Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Представим вычисления в виде следующей табл. 1-2б.

k	Xk	f(xk)
0	1	-1.4597
1	0.62	-0.046
2	0.607121	-6. 788 •10-5
3	0.60710164814	-1.484 •10-10

Оценим погрешность после трех итераций:



Сравните оценки погрешности методов после трех итераций. Представляется, что комментарии излишни.

0>

---

Контрольные вопросы  по теме

«Методы решения нелинейных уравнений»

 

1.      Что является корнем нелинейного уравнения f(x)=0?

2.      Чему равна функция в точке корня?

3.      Каково условие существования на отрезке [a;b] хотя бы одного корня?

4.      При каких условиях корень x будет единственным  на отрезке [a;b]?

5.      Из каких этапов состоит процесс решения нелинейного уравнения? 

6.     В чем заключается этап «отделения корней» нелинейного уравнения?

7.  Какие методы используются на этапе отделения корней?

8. Что необходимо, чтобы выбрать x0 в качестве начального приближения в методе

Ньютона?

9. Какой метод решения нелинейного уравнения требует  более близкого к корню

начального значения?

10.  Какой метод представляет собой метод решения нелинейного уравнения, в результате которого получается последовательность вложенных отрезков?

11.  Можно ли уточнить корень уравнения графическим методом?

12. Что является  первым приближением к корню, отделенному на отрезке [a;b],  при

решении нелинейного уравнения методом половинного деления?

13.  Каково правило выбора итерирующей функции при использовании метода итераций?

14.  Что принимается за начальное приближение в методе итерации?

15.  Каково правило выбора неподвижной точки при использовании метода хорд?

16.  Какое значение выбирается в качестве начального приближения в методе хорд?

17.  Для каких функций не рекомендуется применять метод Ньютона?

18. Можно ли применять метод итераций, если на заданном отрезке имеются два корня?

19.  Какой метод решения нелинейного уравнения обладает свойством «самокоррекции»?

20.  Что относится к способам улучшения сходимости метода простой итерации?

Лабораторная работа №2

по теме «Интерполяция функций»

1. Вопросы, подлежащие изучению

1. 
   Постановка задачи аппроксимации и интерполяции. Интерполяция в точке. Погрешность интерполяции.
   
2. 
   Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего полинома.
   
3. 
   Интерполяционный полином Лагранжа: назначение, область применения.
   
4. 
   Интерполяционная формула Ньютона, область применения.
   
5. 
   Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей
   
6. 
   Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.
   
7. 
   Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.
   

---

2. 
   Задание
   

В этой лабораторной работе решается задача интерполяции в точке путем построения семейства интерполяционных полиномов разных степеней с оценкой погрешности полученных решений.

1. 
   Выбрать из таблицы 1–1 индивидуальное задание для интерполяции:
   

• 
  точку интерполяции x=b для интерполяции полиномом Лагранжа;
  
• 
  точку интерполяции x=a для интерполяции полиномом Ньютона;
  

2. 
   Выполнить вручную интерполяцию в заданной точке x=b с использованием полинома Лагранжа 1–й, 2–й b3–й степени:
   

• 
  выбрать из таблицы 2–2 с интерполируемой функцией четыре подходящих узла. Перенумеровать узлы и занести перенумерованные узлы в таблицы вида 1–3.
  
• 
  записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени полинома;
  
• 
  выполнить расчеты по интерполяционным формулам для каждой степени полинома; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.
  
• 
  занести полученные результаты в таблицу вида 1–4;
  
• 
  вычислить оценки погрешности в точке b для полиномов различных степеней и занести их в таблицу 1-4.
  

1. 
   Выполнить вручную интерполяцию в заданной точке x=a с использованием полинома Ньютона 1–й, 2–й и 3–й степени:
   

• 
  выбрать из таблицы 1–2 с интерполируемой функцией четыре подходящих узла. Перенумеровать узлы и занести перенумерованные узлы в таблицы вида 1–3.
  
• 
  заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);
  
• 
  записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени полинома;
  
• 
  выполнить расчеты по интерполяционным формулам для каждой степени полинома; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.
  
• 
  занести полученные результаты в таблицу вида 1–5;
  
• 
  вычислить оценки погрешности в точке а для полиномов различных степеней и занести их в таблицу 1-5.
  

4. 
   Объяснить полученные результаты и сделать выводы.
   

1.3. Варианты задания для ручного расчета и таблица интерполируемой функции

Таблица 1–1

№ варианта	Полином Ньютона x=a	Полином Лагранжа x=b
1	0.06	0.43
2	0.11	0.72
3	0.16	1.17
4	0.21	0.58
5	0.31	0.12
6	0.36	1.21
7	0.41	1.46
8	0.46	0.87
9	0.51	0.48
10	0.61	1.37
11	0.07	0.51
12	0.12	0.96
13	0.17	0.64
14	0.22	1.52
15	0.32	0.77
16	0.37	0.17
17	0.42	1.02
18	0.52	0.34
19	0.62	1.41
20	0.08	0.23
21	0.13	0.67
22	0.17	1.29
23	0.23	0.81
24	0.32	1.26
25	0.42	1.12
26	0.47	0.93
27	0.53	0.37
28	0.63	0.26
29	0.09	1.07
30	0.14	1.33

---

Таблица 1–2

№ узла	Значение аргумента xi	Значение функцииyi
0	0.05	-4.1710
1	0.10	-4.1330
2	0.15	-4.0845
3	0.20	-4.0240
4	0.25	-3.9500
5	0.30	-3.8610
6	0.35	-3.7555
7	0.40	-3.6320
8	0.45	-3.4890
9	0.50	-3.3250
10	0.55	-3.1385
11	0.60	-2.9280
12	0.65	-2.6920
13	0.70	-2.4290
14	0.75	-2.1375
15	0.80	-1.8160
16	0.85	-1.4630
17	0.90	-1.0770
18	0.95	-0.6565
19	1.00	-0.2000
20	1.05	0.2940
21	1.10	0.8270
22	1.15	1.4005
23	1.20	2.0160
24	1.25	2.6750
25	1.30	3.3790
26	1.35	4.1295
27	1.40	4.9280
28	1.45	5.7760
29	1.50	6.6750
30	1.55	7.6265

---

1.4. Формы таблиц для занесения результатов

Таблица 1–3

k	0	1	2	…	n
xk	x0	x1	x2	…	xn
yk	y0	y1	y2	…	yn

Таблица 1-4

(для полинома Лагранжа)

Степень многочлена k	Lk(x)	Погрешность
1	L1(x)	|L1(x) – L2(x)|
2	L2(x)	|L2(x) – L3(x)|
3	L3(x)	–

Таблица 1–5

(для полинома Ньютона)

Степень многочлена k	Pk(x)	Погрешность
1	P1(x)	|P1(x) – P2(x)|
2	P2(x)	|P2(x) – P3(x)|
3	P3(x)	–

---