Файл: Оп Политология ниу вшэ, 202021, Введение в твиМС.pdf

ОП «Политология»
НИУ ВШЭ, 2020-21, «Введение в ТВиМС»
ОП «Политология», 2020-21
Введение в ТВиМС
Дискретные случайные величины: введение (13.01.2021 или 15.01.2021)
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева
Задача 1. Гарри сидит за столом в Большом Зале, завтракает и ждет почту. С веро- ятностью 0.2 ему может прийти письмо от профессора МакГонагалл, с вероятностью
0.7 – от Хагрида. Известно, что МакГонагалл и Хагрид действуют независимо. По- стройте ряд распределения числа полученных Гарри.
Решение. Для удобства зафиксируем данные условия. У нас есть две бинарные величины ???? и ???? , которые описывают число писем, которое могут прислать Гарри каждый из отправителей:
X (МакГонагалл)
0 1
p
0.8 0.2
Y (Хагрид)
0 1
p
0.3 0.7
Интересующая нас случайная величина ???? + ???? – число полученных Гарри писем.
Какие у этой величины значения? А такие: 0 (никто не написал Гарри), 1 (либо написала только профессор МакГонагалл, либо только Хагрид), 2 (оба написали).
Осталось сопоставить этим значения вероятности.
X+Y
0 1
2
p
0.14 0.62 0.24
Случай 1. Оба написали одновременно – работает правило умножения (события независимы), перемножаем вероятности из условия:
P(???? = 2) = 0.2 × 0.7 = 0.14.
Случай 2. Никто не написал – тоже работает правило умножения, только нас ин- тересуют обратные условию события, вычитаем вероятности из 1:
P(???? = 0) = (1 − 0.2) × (1 − 0.7) = 0.24.
Случай 3. Либо профессор МакГонагалл написала, а Хагрид не написал, либо на- оборот. Тут работает и правило умножения, и правило сложения. Умножения – когда одновременно пишет один и не пишет другой, сложения – когда мы рассматриваем ситуацию «или-или», или написал только первый, или только второй.
P(???? = 1) = 0.2 × (1 − 0.7) + (1 − 0.2) × 0.7 = 0.06 + 0.56 = 0.62.
В данном случае удобнее было получить эту вероятность как
P(???? = 1) = 1 − P(???? = 0) − P(???? = 2) = 1 − 0.14 − 0.24 = 0.62,
но более общее решение выше важно, поскольку в случае большего числа значений у случайной величины найти вероятность просто вычитанием не получится.
А. А. Макаров, А. А. Тамбовцева
1