Файл: Лекция условия экстремума функционала. Обобщения пзви необходимые и достаточные условия экстремума для простейшей вариационной задачи.pdf

8
Получена система линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
,
1, 2,3, 4 :
k
С k

1 3
4 1
3 1
2 3
4 1
2 3
0,5 0,
0,
2
ln 2 2 0,
2
ln 2 0.
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C




  












Определитель этой системы отличен от нуля. Следовательно,
1 2
3 4
0
C
C
C
C




− единственное решение системы. Подставим коэффициенты в общее решение и получим вы- ражение для допустимой экстремали:
4
y
x

Замечание. Если в данной вариационной задаче записать уравнение Эйле- ра−Пуассона, подсчитав полную вторую производную
2 2
y
d
F
dx

, то получится линейное неод- нородное уравнение 4-го порядка с переменными коэффициентами относительно функции у.
Процедура отыскания решения будет существенно более сложной. ■
Функционалы, зависящие от нескольких функций одной переменной
Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала
1 0
1 1
1
[ ,
,
]
( ,
,
,
,
,
,
)
,
x
n
n
n
x
I y
y
F x y
y
y
y dx




(4) на классе допустимых функций
1 0
1
( )
[ , ],
1, 2,
, ,
k
y x
C x x
k
n


удовлетворяющих гранич- ным условиям:
0 0
1 1
( )
,
( )
,
1, 2,
, .
k
k
k
k
y x
y
y x
y
k
n



(5)
Необходимые условия экстремума
Если на совокупности функций
( ),
1,
, ,
k
k
y
y x k
n


функционал
1 0
1 1
1
[ ,
,
]
( ,
,
,
,
,
,
)
x
n
n
n
x
I y
y
F x y
y
y
y dx




принимает экстремальное значение, то этот набор функций являются решением системы
уравнений Эйлера:
0,
1,
, .
k
k
y
y
d
F
F
k
n
dx




(6)
Система (6) уравнений Эйлера содержит n дифференциальных уравнений 2-го поряд- ка. Общее решение системы содержит 2n произвольных постоянных. Упорядоченный набор
n функций
1
( ),
,
( ),
n
y x
y x
являющихся решением системы, называют экстремалью. Ре- шение краевой задачи для системы уравнений Эйлера с учетом условий (5) называют допус-
тимой экстремалью.
Если число искомых функций невелико, то им присваивают разные названия, напри- мер,
( ), ( ) или ( ), ( ),
( ).
y x
z x
u x v x w x

9
Пример 7. Найти допустимые экстремали функционала
/4 2
2 2
0
[ , ]
(
8
sin )
, (0)
(0)
0,
( /4) 1, ( /4)
1.
I y z
y
z
yz
x
x dx y
z
y
z












 

□ Используем необходимое условие экстремума (6). Запишем общий вид системы Эй- лера применительно к поставленной задаче:
0,
0.
y
y
z
z
d
F
F
dx
d
F
F
dx











Найдем компоненты системы:
2 2
2
(
8
sin )
8 ,
2 ,
2
,
8 ,
2 ,
2 .
y
y
y
y
z
z
z
d
F
y
z
yz
x
x
z F
y
F
y
dx
d
F
y F
z
F
z
dx




















Система уравнений Эйлера имеет вид:
8 2
0,
8 2
0,
z
y
y
z









или
4 ,
4 .
y
z
z
y
 

  

Заметим, что
(4)
(4)
(4)
4 16 , или
16 16 0.
y
z
y
y
y
y
y







Последнее уравнение решено в предыдущем примере:
2 2
1 2
3 4
cos 2
sin 2 .
x
x
y
C e
C e
C
x C
x





Тогда с учетом уравнения
4
y
z
 
получаем
1 4
z
y


или


2 2
2 2
1 2
3 4
1 2
3 4
1
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2 .
4
x
x
x
x
z
C e
C e
C
x C
x
C e
C e
C
x C
x











Экстремали найдены:
2 2
1 2
3 4
2 2
1 2
3 4
cos 2
sin 2 ,
cos 2
sin 2 .
x
x
x
x
y
C e
C e
C
x C
x
z
C e
C e
C
x C
x










Найдем допустимые экстремали, удовлетворяющие граничным условиям.
1 2
3 1
2 3
/2
/2
/2
/2 1
2 3
4 1
2 4
/2
/2
/2
/2 1
2 3
4 1
2 4
(0)
0 0,
(0)
0 0,
( /4) 1
cos /2
sin /2 1 1,
( /4)
1
cos /2
sin /2 1
1.
y
C
C
C
z
C
C
C
y
C e
C e
C
C
C e
C e
C
z
C e
C e
C
C
C e
C e
C








