Файл: Вопросы к экзамену по дисциплине Алгебра и геометрия.pdf

Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра и геометрия» (2 семестр)
Векторные пространства
1. Определение и примеры векторных пространств. Простейшие следствия из определения векторного пространства.
2. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости векторов.
Теорема о двух системах векторов.
3. Система образующих векторов. Теорема о системе образующих. Теорема о базисах векторов.
Базис и размерность векторного пространства.
Теорема о единственности разложения по базису. Теорема о линейной зависимости при изоморфизме.
4. Связь между различными базисами. Теорема о матрице перехода. Теорема о связи между базисами. Преобразование координат при замене базиса.
5. Подпространства. Сумма и пересечение подпространств и их свойства. Теорема о размерности суммы подпространств.
6. Прямая сумма подпространств. Теорема о представлении вектора прямой суммы.
Евклидовы пространства
7. Определение и примеры евклидовых пространств. Геометрия евклидова пространства.
Неравенство Коши–Буняковского и следствие из него.
8. Ортогональная система векторов. Теорема об ортогональной системе векторов. Теорема об ортогональном базисе. Свойства ортонормированной системы координат. Теорема об ортонормированном базисе.
9. Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица Грама
10. Ортогональное дополнение подпространства. Теорема о представлении пространства через его ортогональное дополнение. Процесс ортогонализации.
Линейные операторы
11. Линейные операторы. Действия над линейными операторами (сумма, умножение на скаляр, произведение операторов). Обратный оператор.
12. Запись линейного оператора в координатах. Матрица линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Теорема о матрице взаимно однозначного оператора. Теорема о матрице обратного оператора. Теорема о матрице произведения операторов.
13. Ядро и область значений линейного оператора. Теорема об образе и прообразе подпространства при линейном операторе. Ранг и дефект линейного оператора. Теорема о связи ранга и дефекта.
14. Линейные отображения пространства в себя. Теорема о связи матриц оператора в разных базисах.
15. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Теорема о характеристических многочленах подобных матриц. Собственные подпространства. Теорема о диагональной матрице оператора.
Теорема о собственных векторах. Теорема о размерностях собственных подпространств.
Теорема о приводимости матрицы оператора к диагональной форме.
16. Жорданова форма матрицы оператора: жорданова клетка, жорданов блок, алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, присоединенные векторы. Теорема о жордановой форме матрицы оператора.
Линейные операторы в евклидовых пространствах.
17. Сопряженные операторы. Теорема о сопряженном операторе.
18. Самосопряженные операторы и их матрицы. Теорема о матрице самосопряженного оператора.
Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора. Теорема о

собственных векторах самосопряженного оператора. Теоремы о диагональном виде матрицы самосопряженного оператора и следствия из нее.
19. Ортогональные операторы. Теорема об ортонормированном базисе при ортогональном операторе. Теорема об ортогональном операторе. Ортогональные матрицы и ее свойства.
Теорема о матрице ортогонального оператора.
20. Теорема о матрице перехода между ортонормированными базисами.
Квадратичные формы
21. Квадратичные формы. Матричное представление квадратичной формы.
22. Преобразование квадратичной формы.
23. Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа.
24. Ортогональные преобразования квадратичных форм. Теорема о характеристическом уравнении матрицы квадратической формы.
25. Теорема о каноническом виде квадратической формы.
26. Теорема о квадратичной форме в евклидовом пространстве.
27. Теорема о ранге квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.
28. Знакопостоянные формы. Критерий Сильвестра и следствия из него.
29. Общая теория поверхностей 2-го порядка. Изменение системы координат. Упрощение уравнения поверхности второго порядка.
Рекомедуемая литература
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – СПб.: Лань, 2005.
Алгебраические структуры: примеры и задачи [Текст] / Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет им. В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ" ; [сост.: Н.А. Жарковская [и др.]. - СПб. Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2010.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для втузов. – М.:
Физматлит, 2007 и ранее.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, 2003.
Методы решения задач по алгебре и геометрии [Комплект]: МУ / сост.: Ю.В. Крашенинникова,
А.В. Степанов. - СПб: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2007.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учеб. для студ. вузов по специальностям "Математика",
"Прикладная математика" - СПб. : Лань, 2006.
Введение в численные методы линейной алгебры [Текст] : учеб. пособие / Н.А. Жарковская, И.Г.
Зельвенский, А.М. Коточигов ; Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет им. В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ" . - СПб. : Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2004.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1978. 2008-50 экз.