Добавлен: 02.12.2023
Просмотров: 14
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задача 1.
Даны векторы а = {2; 12; 0}, b = {4.75; -4; 3.75}, c = {6; 6; 2}, и d = {12,75; 15; 5,75} в декартовой системе координат. Показать, что векторы а, b, c, образуют базис Найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис
и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов а, b, c. Поэтому векторы а, b, c образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство. 1а + 2b + 3с =
,которое можно записать для соответствующих координат этих векторов
2
1 + 4,752 + 63 = 0,121 - 42 + 63 = 0,
3,752 + 23 = 0.
Решим полученную систему линейных уравнений методом Гаусса.
.Отсюда получаем единственное нулевое решение 1 = 2 = 3 = 0, то есть векторы а, b, c являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора d по базису а, b, c из условия выполнения векторного равенства
d = 1а + 2b + 3c,
которое для соответствующих координат запишется
2
1 + 4,752 + 63 = 12,75,121 - 42 + 63 = 15,
3,752 + 23 = 5,75.
Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных 1, 2, 3 решим по формулам Крамера. Вычислим определители 3–го порядка:
= 95,
= 108,
= 99,
= 87,5.Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора d в базисе а, b, c:
,
, 
.В итоге имеем
d =
a + 
b + 
c.Задача 50.
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
=
б)
. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что существует неопределенность 
. Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
,
.Отсюда
.в)
. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что существует неопределенность . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на 
:
г)
д)
Задача 80.
Найти производные
для данных функций: а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
Задача 90.
Для данных функций найти
, 
: а) 
; б) х = 2t3 + t; y = lnt.Решение.
а)
;
.б)
;
.Задача 110.
Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:
а)
б)
Рассмотрим
Отсюда
.