Файл: В. харламов механика, электричество и магнетизм сборник задачи примеры их решения новосибирск.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.12.2023
Просмотров: 49
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
(ГОУ ВПО «СибГУТИ»)
Г.В. ХАРЛАМОВ
МЕХАНИКА, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ СБОРНИК ЗАДАЧИ ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ НОВОСИБИРСК
2017
(ГОУ ВПО «СибГУТИ»)
Г.В. ХАРЛАМОВ
МЕХАНИКА, ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ СБОРНИК ЗАДАЧИ ПРИМЕРЫ ИХ РЕШЕНИЯ НОВОСИБИРСК
2017
2
УДК 531+536.7+537.7+539.19(075.8) Механика, электричество и магнетизм. Сборник задачи примеры их решения Учебное пособие СибГУТИ. – Новосибирск г. – 123 стр.
К.ф.-м.н., доцент Г.В. Харламов Кафедра физики Литература – 11 наименований, рисунков – 56 Рецензент Утверждено редакционно-издательским советом Сиб-
ГУТИ в качестве учебного пособия
© Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики г.
3 Предисловие Настоящее учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу общей физики и самостоятельной работы студентов первого курса СибГУТИ. Оно содержит 6 тем по разделам механики, электричества и магнетизма. Каждая тема включает краткое теоретическое введение, примеры решения задачи задачи для решения на практических занятиях под руководством преподавателя. В конце пособия приведены варианты индивидуальных заданий для самостоятельного решения. Каждый студент должен выполнить в течение семестра расчетно-графическое задание задачи защитить их перед преподавателем. Задачи, включенные в пособие, выбирались из различных сборников задач, таких как Иродов И.Е. Задачи по общей физике Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики Савельев ИВ. Сборник вопросов и задач по общей физике, и др. Полный список использованных источников приведен в конце настоящего издания. Студентам рекомендуется при подготовке к практическому занятию по одной из представленных в пособии тем внимательно изучить лекцию или прочитать главы из учебника, касающиеся этой темы. Затем разобрать приведенные в пособии примеры решения задач. Если остались неясные моменты, разобрать их на практическом занятии при помощи преподавателя. Необходимо использовать полученный опыт для решения задач на практическом занятии, а затем дома – для решения задач из своего варианта задания, относящихся к этой теме. Наиболее продвинутым студентам рекомендуется самостоятельно решать сложные задачи из задачников, список которых приведен в конце настоящего издания. Особое внимание следует обратить на задачник [1].
4
1. КИНЕМАТИКА ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В кинематике изучается движение материальных тел, при этом не рассматриваются причины такого движения. Движение – это изменение положения тела в пространстве стечением времени. Движение тела рассматривается относительно какой-либо системы отсчета, включающей в себя тело отсчета, систему координат (чаще всего декартову) и прибор для измерения времени (секундомер. Часто при описании движения тела можно пренебречь его размерами и считать тело точкой. Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с масштабом его движения. Линия, по которой движется материальная точка, называется траекторией. Длина траектории называется путем (S). Перемещением
(
)
r называется вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с ее конечным положением. Вектор, соединяющий начало координат с положением точки в данный момент времени, называется радиусом-вектором точки ( )
r
. Зависимость радиуса-вектора от времени называется законом движения материальной точки
( )
r
r t . Скоростью материальной точки называется вектор, равный первой производной от радиуса-вектора этой точки повремени) Величина этого вектора показывает, какой путь проходит точка за единицу времени. Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения. Ускорением материальной точки называется вторая производная от радиуса-вектора этой точки повремени Таким образом, ускорение – это первая производная от скорости точки повремени) Ускорение показывает, как изменяется скорость по величине и по направлению в единицу времени. Скорость и ускорение при движении материальной точки по окружности. Если материальная точка движется по окружности, то ее скоростьбудет направлена по касательной к этой окружности, а ее величина определяется производной от пройденного пути повремени) где s – длина дуги окружности, пройденной точкой за время
t. Ускорение материальной точки, движущейся по окружности радиусом ρ, можно разложить на две составляющих нормальное (центростремительное) и тангенциальное (касательное) ускорения. Нормальное ускорение определяет изменение скорости по направлению и направлено к центру окружности. Величина нормального ускорения равна
2
/
n
a
. (1.5) Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине и направлено по касательной к траектории. Величина тангенциального ускорения определяется производной от величины скорости повремени) Полное ускорение материальной точки является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений
n
a
a
a ив общем случае, направлено произвольным образом по отношению скорости. Поскольку тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны, то величина полного ускорения определяется по теореме Пифагора) Угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной оси называется производная от угла поворота тела повремени) Угловая скорость направлена параллельно оси вращения тела. Угловым ускорением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси называется производная от угловой скорости тела повремени) Угловое ускорение также направлено параллельно оси вращения тела. Линейная скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, связаны с угловой скоростью и угловым ускорением следующими соотношениями) где ρ – кратчайшее расстояние точки от оси вращения. Рассмотрим несколько примеров решения задач. Задача 1. Ширина каналам. Квадратный паром со стороной l = 40 м переправляется поперек канала. За время переправы пассажир, двигаясь из точки A наискось парома, успевает дойти до его середины. Найти перемещение пассажира относительно берегов. За время переправы точка A совершает перемещение па человек относительно точки A – ч (см. Дано s = 300 мм. Найти
r
.
7 рисунок. Перемещение человека относительно берега будет складываться из этих двух перемещений п
ч
r
r
r
. Чтобы определить вектор перемещения, надо определить
l
s
r
r
п
r
ч
А
его модуль и направление. Модуль r можно рассчитать по теореме Пифагора
2 2
280,71 м Направление вектора
r
можно определить, вычислив угол
: Поскольку тангенс угла очень мал, tg
0,071 рад . Ответ r = 280,71 м = 4,068 . Задача 2. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью
1
= 80 км/ч, а вторую половину – со скоростью
2
= 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля Средняя скорость движения определяется отношением пути, пройденного автомобилем, к суммарному времени, за которое автомобиль проходит этот путь Дано t
1
= t/2, t
2
= t/2,
1
=80 км/ч,
2
= 40 км/ч. Найти .
8 Весь путь автомобиля можно представить суммой путей за первую и вторую половину времени его движения
1 Пути
1
S
и
2
S
можно выразить через соответствующие скорости и
2
и время движения автомобиля и t
2
:
1 1
1 1 2
t
S
t
,
2 2
2 2 Полное время движения представим в виде
1 2
t
t
t
. Тогда для средней скорости получаем формулу
1 2
1 1 2 2 1
2 1
2 1
2 1
2 Подставляя значения скоростей
1
и
2
, получаем
80 40 60 (км/ч)
2
Заметим, что в данном случае мы можем использовать внесистемные единицы измерения скорости (км/ч), так как при этом они не смешиваются с другими системными единицами. Если же в задаче встречаются физические переменные, выраженные в различных системах единиц (или внесистемные, то необходимо все размерные величины перевести в систему СИ. Ответ = 60 км/ч. Задача 3. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением
2 3
S
At
Bt
Ct
, где A = 2 мс, B = 3 мс, C = 4 мс. Найти а) зависимость скорости
9 и ускорения a от времени б) расстояние S, пройденное телом, скорость и ускорение a тела через время t = 2 с после начала движения. а) По определению скорость тела – это производная от пути повремени. Берем производную и получаем
2
( )
2 3
t
A
Bt
Ct . Ускорение – это производная от скорости повремени б) Рассчитаем путь, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движениям (мс,
2
(2)
2 3 6 4 2 42 (мс ).
а
Ответ: а)
2
( )
2 3
t
A
Bt
Ct , ( )
2 6
a t
B
Ct
; б) S(2) =
24 м) = 38 мс a(2) = 42 м/с
2
Задача 4. Тело брошено со скоростью
0 14,7 мс под углом
30 к горизонту. Найти максимальную высоту, дальность и время полета. Найти нормальное аи тангенциальное а ускорения, а также радиус кривизны траектории тела через время
1,25 c
t
после начала движения. Найти уравнение траектории тела. Силой сопротивления воздуха пренебречь. Дано
2 3
S
At
Bt
Ct ,
A = 2 мс,
B = 3 мс,
C = 4 мс,
t = 2 с. Найти ( ), ( )
t a t ,
(2), (2), (2)
S
a
10 Рассмотрим движение тела в системе отсчета (x, y). Пусть в начальный момент времени тело находилось вначале координат и имело скорость
0
(см. рисунок. Проекции начальной скорости на оси координат можно рассчитать по формулам
0 0
0 0
cos ,
sin По направлению осина тело не действуют никакие силы, так как силой сопротивления воздуха мы пренебрегаем, а сила тяжести действует вертикально вниз, те. по оси y. Поэтому в горизонтальном направлении тело будет двигаться равномерно со скоростью
0 x
. Координата x тела будет изменяться по закону Дано
0 14,7 мс ,
1,25 Найти h, S, T, а , а , , y (x).
11 0 x
x
t
, до тех пор, пока тело не упадет на землю. По оси y по направлению к земле на тело действует постоянная сила тяжести, поэтому тело движется с постоянным ускорением свободного падения g, противоположного по направлению оси y. Координата y изменяется по закону
2 0
2
y
gt
y
t
, а скорость
y
– по закону
0
y
y
gt . Чтобы определить время полета тела, надо координату y приравнять нулю. Получим уравнение
2 0
0 Это уравнение имеет два корня t
1
= 0 и
2 0
2
/
y
t
g . Первый корень соответствует начальному положению тела, а второй
– конечному, те. в момент падения. Таким образом, полное время полета
0 0
2 Дальность полета – это координата x тела в момент падения. Используя выражения для x и T, получим
2 0
0 0
0 2
2
sin Чтобы определить высоту подъема, надо рассчитать время, при котором координата y достигает максимума. Для этого следует взять производную от y повремени и приравнять ее нулю
0 Мы видим, что это условие соответствует тому, что скорость тела становится равной нулю в верхней точке своего движения. Отсюда получаем
0
/
y
t
g . Заметим, что это время равно половине времени полета T, те. одну половину времени тело поднимается, а вторую – опускается. Подставляя найденное время в формулу для y, получаем высоту подъема тела
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 2
sin
2 2
2 Чтобы рассчитать ускорения тела, изобразим их на рисунке. Полное ускорение тела равно g и направлено вертикально вниз. Это ускорение можно разложить на нормальное и тангенциальное a . При этом тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, те. по скорости движения, анормальное перпендикулярно к ним. Так как полное ускорение является векторной суммой нормального и тангенциального, то
2 2
2
n
g
a
a .
C другой стороны, скалярное произведение (
)
g
a
, так как тангенциальное ускорение является проекцией полного ускорения на вектор скорости. Отсюда получаем
(
)
x Для величин, входящих в эту формулу, запишем
0
x
g
,
y
g
g ,
0
x
x
,
0
y
y
gt ,
2 2
2 2
0 После подстановки этих выражений для тангенциального ускорения получаем
13 0
2 2
0 Нормальное ускорение
n
a
определим по формуле
2 2
n
a
g
a . Радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением выражением Поэтому получаем Уравнение траектории движения тела получим, если выразим время t через координату x и подставим в выражение для координаты y:
0 x
x
t
,
2 0
2 0
2 2
0 0
( )
tg
2 2
cos
x
y
x
x
g
x
g
y Мы видим, что траекторией движения тела является парабола, ветви которой направлены вниз. Эта парабола пересекает ось x вначале координат ив точке падения тела на землю, а ее вершина находится посередине между этими двумя точками. Рассчитаем все нужные нам величины
0 2
sin
1,5
T
g
см м,
0 2
2 0
0
(
)
3,52
(
)
y
x
y
g
gt
a
gt
мс,
2 2
9,15
n
a
g
a
мс,
2 20,3
n
a
м. Ответ
2 1,5 мм мм. Следующие задачи решите самостоятельно. Задача 5. Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью
1
= 80 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью
2
= 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля (
53,3 км/ч) . Задача 6. Скорость течения в реке с параллельными берегами всюду одинакова и равна
1
. Ширина реки l. Катер может плыть со скоростью
2
относительно воды. Как нужно направить нос катера при переправе, чтобы плыть точно перпендикулярно берегам Сколько времени займет такая переправа
2 2
2 1
2 2
2 Задача 7. Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями
10 3 мс и
20 4 мс. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными. (
2,5 м
15 Задача 8. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением
t
, где
2 3
2 10
рад/с . Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол
60 с ее вектором скорости
(
7,02 с. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, ЭНЕРГИИ И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Решение задач динамики материальной точки базируется на трех законах Ньютона.
1. Существуют такие системы отсчета, в которых, если на точку не действуют никакие силы или действие всех сил компенсируется, то точка движется прямолинейно и равномерно или находится в покое. Такие системы отсчета называются инерциальными.
2. Если на материальную точку массой m действует результирующая сила F , то точка движется с ускорением a , которое прямо пропорционально этой силе и обратно пропорционально массе
F
a
m
(2.1)
3. Две материальные точки действуют друг на друга с силами равными по величине и направленными по одной прямой в противоположные стороны
12 21
F
F .
(2.2) Наиболее важным для решения задач является второй закон Ньютона, так как он позволяет записать уравнение движения точки. Это будет дифференциальное уравнение. Поскольку ускорение – это вторая производная от радиуса- вектора точки повремени, а результирующая сила в общем
16 случае может зависеть от радиуса-вектора, скорости точки и времени, то уравнение (3.1) можно представить в виде
2 2
( , , )
d r
m
F r
t
dt
(2.3) Это дифференциальное уравнение второго порядка, методы решения которого рассматриваются в курсе высшей математики. Решением такого уравнения является закон движения материальной точки
( )
r
r t . Наиболее простым методом решения дифференциальных уравнений является метод разделения переменных. Если удается записать дифференциальное уравнение в виде
( )
dy
f x
dx
,
(2.4) то решение такого уравнения можно представить в следующей форме
( )
y
f x dx C ,
(2.5) где C – некоторая произвольная константа, которая немо- жет быть вычислена при решении уравнения. Величину этой константы находят позже, используя начальные условия задачи. Закон сохранения импульса заключается в том, что в замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается неизменной во времени
1
const
n
i i
i
P
m
(2.6) Если система незамкнута, те. на нее действуют внешние силы, сумма которых равна
e
F
, то можно сформулировать закон теорему об изменении импульса системы
1
n
e
i
i
i
dP
d
m
F
dt
dt
(2.7) С этим законом тесно связана теорема о движении центра масс системы
17 c
c
e
d
Ma
M
F
dt
, (2.8) где c
и c
a
– скорость и ускорение центра масс системы M
– сумма масс всех тел системы. Положение центра масс системы определяется формулой
1 1
n
c
i i
i
r
m r
M
, (2.9) где
i
m
и
i
r
– масса и радиус-вектор материальной точки, входящей в систему. Элементарная работа силы, действующей на материальную точку, определяется скалярным произведением силы
F
на перемещение dr :
A
F dr . (2.10) Работа силы при перемещении материальной точки из положения в положение 2 определяется выражением
2 1
A
F dr . (2.11) Энергией тела называется работа, которую может совершить тело при определенных условиях. В механике разделяют кинетическую и потенциальную энергии. Кинетическая энергия материальной точки равна
2 2
m
T
. (2.12) Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, составляющих тело
2 1
2
n
i i
i
m
T
. (2.13) Потенциальная энергия связана со взаимодействием тел друг с другом или с другими телами, не входящими в систему. Тело обладает потенциальной энергией, если находится в потенциальном силовом поле. Если на тело в любой точке пространства действует сила, то тело находится в силовом
18 поле. Если при этом работа сил поля при перемещении тела по замкнутому контуру равна нулю, тополе называется потенциальным, а силы – консервативными. Вектор силы F , действующей на материальную точку в потенциальном поле, связан с потенциальной энергией U соотношением grad
U
U
U
F
U
i
j
k
x
y
z
. (2.14) Потенциальная энергия материальной точки равна работе сил поля по перемещению этой точки изданного положения в точку пространства, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Положение этой последней точки выбирается произвольно. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей,
U
mgh
. (2.15) Здесь m – масса тела g – ускорение свободного падения h – высота, на которой расположен центр масс тела над уровнем земли. Тело обладает нулевой потенциальной энергией на поверхности земли. Потенциальная энергия сжатой (растянутой) пружины равна
2 2
kx
U
. (2.16) Здесь k – жесткость пружины x – величина деформации пружины. Потенциальная энергия равна нулю для недеформированной пружины. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек
1 2
m m
U
r
, (2.17)
19 где
3 11 мкг с – гравитационная постоянная и
2
m
– массы материальных точек r – расстояние между материальными точками. Нулевое значение потенциальной энергии соответствует бесконечному удалению материальных точек друг от друга. Если на систему материальных точек действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется (закон сохранения механической энергии const
E
T U
(2.18) Если кроме консервативных на тело системы действуют не- консервативные силы, то полная механическая энергия изменяется неконсер
E
A
(2.19) Момент импульса материальной точки относительно центра О определяется как векторное произведение радиуса- вектора точки на импульс этой точки
O
L
r
p
r
m .
