Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Рис.2. Три итерации метода половинного деления

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.

n	an	bn	f(an)	f(bn)	(an+bn)/2	f( (an+bn)/2)	bn-an
0	0	1	2	-1.459	0.5	0.377	1
1	0.5	1	0.377	-1.459	0.75	-0.518	0.5
2	0.5	0.75	0.377	-0.518	0.625	-0.064	0.25
3	0.5	0.625					0.125

После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.

Оценка погрешности результата после трех итераций: R = | b3 – a3 | = 0.125.

Это значит, что x3 отличается от неизвестного точного значения корня не больше чем на величину R = 0.125.
Метод простых итераций

1) Исследование задания.

• 
  Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.
  

Приведем уравнение к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование.



В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций

---

, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию j(x) = х + lf(x), где параметр может быть определен по правилу: l = , а в знаменатель следует подставить (x), у которого то есть

l =

Тогда рекуррентная формула: φ(x)= x + (1 - 3x + cos x)/3.841.
2) «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой: ,

---

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.

к	Xк	f(xк)
0	0	2
1	0.667	-0.214
2	0.595	0.042
3	0.609	-7.95 • 10-3

Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех выбранному исходному отрезку изоляции корня [0;1] и стремлением f( ) к нулю.

Получим оценку погрешности результата после трех итераций:

Метод хорд

1) Исследование задания.

• 
  Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:
  

непрерывна на [a;b] и ;

и отличны от нуля и сохраняют знаки для .

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная <0 на отрезке [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является точка = b = 1, так как .

Таким образом, полагая = a= 0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

= +

• 
  Оценку погрешности можно проводить по любой из формул или , где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения на отрезке. В случае, если M1
  

---

2) Расчет трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

= 0.



Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.10325
2	0.6059	4.0808 •10-3
3	0.60706	1.59047•10-4

3) Оценку погрешности результата, вычисленного методом хорд, получим по формуле
. Тогда после трех итераций

---

| - | <=
Метод Ньютона

1) Исследование задания.

• 
  Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:
  

непрерывна на [a;b] и ;

и отличны от нуля и сохраняют знаки для .

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

• 
  Начальное приближение должно удовлетворять условию: , т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак функции и знак второй производной совпадают. Поскольку < 0 и < 0, то выберем начальное приближение к корню: =1.
  

2) Расчет трех итераций

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае , =1.

---