кнопку «Стоп».
Сохранить файл с данными.
Нажмите кнопку «Обзор». отключите отображение канала,
показывающего напряжение на конденсаторе.
Найдите и выделите фрагмент записи с процессом затухающих колебаний. Проводите измерения с помощью маркеров программы.
Амплитуда огибающей затухающих колебаний изменяется во времени по закону
� = � ∙ �
−��
,
где величина � называется коэффициентом затухания.

11
Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений графика через максимумы равно
�
1
�
2
= �
��
Измерьте амплитуды двух соседних максимумов и вычислите величину � = ln
�
1
�
2
,
которая называется логарифмическим декрементом затухания.
Измерьте период затухающих колебаний.
Вычислите коэффициент затухания по формуле
� =
�
�

12
и добротность контура по формуле
� =
�
�
Вычислите добротность контура через параметры элементов цепи по формуле
� =
1
�
�
�.
Результаты вычислений запишите в талицу 1.
Таблица 1
Результаты измерений периода колебаний, определение коэффициента и декремента затухания, определение добротности контура (10 Ом, 4.7 мкФ,
39 мГн).
Амплитуды
А
1
А
2
Логарифмический декремент затухания, � = ��
�
1
�
2
,
Период колебаний Т
Коэффициент затухания, � =
�
�
Добротность контура, � =
�
�
Добротность контура через параметры элементов
цепи (теоретическая), � =
1
�
�
�
Проанализируйте результаты и сделайте выводы.
Задание 2.
Изучение влияния изменения емкости конденсатора на период
затухающих колебаний, коэффициент и логарифмической
декремент затухания, добротность контура.
Подключите конденсатор 1 мкф параллельно конденсатору 4.7
мкФ.
Зарядите конденсаторы и повторите измерения при значении емкости конденсатора в контуре 5.7 мкФ.

13
Проведите измерения амплитуды и периода колебаний.
Вычислите логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, добротность контура как в Задании 1. Результаты занесите в таблицу 2.
Проанализируйте результаты и сделайте выводы.
Таблица 2
Результаты измерений периода колебаний, определение коэффициента и декремента затухания, определение добротности контура (10 Ом, 5.7 мкФ,
39 мГн).
Амплитуды
А
1
А
2
Логарифмический декремент затухания, � = ��
�
1
�
2
,
Период колебаний Т
Коэффициент затухания, � =
�
�
Добротность контура, � =
�
�
Добротность контура через параметры элементов
цепи (теоретическая), � =
1
�
�
�
Задание 3.
Изучение влияния изменения активного сопротивления
контура на период затухающих колебаний, коэффициент и
логарифмический декремент затухания, добротность контура.
Определение критического сопротивления контура.
Соедините последовательно плюсовую клемму источника постоянного напряжения, кнопочный переключатель, конденсатор емкостью 5,7 мкФ и минусовую клемму источника напряжения.
Параллельно конденсатору включите последовательную цепь,
состоящую из второго кнопочного переключателя постоянного резистора,
переменного резистора и соленоида. переключатели установить в разомкнутое положение.

14
Переменный резистор выкрутите в крайнее положение (R=0).
Проведите измерения как в задании 1.
Постепенно увеличивая сопротивление переменного резистора,
подберите такое сопротивление, при котором произойдет срыв колебаний.
Определите полное активное сопротивление контура, при котором произойдет срыв колебаний. Это сопротивление называется критическим сопротивлением контура. Запишите результат.
Рассчитайте критическое сопротивление контура через параметры реактивных элементов по формуле
�
�
= 2 �/� и сравните с экспериментальными данными.
Проанализируйте полученные результаты и запишите выводы.
Вопросы для допуска к работе
1. Объясните назначение всех элементов установки для изучения свободных колебаний в контуре.
2. Каким образом происходит первоначальная зарядка конденсатора?
3. Как практически определить логарифмический декремент затухания?
4. Объяснить смысл формул для определения периода свободных колебаний контура, его добротности.