(2.20) Моментом силы, действующей на материальную точку, относительно центра О называется векторное произведение радиуса-вектора точки на эту силу
O
M
r
F .
(2.21) Существует связь между изменением момента импульса точки и моментом силы, действующей на точку, которая называется законом теоремой изменения момента импульса материальной точки
O
O
dL
M
dt
. (2.22)
20 Заметим, что если в этом уравнении положить
0
O
M
, то момент импульса материальной точки будет сохраняться const
O
L
(закон сохранения момента импульса. Теорема об изменении момента импульса выполняется также и для системы материальных точек, если под
O
L понимать сумму моментов импульсов всех точек системы, а под
O
M – сумму всех моментов сил, действующих на систему) Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси описывается основным уравнением динамики вращательного движения
e
z
z
I
M . (2.25) Здесь
z
I
– момент инерции твердого тела относительно оси
– угловое ускорение твердого тела
e
z
M – суммарный момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси z. Момент инерции материальной точки относительно оси z определяется по формуле
2
z
I
m
, (2.26) где – расстояние от точки до оси.
Момент инерции твердого тела относительно оси определяется интегралом
2
z
I
dm , (2.27) взятым по всей массе тела. Здесь – расстояние от элемента массы dm до оси вращения (оси z). Используя эту формулу, можно вычислить момент инерции любого тела относительно оси. Например, для тонкого обруча массой m и радиусом относительно оси z, проходящей через его центр, получим
2
z
I
mR . (2.28) Для плоского диска или цилиндра массой m и радиусом R относительно центральной оси получим
2 1
2
z
I
mR . (2.29) Для тонкого стержня относительно оси, проходящей через середину перпендикулярно стержню, получим
2 1
12
z
I
ml , (2.30) где m – масса стержня l – его длина. Для шара массой m и радиусом R относительно центральной оси получим
2 2
5
z
I
mR . (2.31) Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями
2
z
C
I
I
md . (2.32) Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен
z
z
L
I
, (2.33) где – угловая скорость вращения тела. Кинетическая энергия вращения твердого тела определяется по формуле
22 2
2
z
I
T
. (2.34) Рассмотрим несколько примеров решения задач. Задача 1. На наклонной плоскости с углом наклона α покоится тело. Коэффициент трения тела о плоскость равен
k. Телу толчком сообщают начальную скорость
0
, направленную вниз по наклонной плоскости. Как будет изменяться скорость тела, и какой путь оно пройдет до остановки Выберем систему отсчета, в которой будем изучать движение тела. Начало координат совместим с начальным положением тела. Ось x направим вдоль наклонной плоскости, те. по направлению движения тела. Ось y направим перпендикулярно наклонной плоскости. На рисунке изображены все силы, действующие на тело. Сила тяжести P действует вертикально вниз. Ее можно разложить на две составляющие и P
y
: sin
x
P
P
, cos
y
P
P
, Сила реакции опоры N действует перпендикулярно наклонной плоскости и направлена по оси y. Сила трения тр
F Дано
0
, Найти ( ),
t S
23 направлена противоположно движению тела, те. противоположно оси x. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде тр
ma
P
N
F
Это уравнение мы можем спроектировать на оси координат
x и y: тр
x
x
x
x
ma
P
N
F
, тр
y
y
y
y
ma
P
N
F
Запишем проекции всех сил на оси координат sin
x
P
mg
, cos
y
P
mg
,
0
x
N
,
y
N
N , тр тр
x
F
F
kN , тр
0
y
F
Так как движение тела происходит только вдоль оси x, то
x
a
a
, Следовательно, уравнения Ньютона примут вид sin
ma
mg
kN
, Выражая из второго уравнения N и подставляя его в первое, получаем sin cos
ma
mg
kmg
24 Сокращая на m, получаем ускорение тела
(sin cos Следует заметить, что это ускорение будет отрицательным, поскольку тело первоначально покоилось на наклонной плоскости, следовательно, сила трения больше проекции силы тяжести на ось x. Так как ускорение не меняется в процессе движения, то движение тела будет равнозамедленным и, следовательно, тело в конце концов остановится. Запишем ускорение как производную от скорости повремени и проинтегрируем его
a dt
C
at
C . Константу C найдем изначальных условий при
0
t
скорость. Следовательно,
0 0
a
C
, Окончательно получаем для скорости тела
0 0
( )
(sin cos В момент остановки тела его скорость станет равной нулю. Полагая в предыдущем уравнении ост, найдем время, через которое тело остановится ост 0
at
,
0 ост cos Чтобы вычислить путь, пройденный телом до остановки, надо проинтегрировать выражение для скорости повремени Используя начальное условие для пути (при t = 0, S = 0), получим. Таким образом, получаем
2 0
( )
2
at
S Подставляя в это выражение ост, получаем путь, пройденный телом до остановки,
2 0
2 2
2 0
0 0
0 0
2 2
2 2
a
a
a
S
a
a
a
a
,
2 2
0 0
2 (sin cos )
2 ( cos sin )
S
g
k
g Ответ
2 0
0
( )
(sin cos )
,
2 ( cos sin )
t
g
k
t
S
g Задача 2. Груз массой m, закрепленный на невесомом стержне длиной l, вращается с постоянной угловой скоростью
ω вокруг вертикальной оси. Определить угол θ, образуемый стержнем с вертикалью. При движении груза по окружности с постоянной угловой скоростью он имеет центростремительное ускорение, которое можно рассчитать по формуле Дано m, l, ω. Найти θ.
r
l
θ
mg
T
T
y
T
x
x
C
y
26 2
2
c
a
r
r
, где r – радиус окружности, по которой вращается груз. На рисунке показаны силы, действующие на груз. Запишем второй закон Ньютона для груза в векторной форме
m a
mg
T . Спроектируем это уравнение на оси координат x и y:
,
0
c
x
y
m Используя выражения sin ,
cos ,
sin
x
y
T
T
T
T
r
l
, получим уравнение
2
sin tg
m
l
m Это уравнение имеет два решения Второе решение действительно только прите. при угловой скорости
g l . При этом угол при
. Если же
g l , то
0 , те. стержень не отклоняется от вертикальной оси при медленном вращении. Ответ
0 при
g l ,
2
arccos
g
l
при
g l .
27 Задача 3. Шар массой
1 кг движется со скоростью
1 3
мс и нагоняет шар массой
2 кг, движущийся со скоростью
2 1
мс. Считая удар центральным, найти скорости и
2
шаров после удара, если удара) абсолютно неупругий б) абсолютно упругий.
1 2
2 а) Если удар абсолютно неупругий и центральный, то шары после соударения слипаются и движутся вместе
1 2
. Для того чтобы рассчитать скорость шаров после соударения, достаточно одного уравнения, которым является закон сохранения импульса в проекциях на направление движения (см. рисунок
1 1 2 2 Выразим :
1 1 2 2 1
2 1,4
m
m
m
m
мс. Заметим, что для неупругого удара закон сохранения энергии неприменим, так как вовремя удара на шары действуют неконсервативные силы и часть энергии превращается в тепло. б) Если удар абсолютно упругий, то шары имеют разные скорости после столкновения
1 2
. Чтобы рассчитать эти скорости, необходимо записать два уравнения. Одним из них по-прежнему является закон сохранения импульса, а другим – закон сохранения механической энергии, которая является кинетической дои после столкновения Дано
1 2
m
кг,
2 кг,
1 мс,
2 1
мс. Найти
1 2
,
.
28 1 1 2 2 1 1 2 2 2
2 2 2
2 2
1 1 2
1 1 2
,
2 2
2 Перенесем величины, относящиеся к первому шару, влево, а ко второму – вправо, и запишем уравнения в виде
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 Используя формулу разности квадратов, представим последнее уравнение в виде
1 1
1 1
1 2
2 2
2 Разделив это уравнение на первое в системе уравнений, получим Выражая отсюда
2
и подставляя в первое уравнение системы, получаем
2 1
1 1
2 1
2 Вычислим значения скоростей после удара
1 мс,
2 1
1 2
1,8
мс. Знак минус означает, что первый шар после удара будет двигаться в обратном направлении. Следует отметить, что исходная система уравнений, кроме полученного, имеет еще одно решение
1 1
,
2 Это решение соответствует движению шаров с постоянными скоростями, те. без столкновения.
29 Ответа мс б)
1 0,2
мс,
2 мс. Задача 4. Доказать соотношение л, где л – кинетическая энергия системы материальных точек, определяемая в лабораторной системе отсчета (л- система
c
T
– кинетическая энергия, определяемая в системе центра масс (ц-система); m – суммарная масса системы скорость центра масс в л-системе. Доказательство Кинетическая энергия системы n материальных точек в л-системе по определению равна л 1
2
n
i Скорость каждой материальной точки в л-системе
i
складывается из скорости центра масс системы
c
и скорости точки относительно центра масс
ic
: Подставим это выражение в первую формулу
2 л 1
1 1
1 1
1
(
)
2 2
2
n
n
n
n
i
c
ic
i c
i c
ic
i ic
i
i
i
i
T
m
m
m
m
2 2
1 1
1 1
1 2
2
n
n
n
i
c
c
i ic
i Заметим, что
2 1
1 1
,
2
n
n
i
i ic
c
i
i
m
m
m
T .
30 Чтобы рассчитать сумму
1
,
n
i ic
i
m
запишем определение радиуса-вектора центра масс системы материальных точек
1 1
n
c
i i
i
r
m В системе центра масс (ц - система) этот вектор равен нулю
1 1
0
n
i ic
i
m Дифференцируя последнее равенство повремени, получим
1 Отсюда следует
1 0
n
i Учитывая это, окончательно получаем л 2
c
c
T
m
T . (4.35) Что и требовалось доказать. Задача 5. Потенциальная энергия частицы имеет вида б)
2
/ 2
U
kr
, где r – модуль радиуса-вектора частицы и k – константы (k > 0). Найти силу F , действующую на частицу, и работу A, совершаемую над частицей при переходе ее из точки (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4). Дано а)
/
U
r ; б)
2
/ 2
U
kr
,
1
r
= (1, 2, 3),
2
r
= (2, 3, 4). Найти ,
F A . Чтобы рассчитать силу, действующую на частицу в потенциальном поле, надо использовать формулу
31 а) Вычислим производные, входящие в эту формулу.
U
U
r
x
r
x
;
2
( / )
/
U
r
r
r
r
;
2 2
2 2
2 2
2 2
x
y
z
r
x
x
x
x
r
x
y
z
; Аналогично получим выражения для производных от U пои по z:
3
U
y
y
r
, Для силы F получаем выражение
3 3
3 3
3 Мы видим, что в таком полена частицу действует сила Кулона, которая направлена по радиусу-вектору ив зависимости от знака постоянной может притягивать ( < 0) или отталкивать ( > 0) частицу. Вычислим работу, совершаемую силой F при переходе частицы из точки
1
r
в точку
2
r
:
32 2
1 2
2 2
2 2
3 3
3 2
1 1
1 1
1 1
r
r
r
r dr
rdr
dr
A
F d r
dr
r
r
r
r
r
1 2
1 2
( )
( )
U r
U r
r
r
2 2
2 1
1 1
1 14
r
x
y
z
,
2 2
2 2
2 2
2 29
r
x
y
z
, б) Задание выполняется аналогично. Предлагаем выполнить его самостоятельно. Вы должны получить следующие ответы
,
7,5
F
kr A
k . Ответа б)
,
7,5
F
kr A
k . Задача 6. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, и угол между направлениями их разлета
60 . Найти отношение масс этих частиц.
1
m
1 2
m
2
m
1
m
1 2
/ 2
/ В данной задаче удар является абсолютно упругим, но нецентральным. Запишем законы сохранения импульса и энергии для такого удара
1 1
2
p
p
p
, Дано
2 0
,
60 Найти
1 2
/
m
m
33 1
1 Первое из этих уравнений является векторным. Изобразим векторную диаграмму, соответствующую этому уравнению
/ 2
/ 2 Эта диаграмма показывает, что векторная сумма импульсов после соударения равна импульсу частицы 1 до соударения. Мы видим, что углы при основании треугольника одинаковы и равны / 2, следовательно, треугольник равнобедренный и модули импульсов частиц после соударения равны между собой, те.
1 или
1 1 2 2
m
m
C другой стороны, из треугольника получаем
1 1
cos
2 Выразим из этого уравнения
1
:
1 1
2 Запишем закон сохранения энергии
2 2
2 1 1 1 1 2 2 2
2 Умножим это уравнение на 2 и разделим на
1
m
, используем равенство
2 1 1 2
/
m
m
34 2
2 2
2 2
1 1 1
1 1
1 1
2 Преобразуем это уравнение к виду
2 1
1 2
2 Выразим
1 2
/
m
m
:
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
1 1
1 4cos
1 4cos
1 3 1 2
2 Ответ
2 1
2
/
4cos
1 2 Задача 7. Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меняется со временем по закону
2
L
a
bt , где a и b – постоянные векторы, причем a
b . Найти относительно точки О момент M силы, действующей на частицу, когда угол между векторами M и L окажется равным 45 . Для расчета момента силы, действующего на частицу, относительно точки О используем теорему об изменении момента импульса
O
O
dL
M
dt
2
O
L
L
a
bt . Вычислим производную от этого выражения повремени Таким образом, момент силы, действующей на частицу, в любой момент времени равен Дано
2
L
a
bt ,
,
a b = const,
2
L
a
bt ,
45 Найти
O
M .
35 2
O
M
M
bt . Теперь надо определить, в какой момент времени t угол между векторами момента силы и момента импульса составит. Для этого используем понятие скалярного произведения двух векторов M и L . cos
M L
ML
, где M и L – модули векторов M и L . С другой стороны,
2 3
2 3 2 (
)
2 2
2
M L
bt a
b t
b at
b bt
b t Первое слагаемое в предыдущей формуле равно нулю, так как по условию a
b
. Вычислим модули векторов M и L .
2 2
(2 )
2
M
M
bt
bt ,
2 2 2 2
2 2 4 2
2 4
(
)
2(
)
L
L
a
b t
a
a b t
b t
a
b Таким образом, получаем
2 2 4 2 3 2
cos
2
bt a
b t
b t . Сокращая на 2bt и возводя в квадрат, получаем выражение
2 2 4 2
2 4
(
)cos
a
b t
b t . Выразим отсюда t: cos Учитывая, что cos sin
2 / 2
, получаем
36 Окончательно получаем Ответ Задача 8. Два груза массой
1
m
и
2
m
подвешены на нити и перекинуты через блок в форме диска массой m и радиусом. Определить натяжение нитей, ускорение грузов и угловое ускорение блока. Трением пренебречь. Изобразим на рисунке все силы, действующие на систему. Будем считать, что блок вращается против часовой стрелки, те.