 



 




 


 
  




  


 
   


 
Произвольные постоянные являются решением системы
1 2
3 1
2 3
3 4
1 2
/2
/2 1
2 4
/2
/2 1
2 4
0,
0,
0,
1,
0.
1,
1,
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C e
C e
C
C e
C e
C








   














 

Подставим найденные коэффициенты в общее решение и получим решение краевой задачи, т.е. допустимые экстремали вариационной задачи: sin 2 ,
sin 2 .
y
x z
x

 
■

10
Функционалы, зависящие от одной функции нескольких переменных
Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала (двойного интеграла)
[ ( , ) ]
( , , ,
,
)
x
y
D
I z x y
F x y z z
z dxdy


(7) на классе допустимых функций
1 2
( , )
( ),
,
z
z x y
C D D
R



удовлетворяющих на границе Г
области D условию:
(
),
( , )
Г
z
M
M x у
Г
 

(8)
Необходимые условия экстремума
Если на функции
( , )
z
z x y

функционал
[ ( , ) ]
( , , ,
,
)
x
y
D
I z x y
F x y z z
z dxdy


принимает экстремальное значение, то эта функция являются решением уравнения Эйлера-
Остроградского:
0.
x
y
z
z
z
F
F
F
x
y







(9)
Уравнение Эйлера-Остроградского (9) является уравнением в частных производных
2-го порядка. Общее решение уравнения (9) называют экстремалью функционала. Частное решение краевой задачи для уравнения Эйлера-Остроградского с условием (8) называют до-
пустимой экстремалью.
Отметим, что записи
x
z
F
x


соответствует полная частная производная по переменной
x
от частной производной
x
z
F . Подобным образом надо понимать и выражение
y
z
F
y


Пример 8. Найти экстремали функционала


2 2
[ ( , )]
x
y
D
I z x y
z
z
dxdy



□ Найдем производные интегранта
2 2
,
x
y
F
z
z


входящие в уравнение (9):






2 2
2 2
2 2
0;
2
,
(2
)
2
;
2
,
( 2
)
2
x
x
x
y
y
y
z
x
y
z
z
x
y
x
z
x
x x
z
z
x
y
y
z
y
yy
z
F
z
z
F
z
z
z
F
z
z
x
x
F
z
z
z
F
z
z
y
y



















 


 


Уравнение Эйлера-Остроградского имеет вид:
0 2 2
0 или
x x
yy
x x
yy
z
z
z
z




Получено волновое уравнение, общее решение которого описывается формулой
( , )
(
)
(
).
z x y
x
y
x
y
  
  
Функция
( , )
z x y
является экстремалью заданного функционала. Функции
( ),
x

( )
x

− произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. ■

11
Пример 9. Найти экстремали функционала


[ ( , )]
4
x y
D
I z x y
xz
z z
dxdy



□ Повторим процедуру, выполненную в предыдущей задаче. Найдем производные ин- тегранта
4
,
x y
F
xz
z z


входящие в уравнение (9):






4 4 ;
4
,
(
)
;
4
,
(
)
x
x
x
y
y
y
z
x y
z
z
x y
y
z
y
y x
z
z
x y
x
z
x
xy
z
F
xz
z z
x
F
xz
z z
z
F
z
z
x
x
F
xz
z z
z
F
z
z
y
y









 

 







 

 


Уравнение Эйлера-Остроградского для заданного функционала примет вид:
4 0
4 2
0 2 .
x y
yx
x y
x y
x
z
z
x
z
z
x


 

 
 
Получено уравнение в частных производных 2-го порядка гиперболического типа. Его общее решение найдем путем двукратного интегрирования уравнения сначала по х, а затем по у.
Последовательно находим:


2 1
2 2
2 1
1 1
2
( )
( )
2 2
( );
( )
( )
( )
( ).
x y
x y
y
y
y
x
y
z
x
z dx
xdx
z
x
C y
z
x
C y
z dy
x
C y dy
z
x y
C y dy C x


  
 

  
  

  
  







Найденное общее решение уравнения Эйлера-Остроградского
2
( )
( )
z
x y
y
x
 
 
 
является искомой экстремалью. Функции
( ),
( )
y
x


− произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. ■
Замечание. Наряду с функционалами, зависящими от функций двух переменных, можно рассматривать функционалы, зависящие от функций произвольного числа перемен- ных. В этом случае функционал является n-кратным интегралом, распространенным на об- ласть
n
D
R
