Файл: Кто придумал и изучил арбелос.pptx

Кто придумал и изучил арбелос?

Многие известные исследователи занимались этой темой, в том числе Архимед, который совершил много прекрасных открытий за свою долгую жизнь, а будучи уже зрелым ученым, в 50 лет, он увлекся геометрией и не расставался с ней до конца своих дней.

Цель

• Используя исторический подход познакомиться с геометрической фигурой арбелосом и рассмотреть её свойства.

Задачи

• Познакомится с понятием арбелоса
• Доказать свойства арбелоса
• Применить полученнные знания при решении задач на окружности

Арбелос

• В своих занятиях геометрией Архимед много внимания уделял изучению свойств фигуры, носящей название арбелос, или скорняжный нож. Это название фигура получила из– за сходства с очертаниями ножа, использовавшегося скорняками для разделки кожи.

Если взять на прямой три последовательные точки A, B и C и построить три полуокружности с диаметрами AB, BC, AC, расположенные по одну сторону от прямой, то фигура, ограниченная этими полуокружностями, и является арбелосом.

Лемма

• Даны две касающиеся окружности ω и ω1 и прямая CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую. Пусть B — точка касания окружностей, A — точка касания прямой и окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD.

Доказательство

• Доказательство. Пусть O и O1 — центры окружностей ω и ω1 соответственно; тогда треугольники OEB и O1AB — равнобедренные и у них общий угол при основании O1BA. Следовательно, OEB = O1AB OE || O1A. O1ACD OECD E — середина дуги CD. Заметим, что в случае внешнего касания окружностей лемма тоже верна, а доказательство аналогично.

Задача

• Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K — точка касания α и s1. Применим лемму к нашей конструкции; тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK проходит через точку A. Далее, P — вторая точка пересечения NK и s, R — точка пересечения CD и BP. N — точка пересечения высот в треугольнике ARB, так как APB = RCB = 90°, следовательно прямая RA проходит через точку M.

---

Задача

• Окружность радиуса r касается изнутри окружности радиусом R. Найдите радиус третьей, которая касается обеих данных и прямой, проходящей через их центры.

Решение:

O2H2 = (R – x)2 – x2 = R2 – 2RX = R(R – 2x)

O1H2 = (r + x)2 – x2 = r2 + 2rx

О1О2 = R – r = HO2 + HO1

x (r – R) + Rr = *

x2(r – R)2 + R2r2 + 2xRr (r – R) =

(r2 + 2rx) (R2 – 2Rx)x2(r2 – 2rR + R2) +

R2r2 + 2xr2R –

2xrR2 = x2r2 – 2rRx2 + x2R2 + 4rRx2 =

4xR2r – 4xRr2

x2( r + R)2 = 4xRr (R – r)

x =

---