1 2
m
m
. Ось x направим вертикально вниз. Так как масса нити мала, то
1 1
T
T и
2 2
T
T . Кроме того,
1 2
a
a
a
, поскольку грузы движутся вместе. Запишем второй закон Ньютона для грузов 1 ив проекции на ось
x:
1 1
1 2
2 2
,
P
T
m a
P
T
m Запишем также основное уравнение динамики вращательного движения блока относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр блока
1 2
1 2
(
)
e
I
M
T R T R
T
T R . Дано
1
m
,
2
m
, m, R. Найти
1 2
,
, ,
T T
37 Поскольку блок является диском,
2
/2
I
mR
. Угловое ускорение блока связано с линейным ускорением точки на ободе диска, которое, в свою очередь, равно a – ускорению грузов
/
a R Подставляя эти выражения в уравнение, получим систему
1 1
1 2
2 2
1 2
,
,
1 2
P
T
m a
P
T
m Учитывая, что
1 1
2 2
,
P
m g P
m g
, и решая систему, получим
1 2
1 2
1 2
m
m
a
g
m
m
m
,
1 2
1 2
1 2
m
m
g
m
m
m
R
,
2 1
1 1
2 1
2 2
1 2
m
m m
T
g
m
m
m
,
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
m
m Мы видим, что если
1 2
m
m
, то ускорение становится отрицательным. Это означает, что блок вращается почасовой стрелке.
38 Ответ
1 2
1 2
1 2
m
m
a
g
m
m
m
,
1 2
1 2
1 2
m
m
g
m
m
m
R
,
2 1
1 1
2 1
2 2
1 2
m
m m
T
g
m
m
m
,
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
m
m Задача 9. Найти линейные скорости движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости
0,5
h
м, начальная скорость всех тел
0 0
. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения. Для решения задачи используем закон сохранения энергии. В верхней точке наклонной плоскости тело обладает потенциальной энергией
U
mgh . В нижнем положении тело будет обладать только кинетической энергией, которая будет разной для различных тел
1) для шара, диска и обруча
2 2
2 2
m
I
T
;
2) для скользящего тела
2 Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия в верхнем положении тела равна его кинетической энергии в нижнем, так как трение не учитывается. Угловая скорость катящегося без проскальзывания тела связана с линейной скоростью его центра масс
R
, Дано
0,5
h
м,
0 Найти
39 где
R
– радиус шара, диска или обруча. Моменты инерции тел выражаются формулами
2 2
5
I
mR – для шара,
2 1
2
I
mR – для диска,
2
I
mR
– для обруча. Подставляя все выражения в формулу для кинетической энергии и приравнивая кинетическую и потенциальную энергии, получаем
1) для шара
2 2
2 2 2 2
2 2
7 2
2 2
10 5
2
m
I
m
mR
m
mgh
R
,
10 2,646 7
gh
мс) для диска
2 2
2 2 2 2
2 3
2 2
2 4
2 2
m
I
m
mR
m
mgh
R
,
4 2,556 3
gh
мс) для обруча
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
m
I
m
mR
m
mgh
R
,
2,214
gh
мс) для скользящего тела
2 2
m
mgh ,
2 3,13
gh
мс
40 Таким образом, наибольшей скоростью будет обладать скользящее тело, так как для него вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения. Для остальных тел часть потенциальной энергии превращается в кинетическую энергию вращательного движения, что приводит к уменьшению скорости центра масс тела. Это уменьшение тем больше, чем больше момент инерции тела. Ответ
10 2,646 7
gh
мс – для шара
4 2,556 3
gh
мс – для диска
2,214
gh
мс – для обруча
2 3,13
gh
мс – для скользящего тела. Задача 10. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n
1
= 10 об/мин. Человек массой кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n
2
начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой. Какую работу A совершает человек при переходе от края платформы к ее центру Радиус платформы R = 1,5 м. Переходя от края платформы к ее центру, человек изменяет момент инерции системы в целом относительно оси вращения. При этом должен выполняться закон сохранения момента импульса, так как отсутствуют моменты внешних сил
1 Дано m = 100 кг, n
1
=10 об/мин,
m
0
= 60 кг, R = 1,5 м. Найти n
2
, A.
41 Момент импульса твердого тела равен L I , поэтому получаем Момент инерции является аддитивной величиной и равен сумме момента инерции платформы и момента инерции человека Во втором случае момент инерции человека равен нулю, так как он находится на оси вращения и является материальной точкой. Учтем, что
2 n . Получим уравнение
2 2
2 0
1 2
1 1
2 2
2 2
mR
m R
n
mR
n . Отсюда получаем
0 2
1 2
1 22
m
n
n
m
об/мин.
Мы видим, что частота вращения платформы увеличилась, поскольку уменьшился момент инерции системы. Следует отметить, что закон сохранения энергии не выполняется для данного процесса, так как человек совершает работу, переходя с края платформы в ее центр. Эта работа будет равна разности кинетических энергий вращательного движения в конце и начале движения человека
2 2
2 2
2 2
2 1 1 0
2 1
0 1
2 2
1 162,8 2
2
I
I
m
A
T
T
m R
n
m
Дж.
Ответ:
0 2
1 2
1 22
m
n
n
m
об/мин, Дж
42 Следующие задачи рекомендуем решить самостоятельно. Задача 11. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами
1
m
и
2
m
, движущихся под прямым углом друг к другу со скоростями
1
и
2
. Найти в системе их центра масса) импульс каждой частицы б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
(
)
,
,
2
c
c
c
m Задача 12. Частица массой m испытала столкновение с покоившейся частицей массой M, в результате которого частица отклонилась на угол /2, а частица M отскочила под углом
30 к первоначальному направлению движения частицы m. Насколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если
/
5
M m
?
100 %
40 Задача 13. Небольшую шайбу поместили на внутреннюю гладкую поверхность неподвижного круглого конуса на высоте h
1
от его вершины и сообщили ей в горизонтальном направлении по касательной к поверхности конуса скорость
1
. На какую высоту от вершины конуса) поднимется шайба
2 1
1 2
2 1
8 1
1 4
gh
h
g
1 2 3 4 5
3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. РАСЧЕТ ПОТЕНЦИАЛА И НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ В природе существует два типа электрических зарядов положительные и отрицательные. Электрические заряды взаимодействуют друг с другом – заряды одного знака отталкиваются, а разных знаков – притягиваются. Сила взаимодействия определяется законом Кулона
1 2
2 0
1
,
4
q q r
F
r
r
(3.1) где
1 2
,
q
q
– точечные заряды r – радиус-вектор, проведенный от одного заряда к другому
12 0
8,85 Ф м . Каждый покоящийся заряд создаёт вокруг себя электростатическое поле, которое действует на другой заряд, помещенный в это поле. Электростатическое поле характеризуется напряженностью – силой, действующей на единичный точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Если в некоторую точку поля поместить точечный заряди определить силу, действующую на этот заряд, то напряженность поля можно рассчитать по формуле
F
E
q
(3.2) Таким образом, если электростатическое поле создается некоторым зарядом Q , то согласно закону Кулона (3.1)
2 2
0 0
1 1
4 4
q Q r
Q r
E
r
r
r q
r
(3.3) Если электростатическое поле создается несколькими зарядами
1 2
,
,
,
n
Q Q
Q
, то напряженность этого поля будет равно сумме напряженностей, созданных каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции
1 2
n
E
E
E
E (3.4) Потенциалом электростатического поля называется работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного положительного заряда изданной точки поля в точку, потенциал которой полагается равным нулю. Последнюю точку можно выбирать произвольно, однако удобнее выбирать такую точку, в которой силы электрического поля, действующие на заряд, помещенный в эту точку, равны нулю. Так, если поле создано точечным зарядом, то точка с нулевым потенциалом будет находиться на бесконечности. В
44 таком случае потенциал точечного заряда Q определяется выражением
,
A
q
(3.5) где A – работа по перемещению заряда q изданной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал электростатического поля равен потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля. Существует связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля
E
grad
i
j
k
x
y
z
(3.6) Используя эту формулу и выражение для напряженности электростатического поля точечного заряда (3.3), можно получить формулу для потенциала точечного заряда Q :
0 1
4
Q
r
(3.7) Для потенциала, также как для напряженности электростатического поля, выполняется принцип суперпозиции. Если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал этого поля будет равен сумме потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности
1 2
n
(3.8) Один из методов расчета напряженности и потенциала электростатического поля, созданного системой зарядов с некоторой плотностью
, заключается в использовании принципа суперпозиции. Для этого систему зарядов надо разбить на бесконечно малые кусочки, каждый из которых можно считать точечным зарядом, а затем сложить проинтегрировать) напряженности или потенциалы, созданные всеми этими зарядами в данной точке поля. Часто для расчетов напряженности электростатического поля оказывается удобным использовать теорему или закон Гаусса. Теорема Гаусса поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен сумме зарядов, помещенных внутри объема, ограниченного этой поверхностью, деленной на
0
: i
0 1
E
i
q
E dS
. (3.9) Используя эту формулу, легко получить напряженность поля, созданного бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда :
0 2
E
, (3.10) бесконечной равномерно заряженной нитью (цилиндром) с линейной плотностью заряда :
0
,
2
E
r
(3.11) и заряженным шаром (сферой) с зарядом Q
2 0
,
4
Q
E
r
(3.12) где
r
– расстояние от нити (оси цилиндра) или центра шара. Часто надо знать не абсолютную величину потенциала в некоторой точке поля, а разность потенциалов между двумя точками поля
2 1
Δ
или напряжение
1 2
U
. Эти величины определяются работой, которую совершают силы поля, по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую. Диэлектрики характеризуются наличием связанных зарядов, которые могут смещаться или разворачиваться во внешнем электрическом поле, вызывая поляризацию диэлектриков. Поляризация диэлектриков определяется поляризованностью или вектором поляризации P , равным дипольному моменту единицы объема диэлектрика. Поток поляризованности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме связанных зарядов внутри этой поверхности со знаком минус св i
i
P dS
q
. (3.13)
46 Вектор электрической индукции (электрического смещения) определяется выражением
0
D
E
P . (3.14) Для него выполняется теорема Гаусса в форме i
,
D
i
D dS
q (3.15) где
i
q
– сторонние заряды внутри замкнутой поверхности.
Часто для изотропных диэлектриков поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля
0
P
E , (3.16) где – диэлектрическая восприимчивость. В таком случае можно ввести диэлектрическую проницаемость среды
1
, так что
0
D
E . (3.17) Таким образом, в диэлектриках напряженность внешнего электрического поля ослабляется враз.
Электроёмкостью проводника называется величина равная отношению электрического заряда проводника к его потенциалу
q
C
. (3.13)
Электроёмкостью конденсатора называется величина, равная отношению электрического заряда одной его пластины к разности потенциалов между пластинами
q
C
U
. (3.14)
Электроёмкость проводящего шара радиусом R , помещенного в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью
, равна
0 4
C
R
. (3.15)
Электроёмкость плоского конденсатора
0
S
C
d
, (3.16)
47 где S – площадь пластины конденсатора d – расстояние между пластинами
– диэлектрическая проницаемость среды между пластинами конденсатора.
Ёмкость цилиндрического конденсатора равна
0 1
2 2
ln (
)
L
C
R R
, (3.17) где L – длина конденсатора
1
R
и
2
R
– радиусы внешнего и внутреннего цилиндров соответственно.
Ёмкость сферического конденсатора
0 1 2 1
2 4
R R
C
R
R
, (3.18) где
1
R
и
2
R
– радиусы внешней и внутренней сфер конденсатора соответственно. При параллельном соединении конденсаторов суммарная ёмкость определяется формулой
1 2
3
C
C
C
C
, (3.19) а при последовательном –
1 2
3 1
1 1
1
C
C
C
C
. (3.20) Энергия заряженного конденсатора может быть рассчитана последующим формулам
2 2
2 2
2
qU
CU
q
W
C
. (3.21) Рассмотрим примеры решения задач. Задача 1. Два шарика одинакового объема, обладающие массой 0,6·10
-3
гкаждый, подвешены на шелковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен о. Найти величину зарядов и силу электрического отталкивания.
48 Изобразим на рисунке все силы, действующие на заряженный шарик. Запишем уравнения равновесия шарика в проекциях на оси координат sin
0,
2
cos
0.
2
э
F
T
T
mg
По закону Кулона
2 1
2 2
2 0
0 1
1 э Решая эти уравнения, получаем
2 9
0 4
tg
7,8 Кл ,
2
q
mgl
2 6
2 0
1 3,4 Н .
4
э
q
F
l
Ответ:
2 2
9 6
0 2
0 1
4
tg
7,8 Кл ,
3,4 Н 4
э
q
q
mgl
F
l
Дано:
6 0,6 10 кг, м ,
1 2
q
q
q
,
60
. Найти э F
.
49 Задача 2. К одной из обкладок плоского конденсатора прилегает стеклянная пластинка (
1 7
) толщиной 9 мм. После того как конденсатор отключили от источника напряжением В и вынули стеклянную пластинку, между обкладками установилась разность потенциалов 976 В. Определить расстояние между обкладками и отношение конечной и начальной энергий конденсатора. Конденсатор в начальном состоянии показан на рисунке. Такой конденсатор можно представить как последовательное соединение двух конденсаторов с ёмкостями '
1 0 1
S
C
d
''
0 Полная ёмкость конденсатора определяется формулой
(3.20) и равна '
''
1 0 1
'
''
0 1
1 1
(
)
C C
S
C
d
d
d
C
C
Ёмкость
2
C
конденсатора, после того как из него вынули стеклянную пластину, равна Дано 220 В,
2 976 В,
1 7
,
3 1
9 10 м,
2 Найти
0 2
1
,
d
W W
.
50 2 0 0
2 Так как перед тем как вынуть пластину, конденсатор отключают от источника питания, то заряд обкладок конденсатора не изменяется, те.
1 2
q
q
, или
1 1 2
2
C U
C Таким образом, получаем
1 0 1
0 2
0 1
1 Решая это уравнение, получаем
3 1
1 2 0
1 2
1
(
)
(
1)
9,96 10 м Так как
2 2
1 1 2
2 1
2
,
,
2 2
C U
C то
2 2
0 1
1 1
2 1
0 1 Ответ
2 3
1 1
2 2
0 1
1 1
2 0
1 2
1 1
0 1 1
(
1)
(
)
9,96 10 м Следующие задачи решите самостоятельно. Задача 3. На рисунке АА – заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотностью заряда
2 40 мкКл ми В – одноименно заряженный шарик с массой
1 г
m
и зарядом А А В
α
51 1 нКл
q
. Какой угол α с плоскостью АА образует нить, на которой висит шарик (
)
13 . Задача 4. Определить напряженность электростатического поля плоского конденсатора ( – поверхностная плотность зарядов каждой из пластин, цилиндрического конденсатора ( – линейная плотность зарядов каждой цилиндрической обкладки) и сферического конденсатора (Q – заряд каждой сферической обкладки. Задача 5. Вычислить емкость батареи, состоящей из трех конденсаторов емкостью 1 мкФ каждый, при всех возможных случаях их соединения. (3 мкФ 1/3 мкФ 1,5 мкФ
2/3 мкФ. Задача 6. Сферический конденсатор наполовину заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью =
7. Радиусы обкладок внутренней
1
R
= 5 см, внешней
2
R
= 6 см. Определить ёмкость конденсатора, пренебрегая искривлением линий поляна границе диэлектрика. (133,45 пФ.
4. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Силой тока или просто током называется количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника в единицу времени
dq
I
dt
(4.1) Плотностью тока называется величина равная току, прошедшему через единицу площади поперечного сечения проводника
I
j
S
(4.2) Закон Ома для однородного участка цепи
U
I
R
(4.3) Здесь U – напряжение между концами проводника R – сопротивление проводника. Для длинного проводника его сопротивление вычисляется по формуле
52
,
l
R
S
(4.4) где – удельное сопротивление материала проводника l – длина проводника S – площадь поперечного сечения проводника. Удельное сопротивление металлов зависит от температуры) где
0
– удельное сопротивление материала проводника при о С
– температурный коэффициент сопротивления
t
– температура по шкале Цельсия. Закон Ома для полной цепи
I
R
r
(4.6) Здесь – эдс источника питания R – внешнее сопротивление цепи
r
– внутреннее сопротивление источника. Количество теплоты, выделившееся в проводнике за время
t
, определяется законом Джоуля – Ленца:
2
Q
I R t (4.7) Для расчетов разветвленных цепей используются правила Кирхгофа
1) алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю
1 0,
n
i
i
I
(4.8) при этом токи, которые втекают в узел, считаются положительными, а токи, вытекающие из узла, – отрицательными.
