={ студент ответил на третий вопрос },

={ студент не ответил на третий вопрос }.

События и – противоположные, поэтому , . Аналогично и

.

а) Событие ={студент ответил только на один вопрос}.

Появление события А означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо , либо , либо . По правилу сложения вероятностей

. События , , - независимые, следовательно, независимы и события , , . По правилу умножения вероятностей для независимых событий

.

Аналогично

---

,

.

Тогда .

б) Событие Б={студент ответил на все вопросы}. Наступление события Б означает, что одновременно появились независимые события , т. е. . По правилу умножения вероятностей для независимых событий

; .

в) Событие В ={ студент ответил хотя бы на один вопрос }. Это означает, что был дан ответ на любой один вопрос, или на любые два вопроса, или на все три вопроса. Событие = {студент не ответил ни на один вопрос}. События B и противоположны, поэтому . Событие означает, что одновременно появились независимые события , и , т. е. . По правилу умножения вероятностей для независимых событий .

Итак, .

г) Событие Г={студент ответил по крайней мере на два вопроса}. Это означает, что дан ответ на любые два вопроса или на все три вопроса. Появление события Г означает, что наступило одно из четырёх несовместных событий: либо , либо , либо , либо . По правилу сложения вероятностей несовместных событий

.

События

---

- независимые, следовательно, независимы события . По правилу умножения вероятностей независимых событий

.

Аналогично получаем ,

,

. Окончательно имеем .

д) Событие Д={ студент ответил на два вопроса }. Появление события Д означает, что наступило одно из трёх несовместных событий: либо , либо , либо . Далее, используя решение задачи г), имеем

---

Тема 3. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

1. 
   Формула полной вероятности
   

Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из множества попарно несовместных событий (гипотез) H₁, H ₂ , …, H_n . Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности .

События H₁, H ₂ , …, H_n называются гипотезами по отношению к событию А.

2. 
   Формулы Бейеса
   

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез (априорные вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по формулам Бейеса



Пример 5. (Варианты 2, 4, 6, 8)

В ателье имеются 5 плейеров, выпущенных заводом B, 10 плейеров – заводом C, 15 плейеров – заводом D. Вероятность того, что плейеры, выпущенные заводами B, С, D, выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8, 0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что взятый наудачу плейер выдержит гарантийный срок службы.

Решение:

Событие А = {плейер выдержит гарантийный срок службы},

Гипотеза H₁ = {плейер выпущен заводом В},

Гипотеза H₂ = {плейер выпущен заводом С},

Гипотеза H₃ = {плейер выпущен заводом D}.



=0,8; =0,85; =0,9.

По формуле полной вероятности

.

Пример 6. (Варианты 1, 3, 5, 7, 9, 10)

Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литьё первого цеха имеет 10% брака, второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом?

---

Решение:

Событие А ={болванка без дефекта}.

Гипотеза H₁ – болванка изготовлена первым цехом,

Гипотеза H₂ – болванка изготовлена вторым цехом,

Литьё первого цеха имеет 10% брака, следовательно, 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта и =0,9. Литьё второго цеха имеет 20% брака, следовательно, 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта и =0,8. Необходимо найти .

По формуле Бейеса



.
Тема 4. Повторение независимых испытаний.

1. 
   Формула Бернулли
   

Вероятность того, что в серии из п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0р1), это событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна

,

где – число сочетаний из n по k (см. выше), q=1-p– вероятность противоположного события .

В различных задачах нас могут интересовать следующие вероятности:

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит менее m раз

= ;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит более m раз

= ;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее m раз

=

---

Смотрите также файлы

• Здоровьесберегающие технологии на уроках физической культуры.docx

• Некоммерческая образовательная.docx

• Предназначение это направление, путь, по которому вам предстоит двигаться о жизни.doc

• Предназначение это направление, путь, по которому вам предстоит двигаться о жизни.doc

• Задача Условное малое предприятие использует упрощенную систему налогообложения. Показатели учетных регистров на 31 декабря 2016 г указаны в таблице По данным .doc