;

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не более m раз

= .

– вероятность того, что в п испытаниях событие A наступит не менее и не более раз

= .

Все эти вероятности могут быть вычислены по формуле Бернулли, однако, на практике ввиду вычислительных сложностей это возможно лишь при небольших n и поэтому используются приближенные формулы.

2. 
   Приближенные формулы Муавра- Лапласа
   

2.1. Локальная теорема Лапласа

Если число испытаний n велико, а вероятность p не очень мала, то



где ,

Значения функции приведены в приложении (таблица 1), при полагают , для отрицательных значений x пользуются тем, что функция четная, и, следовательно, .

2.2. Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более раз находится по формуле

,

где ,

Значения функции Лапласа

---

приведены в приложении (таблица 2), при полагают , для отрицательных значений x пользуются тем, что функция нечетная, и, следовательно, .

3. 
   Приближенная формула Пуассона
   

Если число испытаний n велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то

.

Обозначив , =np– среднее число успехов в серии испытаний, получим

.

Значение по заданным k и  можно определить по приложению (таблица 3).

4. Наивероятнейшее число успехов

Число k₀ называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие A наступит в n испытаниях ровно k₀ раз, является наибольшей из всех вероятностей , k= 0, 1, … , n .

Наивероятнейшее число k₀ определяется из двойного неравенства ,

причем:

а) если число – нецелое, то существует единственное k₀;

б) если число – целое, то наивероятнейших числа два, а именно: и = = +1;

в) если – целое, то .
Пример 7. (Варианты 1, 7)

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно два мальчика; б) не более двух мальчиков

---

; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Решение:

Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятности можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли.

а) Вероятность того, что среди пяти детей ровно два мальчика, равна , где , p=0,51, q=1-p=0,49.

.

б) Вероятность того, что среди пяти детей не более двух мальчиков, равна

.

.



(см. а)).



в) Событие {среди пяти детей более двух мальчиков} противоположно событию {среди пяти детей не более двух мальчиков}, поэтому его вероятность равна .

г) Вероятность того, что среди пяти детей не менее двух и не более трёх мальчиков, равна , (см. а)).



Пример 8. (Варианты 2, 9)

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

Решение:

По условию k₀=25; р=0,4; q=0,6. Воспользуемся двойным неравенством np-q k₀ np+p. Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа n: 0,4n-0,6 25, 0,4n+0,4 25. Из первого неравенства системы найдем

---

n 25,6/0,4=64. Из второго неравенства системы имеем n 24,6/0,4=61,5. Итак, искомое число испытаний должно быть или 64.

Пример 9. (Варианты 4, 6, 8, 10)

Вероятность появления события А в каждом из 2400 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит: а) равно 1400 раз; б) от 1400 до 1800 раз; в) не менее 1400 раз.

Решение:

Число испытаний n=2400 велико; вероятность p=0,6 появления события A немала; q=1-p=0,4; npq=24000,60,4=14400,4 = 576 20, поэтому воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа.

а) Имеем: n=2400, p=0,6, q=0,4, k=1400, np=1440, npq=576, Функция четная, поэтому По таблице 1 приложения . По локальной приближенной формуле Лапласа получим .

б) Имеем: n=2400, p=0,6, q=0,4, k₁=1400, k₂ =1800, np=1440, =24, Функция нечетная, поэтому . По таблице 2 приложения находим , (т. к. при х5 полагают ).

По интегральной приближенной формуле Лапласа

---

имеем

= 0,5+0,45254= 0,95254.

в) Требование, чтобы событие появлялось не менее 1400 раз, означает, что максимально допустимое число появлений события A равно числу испытаний, т.е. k₂=2400. В остальном решение задачи аналогично пункту б).

Пример 10. (Варианты 3, 5)

Тираж книги 100 000 экземпляров. Вероятность того, что она сброшюрована неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Решение:

События, состоящие в том, что книги бракованные, независимы. По условию число испытаний n=100 000 весьма велико, а вероятность р=0,00001 очень мала, . Следовательно, можно использовать приближенную формулу Пуассона . По таблице 3 приложения для известных =1 и k=5 находим

Приложение

Таблица 1. Значения локальной функции Лапласа .

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	39986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	0,3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	0,3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	0,3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	0,3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	0,3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	0,3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	0,3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	0,2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	0,2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	0,2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	0,1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	0,1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	0,1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	0,1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	0,1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0,0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0,0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0,0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0,0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0,0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0,0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0,0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0,0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0,0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0,0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0,0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0,0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0,0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0,0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0,0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0,0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0,0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0,0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0,0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0,0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0,0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001
4,0	0,0001338		0000589		0000249		0000101		0000040
5,0	0,0000015

---

Смотрите также файлы

• Здоровьесберегающие технологии на уроках физической культуры.docx

• Некоммерческая образовательная.docx

• Предназначение это направление, путь, по которому вам предстоит двигаться о жизни.doc

• Предназначение это направление, путь, по которому вам предстоит двигаться о жизни.doc

• Задача Условное малое предприятие использует упрощенную систему налогообложения. Показатели учетных регистров на 31 декабря 2016 г указаны в таблице По данным .doc