2) сумма падений напряжений на участках замкнутого контура разветвленной цепи равна сумме эдс в этом контуре
3)
1 1
n
n
i i
i
i
i
I R
(4.9) Падение напряжения считается положительным, если направление обхода контура совпадает с направлением тока
53 на данном участке контура. Эдс считается положительной, если направление обхода контура совпадает с направлением от минуса к плюсу внутри источника питания. Рассмотрим пример решения задачи. Задача 1. Найти сопротивление между точками A и B для цепи, показанной на рисунке. Расставим произвольным образом токи, текущие через сопротивления на различных участках цепи. Сопротивление будем искать поза- кону Ома для однородного участка цепи При этом
1 2
3 4
,
AB
U
U
U
U
U
1 3
2 Из последнего уравнения получим
1)
1 4
2 Выберем направления обходов по правому и левому контурами запишем уравнения Кирхгофа для верхнего и нижнего узлов и для правого и левого контуров
1 5
2 2)
0,
I
I
I
3 5
4 Дано
1 4
2 ,
R
R
r
2 Найти.
54 1
5 3
4) 2 0,
I
r
I r
I r
2 4
5 5)
2 0.
I r
I
r
I Складывая два последних уравнения, получим
1 3
2 4
2 2
0.
I
r
I r
I Из этого выражения и уравнения 1) получим
1 4
,
I
I
2 Из выражений 4) и 2) получим
5 1
3 1
2 2
2
,
I
I
I
I
I
5 Приравнивая данные выражения, получим
1 2
2 3
I
I Таким образом,
1 3
1 2
2 Следовательно,
1 2
2 3
,
5 5
I
I
I
I
1 2
1 2
7 2
5
AB
U
U
U
I
r
I r
Ir Окончательно получаем
7 Ответ
7 5
AB
R
r Следующие задачи решите самостоятельно. Задача 2. К источнику тока подключают один раз резистор сопротивлением 1 Ом, другой раз – 4 Ом. В обоих случаях на резисторах заодно и тоже время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока. (2 Ом. Задача 3. Два одинаковых источника тока соединены водном случае последовательно, в другом – параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении источника сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинаковой (1 Ом. Задача 4. Вцепи, изображенной на рисунке, батареи включены навстречу, их эдс
1 1,5 В и
2 1 В. Сопротивления Ом,
1 50 Ом
R
и
2 80 Ом. Найти силу тока, идущего через сопротивление
R . (10 мА. Задача 5. К заряженному до напряжения
0
V
конденсатору с ёмкостью
1
C
подключается незаряженный конденсатор с ёмкостью
2
C
. Найти зависимость тока вцепи от времени, если сопротивление проводов, соединяющих обкладки конденсаторов, равно R . Какое количество тепла выделится в проводах в результате прохождения тока
(
1 2
1 1
2 0
0 1 2 1
2
,
2(
)
t
R C
C
V
V C C
I
e
Q
R
C
C
).
5. ИНДУКЦИЯ И НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ТОКИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. РАСЧЕТЫ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЯХ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
56 Индукция магнитного поля B для изотропных магнетиков связана с напряженностью магнитного поля H соотношением) где
– относительная магнитная проницаемость среды,
7 0
4 10 Гн м . Напряженность магнитного поля dH , созданного элементарным током Idl , определяется законом Био – Савара – Лапласа
3 4
Idl
r
dH
r
, (5.2) где dl – вектор, направленный потоку, величина которого равна длине проводника, а r – радиус-вектор, направленный от проводника к точке, в которой определяется напряженность магнитного поля. Знаком обозначено векторное произведение двух векторов. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка стоком определяется по формуле
,
2
I
H
R
(5.3) где R – радиус витка. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником, определяется формулой) где a – расстояние до проводника стоком. Напряженность магнитного поля, созданного прямолинейным проводником конечной длины в некоторой точке, определяется формулой
57 1
2
(cos cos
).
4
I
H
a
(5.5) Здесь
1
и
2
– углы между направлением тока в проводнике и линиями, соединяющими концы проводника сданной точкой. Напряженность магнитного поляна оси кругового витка стоком рассчитывается по формуле
2 2
2 3 2
,
2(
)
IR
H
R
h
(5.6) где h – расстояние от центра витка до точки на оси, в которой определяется напряженность магнитного поля. Напряженность магнитного поляна оси соленоида конечной длины можно рассчитать по формуле
1 2
(cos cos
2
)
In
H
(5.7) Здесь n N l – число витков соленоида, приходящееся на единицу длины,
1
и
2
– углы, под которыми видны концы соленоида изданной точки на его оси. Для бесконечно длинного соленоида эта формула упрощается
H
In (5.8) Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Магнитный момент плоского контура стоком определяется формулой
m
p
ISn
. (5.9) Здесь I и S – токи площадь контура n – единичный вектор, перпендикулярный к плоскости контура. Направление
n определяется по правилу буравчика. На элемент тока I dl в магнитном поле действует сила Ампера
dF
I dl
B
. (5.10) На замкнутый контур с магнитным моментом
m
p
в магнитном поле действует момент сил
m
M
p
B (5.11)
58 Элементарная работа перемещения контура стоком в магнитном поле определяется выражением
,
dA
Id
(5.12) где Φ
cos
d
B dS
BdS
– поток вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS ; – угол между вектором B и нормалью к площадке dS . На заряженную частицу с зарядом q , двигающуюся со скоростью
v в электромагнитном поле, действует сила Ло- ренца Л (5.13) Если частица массой m влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то она будет двигаться по окружности радиусом
m
R
qB
v
(5.14) Если заряженная частица влетает в магнитное поле под некоторым углом к направлению вектора магнитной индукции, то далее она будет двигаться по спирали, ось которой параллельна линиям магнитной индукции. Под действием магнитного поля вещества приобретают магнитный момент – намагничиваются. Намагниченность вещества характеризуется вектором намагниченности J , равным магнитному моменту единицы объёма вещества. Циркуляция намагниченности по некоторому контуру равна сумме молекулярных токов '
i
I , охватываемых этим контуром) Индукция магнитного поля в веществе связана с намагниченностью соотношением
0
(
).
B
H
J
(5.16) Циркуляция напряженности магнитного поля равна сумме макроскопических токов
i
I
, охватываемых контуром закон полного тока)
i
H dl
I (5.17)
59 Часто намагниченность для изотропных магнетиков оказывается пропорциональной напряженности магнитного поля. Для такого вещества выполняется соотношение
0
B
H , (5.18) Здесь
1
, называется магнитной восприимчивостью вещества. Все вещества по магнитным свойствам подразделяются натри основных класса диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. У первых двух магнитная восприимчивость много меньше единицы
1 , но для диамагнетиков
0
, а для парамагнетиков
0
. Для ферромагнетиков
1 и зависит от напряженности поля
H
. Кроме того, наблюдается остаточная намагниченность ферромагнетиков, те. ферромагнетик остается намагниченным даже в отсутствие внешнего магнитного поля (постоянные магниты. Этим обусловлено явление гистерезиса для ферромагнетиков. Типичная кривая зависимости индукции Рис. 5.1 График зависимости индукции B от напряженности магнитного поля для некоторого сорта железа
60 магнитного поля ферромагнетика (железа) от напряженности показана на рис. 5.1. Рассмотрим примеры решения задач. Задача 1. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, расстояние между которыми 15 см, водном направлении текут токи 4 и 6 А. Определить расстояние от проводника с меньшей силой тока до геометрического места точек, в котором напряженность магнитного поля равна нулю. На рисунке показана плоскость, перпендикулярная проводникам. Крестики означают, что токи текут от нас. Рассмотрим, как направлены напряженности магнитных полей, созданных каждым проводником, в точках A (слева от проводников, B (между проводниками) и C (справа от проводников. Направление напряженности магнитного поля определяется по правилу правого винта (буравчика. Видно, что результирующая напряженность магнитного поля в точках A и C не может быть равной нулю, так как
1
H и
2
H направлены в одну сторону. В точке B напряженность магнитного поля может быть равной нулю, если выполняется векторное равенство
1 или
1 Используя формулу (5.4), получим уравнение Дано
1 4 A,
I
2 6 A
I
,
0,15 м,
l
0.
r
H
Найти:
r
61 1
2 2
2 (Решая это уравнение, получим
1 1
2 0,06 м Напряженность магнитного поля будет равна нулю на линии, параллельной проводниками лежащей в той же плоскости, на расстоянии 6 см от первого проводника. Ответ
1 1
2 0,06 м Задача 2. Квадратная рамка стоком А расположена водной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток
0 5 А. Сторона рамки
8 см
a
Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние в
1,5 раза больше стороны рамки. Найти а) силу Ампера, действующую на рамку б) механическую работу, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг её осина Индукция магнитного поля, созданного проводником, направлена перпендикулярно плоскости рамки на нас. Величина индукции зависит от расстояния до проводника
r
: Дано
0,9 A,
I
0 5 A,
I
0,08 м Найти
,
A
F
A
.
62 0
0 Силы Ампера, действующие на каждую сторону рамки, изображены на рисунке. Суммарная сила, действующая на рамку, будет равна векторной сумме всех сил
1 2
3 4
A
F
F
F
F
F Запишем модули этих сил
0 0
1 1
0 0
2 2
I I l
I Здесь мы учли, что сторона рамки равна a , те. l a , и расстояние первой стороны от проводника равно a .
2 0
0 2
4 0
0
ln 2.
2 2
a
a
I I
dr
I I
F
F
IBdl
r
0 0
3 3
0 0
2 2 4
I I l
I Так как силы
2
F и
4
F равны по величине и противоположны по направлению, они не вносят вклад в суммарную силу. Силы
1
F и
3
F противоположны по направлению, ноне равны по величине, поэтому
7 0
0 0
1 3
0 0
0 4,5 10 Н 4
4
A
I I
I I
I Таким образом, рамка будет притягиваться к проводнику. Чтобы вычислить работу сил Ампера при повороте рамки, используем формулу
2 Здесь
2
Φ и
1
Φ – потоки векторов магнитной индукции через площадь рамки в конечном и начальном её положениях. Эти положения отличаются друг от друга только направлением нормали рамке. Направление нормали к контуру выбирается по правилу правого винта (буравчика. В начальном положении нормаль к рамке направлена на насте. совпадает с направлением магнитного поля B . В конечном положении, те. при развороте рамки на 180 , нормаль развернётся в противоположном направлении. Следовательно, поток
1
Φ является положительным, а
2
Φ – отрицательным Дж Мы получили работу сил магнитного поля при повороте рамки. Она оказалась отрицательной. Это означает, что, поворачивая рамку, нам придется совершить положительную работу против сил Ампера. Ответ
7 0
0 4,5 10 Н I
F
7 0
0
ln 2 1 10 Дж Задача 3. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
3 кВ, влетает в магнитное поле соленоида под углом 30 к его оси. Число ампер-витков соленоида
5000 А в
IN
Длина соленоида 25 см. Найти шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле. На рисунке показан соленоид с влетающим в него электроном. Далее электрон Дано
3 кВ ,
5000 А в м.
l
Найти:
h
64 будет двигаться по винтовой траектории, наматывающейся на линии магнитной индукции. Скорости
v
и
v не будут изменяться по величине, но перпендикулярная составляющая скорости v будет меняться по направлению. Таким образом, электрон в перпендикулярной к вектору B плоскости будет описывать окружность. Вдоль направления
B электрон будет двигаться равномерно. Шагом винтовой траектории электрона называется расстояние, пройденное электроном вдоль направления вектора B за время полного оборота в перпендикулярной плоскости. Таким образом, получаем где
2
T
R v
– период обращения электрона по окружности радиусом R в перпендикулярной плоскости. Радиус окружности определяется по формуле Здесь
19 1,6 Кл – заряд электрона,
31 9,1 кг – его масса. Подставим эти выражения в формулу для шага
2 Определим индукцию магнитного поля соленоида
0 Рассчитаем скорость электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов. При прохождении электроном разности потенциалов U силы электрического поля совершают работу eU , которая увеличивает кинетическую энергию электрона. Если начальная скорость электрона равнялась нулю, то
2 2
m
eU
v
65 Отсюда получаем Выразим
v
и подставим в выражение для шага винтовой траектории.
2
cos cos
eU
m
v
v
,
2 0
2 2
2 2
cos cos
4 10 м.
m
eU
l
mU
h
eB
m
IN
e
Ответ:
2 0
2 2
cos
4 10 м Следующие задачи решите самостоятельно. Задача 4. По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 50 см друг от друга, водном направлении текут токи
1
I
и
2
I
силой по 5 А Между проводниками на расстоянии 30 см от первого в плоскости, перпендикулярной плоскости проводников, расположен кольцевой проводник, сила тока
3
I
в котором равна А. Радиус кольца 20 см, центр кольца находится в плоскости первых двух проводников. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, созданного токами в центре кольцевого проводника. (15,8 мкТл; 12,6 А/м). Задача 5. В кольцевом проводнике радиусом 10 см сила тока 4 А. Параллельно плоскости проводника на расстоянии
2 см над его центром проходит бесконечно длинный проводник, сила тока в котором 2 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре кольца. Рассмотреть всевозможные случаи. (25,6 А/м; 3,2 10
-5
Тл). Задача 6. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного угольника, вписанного в окружность радиусом R . Найти магнитную индукцию в центре
66 данного контура. Исследовать полученное выражение при
n
(
0
tg(
) (2
)
B
n
I
n
R
;
0
(2 при
n
). Задача 7. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного а) по плоскости с линейной плотностью
i
; б) по двум параллельным плоскостям с линейной плотностью
i
и
i
. (а)
0 2
i
; б)
0
i
между плоскостями в других областях. Задача 8. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из
100
N
плотно расположенных витков, по которым течет ток
8 мА. Радиусы внутреннего и внешнего витков
50 мм,
100 мм. Найти а) индукцию магнитного поля в центре спирали б) магнитный момент спирали приданном токе. (7 мкТл; 15 мА
м
2
). Задача 9. Непроводящий тонкий диск радиусом R , равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью , вращается вокруг своей оси с угловой скоростью. Найти а) индукцию магнитного поля в центре диска б) магнитный момент диска. (
0 2
B
R
;
4 4
m
p
R
). Задача 10. Непроводящая сфера радиусом
50 мм, заряженная равномерно с поверхностной плотностью
2 10 мкКл м , вращается с угловой скоростью
70 рад с вокруг оси, проходящей через его центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы. (29 пТл). Задача 11. Медный провод с сечением S , согнутый в виде квадратной рамки, может вращаться вокруг горизонтальной оси. Провод находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Когда по проводу течет ток I , провод отклоняется на угол от вертикали. Определить индукцию Плотность меди равна
(
2
tg
B
Sg
I
). Задача 12. Вычислить давление магнитного поляна стенку бесконечно длинного соленоида с плотной намоткой из витков стоком. Число витков на единицу длины равно
n . (
2 2 0
2
p
n I
). Задача 13. В установке для разделения изотопов
235
U
и пучок однократно ионизованных ускоренных ионов урана с энергией
5 кэВ попадает от источника через щель S в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости рисунка. В магнитном поле ионы разных масс движутся по различным окружностям, совершив полуоборот, попадают в приёмники. Конструкция последних должна быть такова, чтобы расстояние между пучками
235
U
и на выходе было не меньше = 5 мм. Каково должно быть магнитное поле B , удовлетворяющее этому условию Найти также время, необходимое для полного разделения 1 кг природного урана, если ионный ток, создаваемый источником мА. Массы протона и нейтрона считать одинаковыми и равными 1,67 10
-24
г. (
0,4 Тл
B
, 2,55 года. Задача 14. Длинный соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстояния
r
до оси соленоида как
2
ar , где a – постоянная. На оси соленоида индукция магнитного поля равна. Найти зависимость от
r
: а) намагниченности ( )
J r
;
68 б) плотности молекулярного тока ( )
j r внутри магнетика.
(
2 0
0
( )
ar
J r
B ,
0 0
2
( )
ar
j r
B ).
1 2 3 4 5
6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. САМОИНДУКЦИЯ. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ТОК СМЕЩЕНИЯ. ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА При движении некоторого проводящего контура в магнитном поле в нем возникает эдс индукции
Ψ
,
ind
d
dt
(6.1) где
B
Ψ
Φ
N
– потокосцепление; N – число витков в контуре поток вектора магнитной индукции через площадь контура. Если в некотором контуре изменяется сила тока, тов нем возникает эдс самоиндукции
,
si
dI
L
dt
(6.2) где L – индуктивность. Индуктивность длинного соленоида вычисляется по формуле
2 0
L
n Sl (6.3) Здесь n – число витков на единицу длины соленоида S и l
– площадь поперечного сечения и длина соленоида
– магнитная проницаемость сердечника соленоида. Магнитная энергия контура стоком) Плотность энергии магнитного поля
2 2
0 0
2 2
2
BH
H
B
w
(6.5)
69 Если два контура могут влиять друг на друга через магнитное поле, то при изменении тока водном контуре появляется эдс взаимной индукции в другом контуре
2 1
12
,
dI
L
dt
(6.6) где
12 21
L
L
– коэффициент взаимной индукции контуров. Плотность тока смещения определяется формулой см (6.7) где
0
D
E – электрическое смещение (индукция электрического поля. Уравнения Максвелла в интегральной форме имеют вид
,
,
0,
S
V
L
S
S
L
S
D dS
dV
B
E dr
dS
t
B dS
D
H dr
j
dS
t
(6.8) Им соответствуют уравнения Максвелла в дифференциальной форме div
,
rot
,
div
0,
rot
D
B
E
t
B
D
H
j
t
(6.9) Здесь – плотность заряда, а j – плотность тока в данной точке.
70 К этим уравнениям следует добавить так называемые материальные уравнения
0 0
,
,
D
E
B
H
j
E
(6.10) Здесь λ – удельная электропроводность среды. Рассмотрим примеры решения задач. Задача 1. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю напряженностью 2 10 5
А/м, вращается стержень длиной м относительно оси, проходящей через его середину. В стержне индуцируется эдс 0,2 В. Определить угловую скорость стержня. При повороте стержня изменяется площадь контура, который пересекает вектор индукции магнитного поля.
2 2
2 2
2 Это приводит к возникновению эдс индукции в стержне. Изменение потока вектора магнитной индукции равно Дано
5 2 А мм В.
ind
Найти: .
71 2
0
Φ
4
l
d
B dS
B Следовательно, имеем
2 2
0 0
4 4
ind
l Отсюда получаем
2 0
4 20 рад с Ответ
2 0
4 20 рад с Задача 2. Катушка индуктивности
2 мкГн и сопротивлением Ом подключена к источнику постоянной эдс
3 В с нулевым внутренним сопротивлением. Параллельно катушке включено сопротивление
0 2 Ом. Найти количество тепла, которое выделится в катушке после размыкания ключа K . Когда ключ K будет отключен, в катушке возникнет эдс самоиндукции, которая вызовет ток как в самой катушке, таки в сопротивлении
0
R
. При этом в катушке будет выделяться джоулево тепло. Дано
2 мкГн Ом В 2 Ом
R
Найти:
Q
.
72 2
0
Q
I Rdt Согласно закону Ома
0 0
si
L
dI
I
R
R
R
R Решая это дифференциальное уравнение, получаем
0
R Константу C определим изначальных условий. В момент выключения ключа K , те. при
0
t
, Таким образом, получаем
0
R Подставляя полученное выражение в уравнение для количества теплоты и интегрируя, получаем
0 2
2 0
0 3
2 (
)
R R
t
L
L
Q
e
Rdt
мкДж
R
R Ответ
2 0
3 2 (
)
L
Q
мкДж
R R
R
Попробуйте решить предыдущую задачу, используя закон сохранения энергии. Задача 3. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиуса R , пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарными пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгновенное значение напряженности магнитного поля внутри конденсатора (в зависимости от расстояния
r
до его оси, если сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна I .
73 Чтобы найти напряженность магнитного поля, используем третье уравнение
(6.8). Запишем его в следующем виде см Выберем круговой контур радиусом
r
вокруг оси конденсатора, вдоль которой протекает ток проводимости I . Вычисляя циркуляцию H поэтому контуру, получаем
2
см
rH
I
I
Выразим ток смещения через изменение поверхностной плотности заряда на пластине конденсатора
. Так как
0
D
E
и
,
см
D
j
t
то
2 2
2
см
см
см
d
I
j Здесь
2
S
r – площадь контура. Выразим ток проводимости I через изменение : Видим, что
2 2
см
r
I
I
R
Дано:
, .
I Найти
( ).
H r
74 Подставляя это выражение в уравнение для циркуляции, получаем Видим, что напряженность магнитного поля сильно возрастает у оси конденсатора и становится равной нулю на его краях. Ответ
2 2
1 Следующие задачи решите самостоятельно. Задача 4. Контур находится в однородном магнитном поле с индукцией. Верхнюю часть контура – провод в виде полуокружности радиусом a – вращают с постоянной угловой скоростью вокруг оси
OO . В момент
0
t
магнитный поток через контур максимальный. Найти эдс индукции в контуре как функцию времени. Задача 5. Квадратная рамка со стороной a и длинный прямой провод стоком находятся водной плоскости. Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v . Найти эдс индукции в рамке как функцию расстояния x . (
2 0
)
2
(
)
(
ind
Ia
x
x x
a
v
). Задача 6. Две катушки намотаны на один общий сердечник. Индуктивность первой катушки
1 0,2 Гн
L
, второй –
75 2
0,8 Гн
L
; сопротивление второй катушки
2 600 Ом
R
Какой ток
2
I
потечет во второй катушке, если ток
1 0,3 А, текущий впервой катушке, выключить в течение времени
1 мс (0,2 А. Задача 7. В магнитное поле, индукция которого
0,05 Тл
B
, помещена квадратная рамка из медной проволоки. Площадь поперечного сечения проволоки
2 1 мм, площадь рамки
2 25 см. Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю. Какое количество электричества пройдет по контуру рамки при исчезновении магнитного поля Удельное сопротивление меди
6 0,017 10 Ом м . (0,0368 Кл. Задача 8. Найти закон изменения во времени тока, текущего через индуктивность в схеме после замыкания ключа K в момент
0
t
2 1
R Задача 9. Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор медленно разряжается объёмными токами проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой электрической проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить напряженность магнитного поля внутри конденсатора. Задача 10. Плоский конденсатор состоит из двух одинаковых металлических дисков, пространство между которыми заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
. Расстояние между внутренними поверхностями дисков равно d . Между обкладками конденсатора поддерживается переменное напряжение
0
sin (
)
V
V
t
. Пренебрегая краевыми эффектами, найти магнитное поле в пространстве между обкладками конденсатора. Задача 11. Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет переменный ток
0
sin (
)
I
I
t
. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния
r
от оси соленоида. Радиус сечения соленоида 2,
2
,
см
см
j
r
R
Br
j
r
R
BR
r
2 0
0
sin(
)
B
n
I
t ). РАСЧЕТНО – ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Следующие задания надо решить в соответствии свари- антом, определяемым по номеру студента в списке группы. Вариант. Материальная точка движется по прямой линии. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
A
Bt
C t
Dt ,
2 м,
3 мс,
2 0,1 м/с
С
,
3 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
5 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Тело брошено под углом
60 к горизонту сна- чальной скоростью
0 30 мс. Найти дальность s и время полета па также максимальную высоту подъема тела h . Найти нормальное
n
a
, тангенциальное a и полное a ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени п 3
t
t
3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость
0
. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k . При каком значении угла наклона шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние Чему оно равно
4. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения 480 об/мин и предоставлены самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через 80 с, а второй сделал оборотов до остановки. У какого маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз
5. Шар и цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости
6. В вершинах квадрата со стороной a имеется четыре заряда. Найти напряженность электрического поляна перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию расстояния. Восемь заряженных водяных капель радиусом
r
= 1 мм и зарядом q = 0,1 нКл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли.
8. Некоторое число n одинаковых источников тока, соединенных параллельно, подключены к внешнему сопротивлению. Если переключить полярность одного источника, то сила тока во внешнем сопротивлении уменьшится в 2 раза. Определить значение n .
9. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников стоками. Расстояние между проводниками АВ = 10 см, токи
1
I
= 20 Аи А. Найти напряженности H магнитного поля, вызванного токами
1
I
ив точках
1 2
, ММ и
3
М
Расстояния МА см,
2
АМ = 4 см и
3
ВМ = 3 см.
10. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U =
1 кВ, влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Индукция магнитного поля B = 1,19 мТл. Найти радиус R окружности, по которой движется электрон, период обращения и момент импульса L электрона.
11. В магнитном поле, индукция которого B = 0,05 Тл, помещена квадратная рамка из медной проволоки. Площадь поперечного сечения проволоки s = 1 мм, площадь рамки
S = 25 см. Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю. Какое количество электричества q пройдет по контуру рамки при исчезновении магнитного поля ( =
0,017 мкОм м.
12. Катушка диаметром D = 10 см, состоящая из N =
500 витков проволоки, находится в магнитном поле. Найти среднюю эдс индукции , возникающую в этой катушке, если индукция магнитного поля B увеличивается в течение времени
t
= 0,1 сот до 2 Тл. Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
3 4
( )
x t
Bt
C t
Dt ,
1 мс,
3 0,5 м/с
С
,
4 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии км, если начальная скорость снаряда
79 0
500 мс Определить радиус кривизны траектории снаряда через 10 с после выстрела. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Показанная на рисунке система находится в равновесии. Коэффициент трения покоя между бруском массой Ми поверхностью наклонной плоскости равен
0,4. Масса груза Мкг. В каких пределах может меняться масса m? Какова сила трения, если m = 1 кг
4. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.
5. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость или- нейную скорость будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша
6. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону
2 2
(
) / (
)
E
a xi
yj
x
y
, где
a
– постоянная, i и j – орты осей x и y . Найти поток вектора E через сферу радиусом R с центром вначале координат. Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет вид
2 2
2
a x
b y
c z , a ,
b и c – положительные константы. Найти напряженность поля
, ,
E x y z .
8. Проволочное кольцо включено в цепь, причем контакты делят длину кольца в отношении 1 : 2. В кольце выделяется мощность P = 108 Вт. Какая мощность
1
P
выделялась бы, если бы контакты были расположены по диаметру кольца при условии, что а) ток во внешней цепи не изменился б) напряжение на кольце не изменилось М
m
80 9. Найти разность потенциалов между точками 1 и 2 схемы, если
1
R
= 10 Ом,
2
R
= 20 Ом,
1
= 5 В и
2
= 2 В. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.
10. На рисунке изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников стоками. Расстояния
АВ = ВС = 5 см, токи
1 2
I
I
I
и
3 2
I
I
. Найти точку на прямой АС, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами
1 и
3
I
равна нулю.
11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = З В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии a = 4 мм от него. Какая сила F будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток I = 5 А
12. П-образный проводник находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости проводника и изменяющемся со скоростью B = 0,10 Тл/с. Вдоль параллельных сторон этого проводника перемещают безначальной скорости проводник-перемычку с ускорением a =
10см/с
2
. Длина перемычки l = 20 см. Найти эдс индукции в контуре через
t
= с после начала перемещения, если в момент
0
t
площадь контура и индукция магнитного поля равны нулю. Вариант. Материальная точка движется по окружности. Закон движения имеет вид
2
( )
s t
A
Bt
C t ,
1 м,
2 мс,
2 3 м/с
С
. Найти зависимость линейной скорости и тангенциального ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
3 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Тело брошено со скоростью
0 10 мс под углом
45 к горизонту. Найти радиус кривизны траектории движения тела через одну секунду после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол
30 . Гири 1 и 2 одинаковой массой m
1
= = m
2
= 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение ас которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Коэффициент трения гири о наклонную плоскость
k = 0,1.
4. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением рад/с
2
и через t
1
= 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг мс. Найти кинетическую энергию колеса через время t
2
= 20 с после начала движения.
5. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом м вращается с частотой
1
= 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой
2
будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I
1
= 2,94 до I
2
= 0,98 кг м Какую работу при этом совершит человек Считать платформу однородным диском.
6. В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность E электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов. Модуль каждого заряда q = 1,5 нКл; сторона шестиугольника a = 3 см.
7. В электрическом поле точечного заряда q на расстоянии находится свободно поворачивающийся электрический диполь с дипольным моментом
p
. Какую работу
A надо совершить, чтобы удалить диполь в бесконечность Считать, что длина диполя очень мала по сравнению с d .
8. Пластины плоского конденсатора площадью S =
0,01 м каждая притягиваются друг к другу с силой F = 30 мН. Пространство между пластинами заполнено слюдой. Найти заряды q , находящиеся на пластинах, напряженность
E поля между пластинами и объемную плотность энергии
w поля.
9. Амперметр с внутренним сопротивлением
A
R
= 2 Ом, подключенный к зажимам батареи, показывает ток
A
I
=
5 А. Вольтметр с внутренним сопротивлением
V
R
= 150 Ом, подключенный к зажимам такой же батареи, показывает
V
U
=12 В. Найти ток короткого замыкания
КЗ
I
батареи.
10. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся водной плоскости см. рисунок. Найти напряженности и магнитного поля в точках Ми М , если токи
1
I
= 2 Аи А. Расстояния
1 2
АМ
АМ = 1 см и
1 2
ВМ
СМ = 2 см.
11. Электрон влетает в однородное магнитное полена- правление которого перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона v = 4 10 7
мс. Индукция магнитного поля B = 1 мТл. Найти тангенциальное a и нормальное ускорения электрона в магнитном поле.
12. Скорость самолета с реактивным двигателем v =
950 км/ч. Найти эдс индукции
, возникающую между концами крыльев, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля в = 39,8 А/м и размах крыльев самолетам Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид ( )
sin(
)
x t
B t
C
t ,
1 мс,
2 м
С
,
1 рад/с . Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение, которые будет иметь точка в момент времени
3 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от с до
10
t
с.
2. Тело брошено со скоростью
0
под углом к горизонту. Найти скорость
0
и угол
, если известно, что высота подъема телами радиус кривизны траектории движения тела в верхней точке траектории R = 3 м.
3. На наклонную плоскость, составляющую угол сгори- зонтом, поместили два бруска 1 и 2. Массы брусков равны m
1
и
m
2
, коэффициенты трения между плоскостью и этими брусками – соответственно k
1
и k
2
, причем. Найти а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения б) значения угла
, при которых не будет скольжения.
4. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила
F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через время 5 с после начала действия силы
5. Столб высотой h = 3 ми массой m = 50 кг падает из вертикального положения на землю. Определить модуль момента импульса L столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю.
6. Два шарика с одинаковыми радиусами и массами подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол
2
= 60
о
Масса каждого шарика 0,05 г. Найти заряд q , если расстояние от центра шарика до точки подвеса l = 20 см.
7. Вычислить поток радиуса-вектора
r
через сферу радиусом с центром вначале координат.
1
2
1
1
84 8. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом W = 20 мкДж. После того как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совершить против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, A = 70 мкДж. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика. Дана электрическая цепь, в которой находится, помимо других сопротивлений, некоторое сопротивление
0
R
, потребляющее мощность N . Когда к клеммам этого сопротивления подключают параллельно еще одно такое же сопротивление, в них обоих также расходуется мощность N . Дать простейшую схему и расчет такой цепи.
10. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рисунок. Найти напряженности и магнитного поля в точках Ми М , если токи
1
I
= 2 Аи А. Расстояния
1 2
АМ
АМ = 1 см и АВ = 2 см.
11. Найти кинетическую энергию W в электронволь- тах) протона, движущегося по дуге окружности радиусом R
= 60 см в магнитном поле с индукцией B = 1 Тл.
12. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01 м
2
находится в однородном магнитном поле, индукция которого Тл. Плоскость витка перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю эдс индукции
, возникающую в витке при выключении поля в течение времени мс. Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид
3
( )
x t
Bt
Dt ,
2 мс,
3 0,05 м/с
D
Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
4 c
t
. Какой
85 путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Тело брошено под углом
45 к горизонту сна- чальной скоростью
0 20 мс. Найти дальность s и время полета па также максимальную высоту подъема тела h . Найти нормальное
n
a
, тангенциальное a и полное a ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени п 4
t
t
3. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол
15 с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в два раза меньше времени спуска.
4. Сплошной диск радиусом 20 см вращается под действием постоянной касательной силы 40 Н. Кроме того, на него действует момент сил трения 2 Нм, и угловое ускорение его равно 30 рад/с
2
. Определить массу диска.
5. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 ми массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой = = 10 мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы
6. С какой силой
l
F
электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле Линейная плотность заряда на нити = 3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости = 20 мкКл/м
2 7. Напряженность некоторого электростатического поля определяется выражением
3 2
( /
)(
)
E
a r
r r , где a – константа. Найти потенциал этого поля ( )
r .
8. Электрический мотор поднимает вертикально вверх груз весом P = 15 Н со скоростью v = 25 см/с. Каков минимальный ток I в моторе, если он присоединен к батарее с
6 В. Девять 10-омных резисторов соединены, как показано на рисунке. Между точками и
86
b
приложено напряжение 20 В. Определить ток через каждый резистор.
10. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По проводникам текут токи
1 2
I
I
= 5 А в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии см от каждого проводника.
11. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью v = 10 6
мс. Индукция магнитного поля B = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия W = 12 кэВ.
12. В однородном магнитном поле, индукция которого
B = 0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью рад/с. Площадь рамки S = 150 см. Ось вращения находится в плоскости рамки и составляет угол
ос направлением магнитного поля. Найти максимальную эдс индукции max во вращающейся рамке. Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
2 4
( )
x t
B C t
Dt ,
2 м,
2 0,5 м/с
С
,
4 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2,2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии км, если начальная скорость снаряда
0 800 мс Определить радиус кривизны траектории снаряда в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Показанная на рисунке система находится в М
m
87 равновесии. Коэффициент трения покоя между бруском массой Ми поверхностью наклонной плоскости равен 0,2. Масса груза Мкг. В каких пределах может меняться масса m? Какова сила трения, если m = 1 кг
4. Легкая нить с прикрепленным к ней грузом массой 2 кг намотана на сплошной вал радиусом 10 см. При разматывании нити груз опускается с ускорением 0,5 мс. Определить массу и момент инерции вала.
5. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью 10 св горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня, Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
6. С какой силой
l
F
на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда = 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии
1
r
= 2 см друг от друга Какую работу
l
A
на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния
2
r
= 1 см
7. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид
2 2
2
(
)
a x
y
b z , где a и
b – положительные константы. Найти напряженность поля E . Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности Какую форму имеют поверхности, для которых. Какую работу A надо совершить, чтобы поместить четыре точечных одноименных заряда q в вершины квадрата со стороной a ?
9. Эдс элементов
1
= 2,1 В и
2
= 1,9 В, сопротивления
1
R
= 45 Ом,
2
R
= 10 Ом,
3
R
= 10 Ом. Найти токи
i
I
во всех участках цепи. Ток I = 20 А идет подлинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстояние
10 см. Найти отношение q m для заряженной частицы, если она, влетая со скоростью v = 10 6
мс в однородное магнитное поле напряженностью H = 200 кА/м, движется по дуге окружности радиусом R = 8,3 см. Направление скорости движения частицы перпендикулярно к направлению магнитного поля. Сравнить найденное значение со значением для электрона, протона и α – частицы. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S
= 3,0 мм, число витков N = При повороте катушки на o
180 вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд q = мкКл. Найти модуль индукции магнитного поля между полюсами, если сопротивление электрической цепи R = 40Ом.
В ариан т № 7 1. Материальная точка движется по окружности. Закон движения имеет вид
2
( )
s t
A
Bt
C t ,
0 м,
3 мс,
2 1м/с
С
. Найти зависимость линейной скорости и тангенциального ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
1,5 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Тело брошено со скоростью
0 20 мс под углом
60 к горизонту. Найти радиус кривизны траектории движения тела через 1,2 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол
m
30
m
1
89 30 . Гири 1 и 2 одинаковой массой m
1
= m
2
= 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение ас которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Коэффициент трения гири о наклонную плоскость k = 0,1.
4. Горизонтальная балка опирается своими концами на две опоры. Одну из опор быстро выбивают. Определить силу давления балки на другую опору сразу после удаления первой. Масса балки m. Балку считать однородным стержнем. Вычислить момент импульса Земли L
0
, обусловленный ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот момент с моментом импульса L, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли – окружностью.
6. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии
r
= 10 см друг от друга. Линейные плотности заряда на нитях
1
= 10 мкКл/м и
2
= 7 мкКл/м. Найти напряженность E результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии a = 8 см отпер- вой нити и b = 6 см от второй.
7. Найти силу притяжения F между точечным электрическим диполем и бесконечной металлической пластинкой, если дипольный момент p перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние диполя до ближайшей поверхности равно d . Определить также работу А, которую надо затратить, чтобы удалить диполь от пластинки с расстояния до
2
d
8. Конденсатор емкостью C без диэлектрика имеет заряд. Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить диэлектриком с проницаемостью ?
9. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на напряжение 110 В и имеющие мощности 50, 50 и 100 Вт. По какой схеме можно включить эти лампочки в сеть сна- пряжением 220 В так, чтобы все они горели полным накалом. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу идет ток I = 5 А.
90 Найти радиус R витка, если напряженность магнитного поля в центре витка H = 41 А/м.
11. Магнитное поле напряженностью H = 8 кА/м и электрическое поле напряженностью E = 1 кВ/м направлены одинаково. Электрон влетает в электромагнитное поле со скоростью v = 10 5
мс. Найти нормальное
n
a
, тангенциальное и полное a ускорения электрона. Задачу решить, если скорость электрона направлена а) параллельно направлению электрического поля б) перпендикулярно к направлению электрического поля.
12. Круговой контур, имеющий площадь S и сопротивление вращают с постоянной угловой скоростью вокруг его диаметра, который перпендикулярен к однородному магнитному полюс индукцией B . Пренебрегая магнитным полем индукционного тока, найти, каким моментом силы
( )
M t надо действовать на контур в этих условиях. В момент плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид ( )
sin(
)
x t
B t
C
t
,
2 мс,
1 м
С
,
2 рад/с
. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение, которые будет иметь точка в момент времени
2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от с до
10
t
с.
2. Тело брошено со скоростью
0
под углом к горизонту. Найти скорость
0
и угол
, если известно, что высота подъема телами радиус кривизны траектории движения тела в верхней точке траектории R = 500 м.
3. На наклонную плоскость, составляющую угол сгори- зонтом, поместили два бруска 1 и 2. Массы брусков равны m
1
и
m
2
, коэффициенты трения между плоскостью и этими брусками – соответственно k
1
и k
2
, причем k
1
> k
2
. Найти а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения б) значения угла
, при которых не будет скольжения.
4. К ободу диска радиусом R = 5 см приложена касательная сила
F = 19,6 Н. Какой момент импульса будет иметь диск через время 5 с после начала действия силы
5. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом м вращается с частотой
1
= 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой
2
будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I
1
= 2,94 до I
2
= 0,98 кг м Какую работу при этом совершит человек Считать платформу однородным диском.
6. Два одинаковых шарика с зарядами
1
q
и
2
q
, подвешены на нитях одинаковой длины, помещены в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе ив керосине был один и тот же
7. На пластины плоского конденсатора, расстояние между которыми
3 см, подана разность потенциалов U = 1 кВ. Пространство между пластинами заполняется диэлектриком. Найти поверхностную плотность связанных поляризационных) зарядов
. Насколько изменяется поверхностная плотность заряда на пластинах при заполнении конденсатора диэлектриком Задачу решить, если заполнение конденсатора диэлектриком производится а) до отключения конденсатора от источника напряжения б) после отключения конденсатора от источника напряжения.
8. Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти одинаковых проводников, если добавить еще два таких же проводника, как показано штриховой линией на рисунке
9. В схеме заданы
1
R
и
2
R
, а также
1
и
2
. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. При каком сопротивлении выделяемая на нем тепловая мощность будет максимальной Чему она равна
10. Два круговых витка радиусом R = 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии d
= 10 см друг от друга. По виткам текут токи
1 2
I
I
= 2 А. Найти напряженность H магнитного поляна оси витков в точке, находящейся на равном расстоянии от них. Задачу решить, когда а) токи в витках текут водном направлении б) токи в витках текут в противоположных направлениях.
11. На соленоид длиной l = 20 см и площадью поперечного сечения S = 30 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 320 витков, и по нему идет ток
I = 3 А. Какая средняя эдс индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение времени
t
= 1 мс
12. Магнитное поле, индукция которого B = 0,5 мТл, направлено перпендикулярно к электрическому полю, напряженность которого
1 кВ м. Пучок электронов влетает в электромагнитное поле, причем скорость v электронов перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векторы E и
B . Найти скорость электронов v , если при одновременном действии обоих полей пучок электронов не испытывает отклонения. Каким будет радиус R траектории движения электронов при условии включения одного магнитного поля Вариант. Материальная точка движется по прямой линии. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
A
Bt
C t
Dt ,
1 м,
0,4 мс,
2 0,5 м/с
С
,
3 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
4 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
93 2. Тело брошено под углом
45 к горизонту сна- чальной скоростью
0 50 мс. Найти дальность s и время полета па также максимальную высоту подъема тела h . Найти нормальное
n
a
, тангенциальное a и полное a ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени п 3
t
t
3. Лодка движется относительно воды со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше
4. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением рад/с
2
и через t
1
= 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг мс. Найти кинетическую энергию колеса через время t
2
= 20 с после начала движения.
5. Столб высотой h = 3 ми массой m = 50 кг падает из вертикального положения на землю. Определить модуль момента импульса L столба относительно точки опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю.
6. В вершинах квадрата со стороной a находятся одинаковые одноименные заряды, равные q . Какой заряд Q противоположного знака необходимо поместить в центре квадрата, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю
7. Разность потенциалов между точками Аи В равна U
= 9 В. Имеются два проводника с сопротивлениями
1
R
= 5 Ом и
2
R
= 3 Ом. Найти количество теплоты Q , выделяющееся в каждом проводнике в единицу времени, если проводники между точками Аи В соединены а) последовательно б) параллельно.
8. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая восприимчивость которого
= 0,08. Расстояние между пластинами
d = 5 мм. На пластины конденсатора подана разность потенциалов кВ. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике и поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора.
9. Мощность, рассеиваемая на резисторе сопротивлением, подсоединенном к батарее, равна P . Чему равна эдс
94 батареи, если мощность не изменилась при замене сопротивления на
2
R
?
10. По плоскому контуру, изображенному на рисунке, течет ток силой I
= 1 А. Угол между прямолинейными участками контура прямой. Радиусы
1
r
= 10 см и
2 20 см. Найти магнитную индукцию B в точке С.
11. Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой S = 1 мм. Длина соленоида l = 25 см его сопротивление R = 0,2 Ом. Найти индуктивность L соленоида. ( = 0,017 мкОм м.
12. Магнетрон – это прибор, состоящий из нити накала радиусом a и коаксиального цилиндрического анода радиусом, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов U . Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода. Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
Bt
C t
Dt ,
2 мс,
2 1 м/с
С
,
3 0,3 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
3 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
5
t
с.
2. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии км, если начальная скорость снаряда
0 700 мс Определить радиус кривизны траектории снаряда через 5 с после выстрела. Сопротивлением воздуха пренебречь.
95 3. Материальная точка массой m движется в плоскости
xy
по закону sin(
)
x
R
t , cos(
)
y
R
t , где
R
и
– положительные постоянные. Определить модуль и направление силы, действующей на точку.
4. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.
5. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью 10 св горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня, Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
6. Два шарика с зарядами
1
q
= 6,66 нКл и
2
q
= 13,33 нКл находятся на расстоянии
1
r
= 40 см. Какую работу A надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния
2
r
= 25 см
7. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом. Расстояние между пластинами d =
4 мм. На пластины конденсатора подана разность потенциалов кВ. Найти а) напряженность E поля в стекле б) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора в) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле г) диэлектрическую восприимчивость стекла. Диэлектрическая проницаемость стекла
6 8. Элемент замыкают сначала на внешнее сопротивление
1
R
= 2 Ома затем на внешнее сопротивление
2
R
= 0,5 Ом. Найти эдс элемента и его внутреннее сопротивление, если известно, что в каждом из этих случаев мощность, выделяющаяся во внешней цепи, одинакова и равна P = 2,54 Вт.
9. В схеме, изображенной на рисунке,
1
= 1 В,
2
= 2 В,
3
= 3 В,
1
R
= 100 Ом,
2
R
= 200 Ом,
3
R
= 300 Ом,
4
R
=
400 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы тока
1 2
3
,
,
I
I
I
и
4
I
, текущие через сопротивления.
10. Определить индукцию магнитного поля B в центре кольца, по которому течет ток I см. рисунок. Магнитное поле радиальных подводящих проводников скомпенсировано.
11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом o
30
к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 13 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории.
12. Две катушки имеют взаимную индуктивность
12
L
=
5 мГн. Впервой катушке ток изменяется по закону
0
sin
I
I
t
, где
0
I
= 10 АТ и T = 0,02 с. Найти зависимость от времени
t
эдс
2
, индуцируемой во второй катушке, и наибольшее значение
2 max этой эдс. Вариант. Материальная точка движется по окружности. Закон движения имеет вид
2
( )
s t
A
Bt
C t ,
2 м,
3 мс,
2 1 м/с
С
. Найти зависимость линейной скорости и тангенциального ускорения точки от времени. Определить координату s , скорость , и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
1,5 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости) ив интервале от
0
t
с до с.
2. Тело брошено со скоростью
0 15 мс под углом
60 к горизонту. Найти радиус кривизны траектории движения тела через одну секунду после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Точка движется по прямой согласно уравнению
( )
sin(
)
x t
A
t
. Найти зависимость силы, действующей на точку, от ее координаты x. Масса точки m. Аи постоянные. Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 ми массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой = 10 мин. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. Какую угловую скорость будет иметь платформа, если человек перейдет в центр платформы
5. Горизонтальная балка опирается своими концами на две опоры. Одну из опор быстро выбивают. Определить силу давления балки на другую опору сразу после удаления первой. Масса балки m. Балку считать однородным стержнем. Два равных по величине заряда
9 1
2 0
К
3
л
1
q
q
расположены в вершинах при острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника на расстоянии 2 2 см. Определить, с какой силой эти два заряда действуют на третий заряд
9 Кл, расположенный в вершине при прямом угле треугольника. Рассмотреть случаи, когда первые два заряда одно- и разноименные.
7. Найти потенциал точки поля, находящейся на расстоянии см от центра заряженного шара радиусом R
= 1 см. Задачу решить, если а) задана поверхностная плотность заряда на шаре
= 0,1 мкКл/м
2
; б) задан потенциал шара
0
= 300 В.
8. К источнику с эдс
= 100 Вподключили последовательно два воздушных конденсатора, каждый емкостью C =
40 пФ. Затем один из конденсаторов заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью
= 3. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе Какой заряд пройдет через источник
9. В схеме, изображенной на рисунке,
1
=
10 В,
2
= 20 В,
3
= 30 В,
1
R
= 1 Ом,
2
R
= 2 Ом,
3
R
= 3 Ом,
4
R
= 4 Ом,
5
R
= 5 Ом,
6
R
= 6 Ом,
7
R
= 7 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы тока
1 2
,
I
I
и
3
I
98 10. Из проволоки длиной l = 1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток I = 10 А. Найти напряженность
H магнитного поля в центре рамки.
11. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 10 7
мс. Длина конденсатора l = 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора E = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля B =
10 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.
12. Катушка длиной l = 20 см и диаметром D = 3 см имеет N = 400 витков. По катушке идет ток I = 2 А. Найти индуктивность L катушки и магнитный поток Ф , пронизывающий площадь ее поперечного сечения. Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид ( )
sin(
)
x t
B t
C
t ,
1 мс,
5 м
С
,
0,5 рад/с . Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение, которые будет иметь точка в момент времени
6 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от с до
10
t
с.
2. Твердое тело вращается с угловой скоростью
2
at i
bt j , где а = 0,5 рад/с
2
, b = 0,06 рад/с
3
, i и j – орты осей x и y. Найти модули угловой скорости и углового ускорения в момент t = 10 с.
3. Точка движется по прямой согласно уравнению cos(
)
x t
A
t . Найти зависимость силы, действующей на точку, от ее координаты x. Масса точки m. Аи постоянные. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий
99 момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.
5. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость и линейную скорость будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша
6. В вершинах квадрата со стороной 0,1 м помещены заряды по 0,1 нКл. Определить напряженность в центре квадрата, если один из зарядов отличается по знаку от остальных. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S . Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от
1
x
до
2
x
, если при этом поддерживать неизменным а) заряд конденсатора q ; б) напряжение на конденсаторе U ?
8. Амперметр с сопротивлением
A
R
= 0,16 Ом зашунтирован сопротивлением R = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток
0
I
= 8 А. Найти ток I вцепи. Определить сопротивление проволочного каркаса, имеющего форму куба, если напряжение подводится к точкам Аи В. Сопротивление каждой стороны равно R .
10. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле напряженностью H при разности потенциалов на концах витка. Какую надо приложить разность потенциалов
2
U
, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки
11. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,6 мм имеет однослойная обмотка катушки, индуктивность которой мГн и диаметр D = 4 см Витки плотно прилегают друг к другу.
12. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения S = 20 см и число витков N = 500. Индуктивность катушки с сердечником L = 0,28 Гн притоке через обмотку I = 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника. Вариант. Материальная точка движется по прямой линии. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
A
Bt
C t
Dt ,
2 мм м/c
С
,
3 0,05 м. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
7 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Лодка движется относительно воды со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше
3. Аэростат массой
250
m
кг начал опускаться с ускорением м. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивления воздуха нет.
4. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом м вращается с частотой
1
= 15 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в руках гири. С какой частотой
2
будет вращаться платформа, если человек, подняв руки, увеличит свой момент инерции от I
1
= 0,98 до I
2
=
2,94 кг м Какую работу при этом совершит человек Считать платформу однородным диском.
5. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением рад/с
2
и через t
1
= 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг мс. Найти кинетическую энергию колеса через время t
2
= 20 с после начала движения.
6. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. Какой заряд q надо сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала равна
98 мН?
T
Расстояние от
101 центра шарика до точки подвеса
10 см масса каждого шарика
5 г. Шарик массой m = 1 г и зарядом q = 10 нКл перемещается из точки 1, потенциал которой
1
= 600 В, в точку 2, потенциал которой
2
= 0. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной
2
v = 20 см/с.
8. Конденсатор емкости С = 1 мкФ, заряженный дона- пряжения U = 110 В, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных незаряженных конденсаторов, емкости которых С = 2 мкФ и С = 3 мкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам
9. Найти показание амперметра вцепи, изображенной на рисунке.
10. По проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, идет ток I = 2 А. При этом в центре рамки образуется магнитное поле напряженностью А/м. Найти длину l проволоки, из которой сделана рамка.
11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U =
3 кВ, влетает в магнитное поле соленоида под углом
о к его оси. Число ампер-витков соленоида IN =
5000 А
в. Длина соленоида l = 25 см. Найти шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.
12. Квадратная рамка из медной проволоки сечением s
= 1 мм помещена в магнитное поле, индукция которого меняется по закону
0
sin
В
В
t , где В = 0,01 Тл,
2 / Тис. Площадь рамки S = 25 см. Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти зависимость от времени и наибольшее значение а) магнитного потока Ф , пронизывающего рамку б) эдс индукции, возникающей в рамке в) тока I , текущего по рамке.
(
= 0,017 мкОм мВ ариан т № 14
102 1. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
Bt
C t
Dt ,
5 м,
2 3 м/c
С
,
3 0,5 м. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
5
t
с.
2. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
3. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением a = 0,62 мс по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиусом
R
= 40 м. Коэффициент трения скольжения между колесами машины и поверхностью. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю
4. Сплошной диск радиусом 20 см вращается под действием постоянной касательной силы 40 Н. Кроме того, на него действует момент сил трения 2 Нм, и угловое ускорение его равно 30 рад/с
2
. Определить массу диска.
5. Шар и полый цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости
6. Конденсатор ёмкостью 16 мкФ последовательно соединен с конденсатором неизвестной ёмкости, и они подключены к источнику постоянного напряжения 12 В. Определить ёмкость второго конденсатора, если заряд батареи 24 мкКл.
7. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды q = 2 нКл. Какой отрицательный заряд q
1
необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения сего стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов
103 8. Определить плотность тока в нихромовом проводнике
(
6 1,1 10 Ом м ) длиной 5 м, если на его концах поддерживается разность потенциалов 2 В.
9. Два источника с ЭДС
1
= 2 В и
2
= 1,5 В и внутренними сопротивлениями Ом и
2
r
= 0,4 Ом включены параллельно сопротивлению R =
2 Ом. Определить силу тока через это сопротивление.
10. Изолированный проводник изогнут в виде прямого угла со сторонами 20 см каждая. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцу. Найти индукцию в центре кольца. Силы токов в проводниках равны 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать.
11. Из проволоки сделано полукольцо радиусом 10 см, по которому протекает ток силой 10 А. Полукольцо помещено в магнитное поле. Вектор индукции лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен диаметру. Индукция магнитного поля равна 50 мТл. Определить силу, действующую на проволоку.
12. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов
88 кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01 Тл. Определить радиус траектории электрона. Вариант. Материальная точка движется по окружности. Закон движения имеет вид
2
( )
s t
A
Bt
C t ,
1 мм м/c
С
. Найти зависимость линейной скорости и тангенциального ускорения точки от времени. Определить координату s , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2 c
t
. Какой
104 путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением
3
( )
s t
C t , где
3 см. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки
0,3 мс. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол
30 . Гири 1 и 2 одинаковой массой кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение ас которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Коэффициент трения гири о наклонную плоскость k = 0,1.
4. Частота вращения
0
маховика, момент инерции I равен 120 кг·м
2
, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент M сил трения. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью
1,5 мс. Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути. Свинцовый шарик (ρ = 11,3 г/см
3
) диаметром 0,5 см помещен в глицерин (ρ = 1,26 г/см
3
). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е = 4 кВ/см.
7. Электростатическое поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью, с поверхностной плотностью нКл/м
2
. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях x
1
= 20 см и x
2
= 50 см от плоскости.
m
30
m
105 8. Два конденсатора ёмкостью по 3 мкФ заряжены один до напряжения 100 В, а другой до 200 В. Определить напряжение между обкладками конденсатора, если они соединены параллельно одноименно заряженными обкладками разноименно заряженными обкладками. Напряжение на концах проводника сопротивлением 5 Ом за 0,5 с равномерно возрастает от 0 до 20 В. Какой заряд проходит через проводник за это время. По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки. Нерелятивистские протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона. При какой напряженности электрического поля в вакууме объёмная плотность энергии этого поля будет такой же, как у магнитного поля с индукцией
1 Тл
B
1 2 3 4 5
(тоже в вакууме)?
В ариан т № 16 1. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид ( )
sin(
)
x t
B t
C
t
,
0,5 мс,
3 м
С
,
0,7 рад/с . Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение, которые будет иметь точка в момент времени
2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от с до
10
t
с.
2. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
3. Груз массой 700 кг падает с высоты 5 м для забивки сваи массой 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт
106 на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.
4. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения диска.
5. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в три раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.
6. Расстояние l между зарядами q
1
= 2 нКл и q
2
= -2 нКл равно 20 см. Определить напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии r
1
= 15 см от первого и r
2
= 10 см от второго заряда.
7. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной плоскостью с поверхностной плотностью нКл/м
2
. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния r
1
= 2 см до r
2
= 1 см
8. Найти ёмкость системы одинаковых конденсаторов между точками A и B, которая показана на рисунке.
9. Температура вольфрамовой нити электролампы 2000 С (
8 0
5,5 10 Ом м 5,2 10 К ). Диаметр нити
0,02 мм, сила тока в ней 4 А. Определить напряженность поля в нити.
10. Ток
5 А течет по тонкому замкнутому проводнику. Радиус изогнутой части проводника мм, угол
2 90
. Найти магнитную индукцию в точке О.
11. Виток радиусом 2 см, сила тока в котором 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной. Заряженная частица движется по окружности радиусом мм в однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является а) нерелятивистский протон б) релятивистский электрон.
В ариан т № 17 1. Материальная точка движется по прямой линии. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
A
Bt
C t
Dt ,
0,5 м,
0,7 мс,
2 1м/с
С
,
3 0,1 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
3 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до с.
2. Тело брошено под углом
60 к горизонту сна- чальной скоростью
0 30 мс. Найти дальность s и время полета па также максимальную высоту подъема тела h . Найти нормальное
n
a
, тангенциальное a и полное a ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени п. Аэростат массой кг начал опускаться с ускорением мс. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивления воздуха нет.
108 4. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению
2 3
( )
t
A Bt
C t (В = 2 рад/с
2
, С = - 0,5 рад/с
3
). Определить момент сил М для t = 3 с.
5. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой Мкг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой
1
= 10 мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой
2
будет тогда вращаться платформа.
6. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью σ =1 нКл/см
2
расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол о. Определить поток ФЕ вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r равен 15 см.
7. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом и напряженность поля в зазоре равна
0
E
. Затем половину зазора параллельно обкладкам заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью
. Найти модули векторов
E ив обеих частях зазора, если при введении диэлектрика а) напряжение между обкладками не менялось б) заряды на обкладках оставались неизменными.
8. Амперметр с сопротивлением
A
R
= 0,16 Омзашунти- рован сопротивлением R = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток
0
I
= 8 А. Найти ток I вцепи. Постоянный ток I течет подлинному прямому проводу и далее растекается радиально-симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.
10. На постоянный магнит, имеющий форму тонкого цилиндра длиной
15 см, намотали равномерно витков тонкого провода. При пропускании по нему тока
3 А поле вне магнетика исчезло. Найти коэрцитивную силу
c
H
материала магнита.
11. На концах крыльев самолета с размахом 20 м, летящего со скоростью 900 км/ч, возникает эдс индукции 0,06
109 В. Определить вертикальную составляющую магнитного поля Земли.
12. На соленоид индуктивностью
128 Гн
L
надето изолированное кольцо того же диаметрам. Определить эдс индукции в кольце и эдс самоиндукции в соленоиде, если за 0,01 сток в его обмотке равномерно снижается до нуля. Первоначальный ток
1 0,1 А, а индукция магнитного поля соленоида
1 1,7 Тл
B
В ариан т № 18 1. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид
( )
cos(
)
x t
B t
C
t ,
1 мс,
2 м
С
,
0,5 рад/с . Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
3 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Лодка движется относительно воды со скоростью, в полтора раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше
3. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид
3 2
/
/
U
a r
b r
, где a и b – положительные константы. Найти силу, действующую на частицу, и работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3).
4. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I = 1,5 кг·м
2
, вращаясь при торможении равноза- медленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с
1
= 240 об/мин до
2
= 120 об/мин. Определить угловое ускорение ε маховика, момент М силы торможения и работу торможения А.
5. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом см, момент инерции которого I = 0,15 кг·м
2
, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз
110 массой m = 0,5 кг. До начала вращения вала высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить время опускания груза до пола, силу натяжения нити, кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Трением оси вала пренебречь.
6. Два разноименных точечных заряда q и -4q находятся на расстоянии a друг от друга. Каким должен быть третий заряди где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии
7. Заряд Q равномерно распределен по объему непро- водящего шара радиуса R. Чему равна напряженность поляна расстоянии r от центра шара Постройте график зависимости. На рисунке изображена бесконечная цепь, образованная повторением одного итого же звена, состоящего из сопротивлений
1
R
= 2 Ом и
2
R
= 4 Ом. Найти сопротивление R этой цепи.
9. Определить индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной a = 15 см, если по рамке течет ток силы I = 5 А.
10. Каковы нормальное и тангенциальное ускорения электрона, движущегося в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях Рассмотреть случаи а) скорость электрона направлена вдоль полей б) скорость электрона направлена перпендикулярно к ним.
11. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Зависимость
(
)
B
f H
для материала сердечника дана на рис. 5.1. Определить напряженность и индукцию поля в соленоиде, атак- же магнитную проницаемость сердечника.
12. При разрядке плоского конденсатора, площадь обкладок которого равна 10 см, заполненного диэлектриком св подводящих проводах течет ток 1 мкА. Определить скорость изменения напряженности электрического поля в конденсаторе. Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид
3
( )
x t
Bt
Dt ,
1 мс,
3 0,02 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
4 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от с до
10
t
с.
2. Точка прошла половину пути со скоростью
0
. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью
1
, а последний участок прошла со скоростью
2
. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
3. На гладком столе лежат два связанных нитью бруска массами
1
m
= 400 г и
2
m
= 600 г. К одному из них приложена горизонтальная сила F = 2 Н. Найдите силу T натяжения нити, если сила приложена а) к первому бруску б) ко второму бруску.
4. Шар массой г, движущийся горизонтально сне- которой скоростью
1
(
1
c
), столкнулся с неподвижным шаром массой г. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму
5. Тонкий однородный стержень длиной l может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Стержень установили горизонтально и отпустили. Определить скорость нижнего конца стержня в момент прохождения им положения равновесия. Трением пренебречь.
6. Три одинаковых положительных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Определите величину напряженности поля Ев точке А, лежащей на расстоянии а от каждого заряда.
7. Два одноименных точечных заряда q
1
и q
2
с массами
m
1
и m
2
движутся навстречу друг другу. Когда расстояние между ними равно r, их скорости равны
1
и
2
. До какого минимального расстояния r
min сблизятся заряды
8. Заряженный конденсатор заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Как изменяются заряд
112 конденсатора q, напряжение U, напряженность поля в конденсаторе Е, его энергия W, если а) конденсатор отключен от батареи б) конденсатор подключен к батарее
9. Реостат подключен к источнику тока. При изменении сопротивления реостата от R
1
= 4 Ом до R
2
= 9,5 Ом сила тока вцепи изменяется от I
1
= 8 А до I
2
= 3,6 А. Найдите эдс источника тока и его внутреннее сопротивление.
10. Найдите ток короткого замыкания I
кз аккумуляторной батареи, если притоке А нагрузка потребляет мощность P
1
= 30 Вт, а притоке А – мощность P
2
=
40 Вт.
11. Из проволоки длиной l = 1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток I = 10 А. Найти напряженность H магнитного поля в центре рамки.
12. Круговой контур радиусом r = 2 см помещен вод- нородное магнитное поле, индукция которого B = 0,2 Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Сопротивление контура R = 1 Ом. Какой заряд пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
2 4
( )
x t
B C t
Dt ,
1 м,
2 0,5 м/с
С
,
4 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2,2 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Пусть скорость катера относительно воды меньше скорости течения
2 1
. Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным На какое расстояние min
s
при этом снесет катер
3. Деревянный шарик массой m = 0,1 кг падает с высоты м. Коэффициент восстановления скорости при ударе шарика о пол k = 0,5. Найти высоту h
2
, на которую поднимается шарик после удара о пол, и количество теплоты Q, выделившейся при ударе.
113 4. Цилиндрический шкив на спицах посажен на неподвижную горизонтальную ось. Радиус шкива R = 10 см, его масса m = 3 кг. На шкив намотан шнур с подвешенным на нем грузом, который, опускаясь, раскручивает шкив так, что его угловая скорость изменяется по закону
a
bt , где b
= 3 с. Определите силу натяжения нити. Считать что масса шкива равномерно распределена по поверхности цилиндра.
5. Стержень массой m и длиной l подвешен за один конец и находится в горизонтальном положении. Чему равна работа, совершенная системой при перемещении стержня в вертикальное положение, если момент силы трения остается постоянными равен M
тр
6. Два одноименных точечных заряда q и 4q находятся на расстоянии а друг от друга. Каким должен быть третий заряди где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии
7. Электрическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поляк нити вдоль линии напряженности с расстояния r
1
=1,5 см до r
2
=1 см
8. Эдс батареи
= 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, I
max
= 5 А. Какая наибольшая мощность может выделиться на подключенном к батарее резисторе с переменным сопротивлением
9. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом W = 20 мкДж. После того как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совершить против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, А = 70 мкДж. Найти диэлектрическую проницаемость ε диэлектрика. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле напряженностью H при разности потенциалов на концах витка. Какую надо приложить разность потенциалов U
2
, чтобы получить такую же напряженность магнитного поля в центре витка вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки
11. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиной l = 30 см объемная плотность энергии магнитного поля была равна W
0
=
1,75 Дж/м
3
?
12. В магнитном поле, индукция которого B =0,05 Тл, вращается стержень длиной l = 1 мс угловой скоростью ω =
20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельна магнитному полю. Найти эдс индукции , возникающую на концах стержня. Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
Bt
C t
Dt ,
1 м,
2 2 м/c
С
,
3 0,5 м. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
0,5 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
5
t
с.
2. В результате упругого лобового столкновения частицы массой
1
m
с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.
3. Металлический шарик массой 5 г падает с высоты 1 м на горизонтальную поверхность стола и, отразившись от нее, поднимается на высоту 0,8 м. Определить среднюю силу удара, если соприкосновение шарика со столом длилось
0,01 с.
4. Сила, приложенная к телу, выражается зависимостью Н. Чему равен момент этой силы относительно оси
1 2 3 4 5
z, если точка приложения этой силы имеет координаты x = 4,2 мм м
5. Найти момент инерции и момент импульса земного шара относительно оси вращения, если принять Землю за однородный шар массой m = 5,96 10 24
кг и радиусом R = 6,37 10 6
мВ вершинах квадрата со стороной a имеется четыре заряда. Найти напряженность электрического поляна перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию расстояния x .
7. Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет вид
2 2
2
a x
b y
c z , a ,
b и c – положительные константы. Найти напряженность поля
, ,
E x y z .
8. Вычислить поток радиуса-вектора
r
через сферу радиусом с центром вначале координат.
9. Пластины плоского конденсатора площадью S =
0,01 м каждая притягиваются друг к другу с силой F = 30 мН. Пространство между пластинами заполнено слюдой. Найти заряды q , находящиеся на пластинах, напряженность
E поля между пластинами и объемную плотность энергии
w
поля.
10. Имеются три электрические лампочки, рассчитанные на напряжение 110 В и имеющие мощности 50, 50 и 100 Вт. По какой схеме можно включить эти лампочки в сеть с напряжением 220 В так, чтобы все они горели полным накалом. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По проводникам текут токи
1 2
I
I
= 5 А в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии см от каждого проводника.
12. На соленоид длиной l = 20 см и площадью поперечного сечения S = 30 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 320 витков, и по нему идет ток
I = 3 А. Какая средняя эдс индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в течение времени
t
= 1 мс Вариант. Материальная точка движется по прямой линии. Закон движения имеет вид
2 3
( )
x t
A
Bt
C t
Dt ,
0 м,
1 мс,
2 1м/с
С
,
3 0,11 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь
116 точка в момент времени
3
t
c . Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Человек, масса которого 70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью 7 мс. Определить силу трения тележки о землю, если тележка после толчка остановилась через 5 с. Перед прыжком тележка была неподвижна относительно земли.
3. Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв, в тело массой M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длиной l. В результате нити отклонились на угол . Считая m
M , найти а) скорость пули перед попаданием в тело б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла во внутреннюю энергию.
4. Найти момент инерции барабана, радиус которого равен R = 0,2 м, если известно, что груз массой m = 5 кг, прикрепленный к намотанному на барабан шнуру, опускается с ускорением a = 2 мс 5. На краю платформы массой M = 200 кг и радиусом R
= 2 м стоит человек, масса которого равна m = 70 кг. Платформа вращается с угловой скоростью
1 1 рад с. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек пойдет по ее краю со скоростью 5 км/ч относительно платформы Рассмотреть два случая а) человек движется походу вращения б) против хода.
6. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону
2 2
(
) / (
)
E
a xi
yj
x
y
, где
a
– постоянная, i и j – орты осей x и y . Найти поток вектора E через сферу радиусом R с центром вначале координат. Восемь заряженных водяных капель радиусом
r
= 1 мм и зарядом q = 0,1 нКл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли.
8. Электрический мотор поднимает вертикально вверх груз весом P = 15 Н со скоростью v = 25 см/с. Каков минимальный ток I в моторе, если он присоединен к батарее с
6 В
117 9. Амперметр с внутренним сопротивлением
A
R
= 2 Ом, подключенный к зажимам батареи, показывает ток
A
I
=
5 А. Вольтметр с внутренним сопротивлением
V
R
= 150 Ом, подключенный к зажимам такой же батареи, показывает
V
U
=12 В. Найти ток короткого замыкания
КЗ
I
батареи.
10. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рисунок. Найти напряженности и магнитного поля в точках Ми М , если токи
1
I
= 2 Аи А. Расстояния
1 2
АМ
АМ = 1 см и АВ = 2 см.
11. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью v = 10 6
мс. Индукция магнитного поля B = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия W = 12 кэВ.
12. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S
= 3,0 мм, число витков N = При повороте катушки на o
180 вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд q = мкКл. Найти модуль индукции магнитного поля между полюсами, если сопротивление электрической цепи R = Ом. Вариант. Материальная точка совершает прямолинейное движение. Закон движения имеет вид
3 4
( )
x t
Bt
C t
Dt ,
2 мс,
3 0,5 м/с
С
,
4 0,05 мс. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
5 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
118 2. Два одинаковых шара претерпевают центральный удар. До удара второй шар неподвижен, первый движется со скоростью
0
(
0
c
). Характер удара таков, что потеря энергии составляет ю часть той, которая имела бы место при абсолютно неупругом ударе. Определить скорости шаров и после удара. Исследовать случаи а) m = 1, б) m
= 0.
3. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид
12 6
/
/
U
a r
b потенциал Леннард–Джонса), где a и b – положительные константы. Найти силу, действующую на частицу, и работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 5, 0) в точку (0, 2, 2).
4. Определить момент инерции стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.
5. Шарик массой m = 50 г, привязанный к нити длиной
l
1
= 1 м, вращается с частотой
1 1 об с, описывая окружность в горизонтальной плоскости. В процессе вращения нить медленно укоротили до значениям. С какой частотой будет при этом вращаться шарик
6. С какой силой
l
F
на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда = 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии
1
r
= 2 см друг от друга Какую работу
l
A
на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния
2
r
= 1 см
7. Найти силу притяжения F между точечным электрическим диполем и бесконечной металлической пластинкой, если дипольный момент p перпендикулярен к плоскостям пластинки, а расстояние диполя до ближайшей поверхности равно d . Определить также работу А, которую надо затратить, чтобы удалить диполь от пластинки с расстояния до
2
d
8. Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти одинаковых проводников, если добавить еще два
119 таких же проводника, как показано штриховой линией на рисунке
9. Мощность, рассеиваемая на резисторе сопротивлением, подсоединенном к батарее, равна P . Чему равна эдс батареи, если мощность не изменилась при замене сопротивления на
2
R
?
10. В схеме, изображенной на рисунке,
1
= 1 В,
2
= 2 В,
3
= 3 В,
1
R
= 100 Ом,
2
R
= 200 Ом,
3
R
= 300 Ом,
4
R
= 400 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы тока
1 2
3
,
,
I
I
I
и
4
I
, текущие через сопротивления.
11. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v = 10 мс. Длина конденсатора l = 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора E = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное к электрическому полю. Индукция магнитного поля B = 10 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле.
12. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения S = 20 см и число витков N = 500. Индуктивность катушки с сердечником L = 0,28 Гн притоке через обмотку I = 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника. Вариант. Материальная точка движется по окружности. Закон движения имеет вид
2
( )
s t
A
Bt
C t ,
4 мм м/c
С
. Найти зависимость линейной скорости и тангенциального ускорения точки от времени. Определить координату, скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
2,5 c
t
. Какой путь пройдет
120 точка за это время Построить графики зависимости
( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
4
t
с.
2. Пуля массой 20 г в момент удара о стенку под углом о имела скорость 300 мс. Углубившись в стенку на какое- то расстояние, она остановилась через время 5 10
–4
с. Определить) среднюю силу сопротивления стенки F
c и расстояние, на которое пуля проникла 2) с какой скоростью пуля вылетит из стенки, если стенка будет иметь толщину 5 см
3. Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить космический корабль массой m = 2 10 3
кг с поверхности Земли на Луну Сопротивление воздуха неучи- тывать.
4. На диск, вращающийся с угловой скоростью
100 рад с, действует тормозящая сила F = 5 Н. Через сколько времени диск остановится, если его радиус 20 см, а масса 5 кг
5. Обручи сплошной цилиндр поднимаются вверх по наклонной плоскости и достигают одинаковой высоты подъема. Определить отношение их линейных скоростей вначале подъема.
6. С какой силой
l
F
электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле Линейная плотность заряда на нити = 3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости = 20 мкКл/м
2 7. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид
2 2
2
(
)
a x
y
b z , где a и
b – положительные константы. Найти напряженность поля E . Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности Какую форму имеют поверхности, для которых E = const?
8. Конденсатор емкостью C без диэлектрика имеет заряд. Какое количество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить диэлектриком с проницаемостью ?
9. В схеме заданы
1
R
и
2
R
, а также
1
и
2
. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. При каком сопротивлении R
121 выделяемая на нем тепловая мощность будет максимальной. По плоскому контуру, изображенному на рисунке, течет ток силой I
= 1 А. Угол между прямолинейными участками контура прямой. Радиусы
1
r
=
10 см и
2 20 см. Найти магнитную индукцию B в точке С.
11. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом o
30
к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 13 мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой траектории.
12. Катушка длиной l = 20 см и диаметром D = 3 см имеет N = 400 витков. По катушке идет ток I = 2 А. Найти индуктивность L катушки и магнитный поток Ф , пронизывающий площадь ее поперечного сечения. Вариант. Материальная точка движется по прямой. Закон движения имеет вид
( )
sin(
)
x t
B t
C
t
,
0,5 мс,
4 м
С
,
0,8 рад/с
. Найти зависимость скорости и ускорения точки от времени. Определить координату x , скорость и ускорение a , которые будет иметь точка в момент времени
4 c
t
. Какой путь пройдет точка за это время Построить графики зависимости ( ), ( ) ив интервале от
0
t
с до
10
t
с.
2. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением
2
S
A
Bt
Ct
, где B =
2 мс и C = 1 мс. Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное a , нормальное
n
a
и полное a ускорения через время t = 3 с после начала движения, если известно, что при t = 2 с нормальное ускорение точки
2 0,5 мс
122 3. Потенциальная энергия частицы имеет вид
/
/
U
a x y
y z , где а – константа. Найти а) силу, действующую на частицу, б) работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку
(2, 2, 3).
4. Найти момент инерции равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся маленькие шарики массой m = 10 г. Шарики соединены невесомыми стержнями, длины которых l = 20 см. Момент инерции определить а) относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности б) относительно оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин.
5. На покоящийся маховик, момент инерции которого равен I = 4,5 кг м, начинает действовать вращающий момент М = 1 Нм. Сколько оборотов сделает маховик к тому моменту, когда его частота вращения достигнет 100 об/мин?
6. Два шарика с зарядами
1
q
= 6,66 нКл и
2
q
= 13,33 нКл находятся на расстоянии
1
r
= 40 см. Какую работу A надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния
2
r
= 25 см
7. Два равных по величине заряда
9 1
2 0
К
3
л
1
q
q
расположены в вершинах при острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника на расстоянии 2 2 см. Определить, с какой силой эти два заряда действуют на третий заряд
9 Кл, расположенный в вершине при прямом угле треугольника. Рассмотреть случаи, когда первые два заряда одно- и разноименные.
8. Амперметр с сопротивлением
A
R
= 0,16 Ом зашунтирован сопротивлением R = 0,04 Ом. Амперметр показывает ток
0
I
= 8 А. Найти ток I вцепи. В схеме, изображенной на рисунке,
1
=
10 В,
2
= 20 В,
3
= 30 В,
1
R
= 1 Ом,
2
R
= 2 Ом,
3
R
= 3 Ом,
4
R
= 4 Ом,
5
R
123
= 5 Ом,
6
R
= 6 Ом,
7
R
= 7 Ом. Внутреннее сопротивление источников тока пренебрежимо мало. Найти силы тока
1 2
,
I
I
и
3
I
10. По проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, идет ток I = 2 А. При этом в центре рамки образуется магнитное поле напряженностью H = 33
А/м. Найти длину l проволоки, из которой сделана рамка.
11. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов кВ, влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям индукции. Индукция поля равна 0,01
Тл. Определить радиус траектории электрона.
12. Круговой контур радиусом r = 2 см помещен вод- нородное магнитное поле, индукция которого B = 0,2 Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Сопротивление контура R = 1 Ом. Какой заряд пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – Спб.: Лань, 2004.
–416 с.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. –Спб.: СпецЛит, 2002. –327 с.
3. Савельев ИВ Сборник вопросов и задач по общей физике. М ООО Издательство Астрель», 2001. –318 с.
4. Гладской В.М., Самойленко ПИ Физика. Сборник задач с решениями. М Дрофа, 2004. –288 с.
5. Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Хайкин С.Э., Эльцин И.А.,
Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. Кн. III. Электричество и магнетизм. М Физмат- лит
Лань, 2006. –232 с.
6. Шаскольская М.П., Эльцин И.А. Сборник избранных задач по физике. М Наука, 1986. –208 с.
124 7. Козел СМ, Лейман В.Г., Локшин ГР, Овчинкин В.А., Прут ЭВ Сборник задач по общему курсу физики. Ч. Электричество и магнетизм. Оптика. – М Изд–во
МФТИ, 2000. –365 с.
8. Воробьев И.И., Зубков ПИ, Кутузова ГА, Савченко
О.Я., Трубачев А.М., Харитонов В.Г. Задачи по физике. М Наука, 1988. –416 с.
9. Гельфгат ИМ, Генденштейн Л.Э., Кирик Л.А. 1001 задача по физике с ответами, указаниями, решениями. – Москва – Харьков «Илекса» Гимназия, 1997. – 352 с.
10. Кирьянов А.П., Кубарев СИ, Разинова СМ, Шапкарин
И.П. Общая физика. Сборник задач. – М КНОРУС,
2008. – 304 с.
11. Чернов И.П., Ларионов В.В., Тюрин Ю.И. Физика. Сборник задач. Часть 1. – Томск Изд-во Том. унта, 2004. –
390 с.
12. Дубровский В.Г., Харламов Г.В. Механика, термодинамика и молекулярная физика. Сборник задачи примеры их решения. – Новосибирск Изд-во НГТУ, 2010. – 176 с.
13. Дубровский В.Г., Харламов Г.В. Электричество и магнетизм. Сборник задачи примеры их решения. – Новосибирск Изд-во НГТУ, 2011. – 92 с. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 1. Кинематика Перемещение, скорость и ускорение материальной точки ………….…………………………………….4 2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Законы изменения и сохранения импульса, энергии и момента импульса. Вращательное движение твердого тела …….……15 3. Электростатика. Расчет потенциала и напряженности электростатического поля системы электрических зарядов. Постоянный электрический ток
125 5. Индукция и напряженность магнитного поля. Токи в магнитном поле. Расчеты движения заряженных частиц в магнитном и электрическом полях. Магнитное поле в веществе. Электромагнитная индукция. Самоиндукция. Энергия магнитного поля. Ток смещения. Теория Максвелла Расчетно – графические задания Библиографический список
1 2 3 4 5