Файл: Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений.docx

Лабораторная работа по теме 3.
«Аппроксимация функций.

Метод наименьших квадратов»

2.1. Вопросы, подлежащие изучению

1. 
   Постановка задачи аппроксимации.
   
2. 
   Основные понятия: базисные функции, матрица Грамма, система нормальных уравнений, критерий аппроксимации.
   
3. 
   Матрица Грамма для степенного базиса.
   
4. 
   Правило построения системы нормальных уравнений и число уравнений в системе.
   
5. 
   Алгоритм получения коэффициентов линейных и квадратичных аппроксимирующих функций.
   
6. 
   Графическая иллюстрация метода МНК.
   
7. 
   Формулы оценки качества аппроксимации.
   

3.2. Задание

2. 
   Выбрать индивидуальное задание из табл. 3-1 и табл. 3-2 для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов: значения функции табл. 2-2 в узлах, указанных в табл. 2-1.
   
3. 
   Выполнить линейную аппроксимацию:
   

• 
  составить систему нормальных уравнений и решить её;
  

• 
  вычислить значения аппроксимирующих функций в узловых точках и сравнить их со значениями исходной функции;
  

• 
  Вычислить среднеквадратичную погрешность (СКО).
  

2. 
   С использованием математического пакета получить аппрокси-мирующие полиномы МНК 1, 2, 3, 4, 5 степеней и соответствующие СКО. Построить графики полученных полиномов.
   
3. 
   Проанализировать результаты.
   

3.3. Варианты задания

Таблица 3-1

N варианта	Функция из табл. 3-2	Номера узлов из табл. 3-2
1		1,35,7,9,11,13
2		2,4,6,8,10,12,14
3		4,6,8,10,12,14
4		5,7,9,11,13,15
5		7,8,9,10,11,12,13
6		3,5,7,9,11,13,15
7		9,11,13,15,17,19
8		10,12,14,16,18,20
9		15,17,19,21,23,25
10		16,18,20,22,24,26
11		17,19,21,23,25,27
12		21,23,25,27,29,31
13		22,24,26,28,30,32
14		27,29,31,33,35
15		28,29,30,31,32,33
16		28,30,32,34,36
17		1,3,5,7,9,11
18		2,4,6,8,10,12
19		3,5,7,9,11,13
20		4,6,8,10,12,14
21		5,7,9,11,13,15
22		10,12,14,16,18,20
23		11,12,13,14,15,16,17
24		15,17,19,21,23,25
25		16,18,20,22,24,26
26		19,21,23,25,27,29
27		21,23,25,27,29,31
28		24,25,26,27,28,29,30
29		26,28,30,32,34,36
30		25,27,29,31,33,35

---

Таблица 3-2

-номер узла
1	-1.5	-1,15	1,25
2	-1.4	-0,506	1,594
3	-1.3	0,236	2,056
4	-1.2	0,88	2,44
5	-1.1	1,256	2,577
6	-1.0	1,266	2,366
7	-0.9	0,91	1,81
8	-0.8	0,286	1,006
9	-0.7	-0,436	0,124
10	-0.6	-1,06	-0,64
11	-0.5	-1,416	-1,116
12	-0.4	-1,406	-1,206
13	-0.3	-1,03	-0,91
14	-0.2	-0,386	-0,326
15	-0.1	-0,356	0,376
16	0.0	1	1
17	0.1	1,376	1,376
18	0.2	1,386	1,406
19	0.3	1,03	1,09
20	0.4	0,406	0,526
21	0.5	-0,316	-0,116
22	0.6	-0,939	-0,64
23	0.7	-1,296	-0,876
24	0.8	-1,286	-0,726
25	0.9	-0,91	-0,19
26	1.0	-0,266	0,634
27	1.1	0,476	1,576
28	1.2	1,12	2,44
29	1.3	1,496	3,056
30	1.4	1,506	3,326
31	1.5	1,15	3,25
32	1.6	0,526	2,926
33	1.7	-0,196	2,524
34	1.8	-0,82	2,24
35	1.9	-1,176	2,244
36	2.0	-1,66	2,634

---

---

3.4. Содержание отчета

1. 
   Индивидуальное задание.
   
2. 
   Линейная аппроксимация:
   

• 
  значения элементов матрицы Грамма и столбцов свободных членов, представленные в табл. 3-3:
  

Таблица 3-3

0
1
2
3
4
5

• 
  системы нормальных уравнений и их решения, аппроксимирующие функции;
  
• 
  исходная функция и результаты аппроксимации в узловых точках, представленные в табл. 3-4:
  

Таблица 3-4

---

• 
  оценка погрешности (среднеквадратическое отклонение).
  

3. 
   Аппроксимация с помощью математического пакета.
   

3.5. Пример выполнения задания

1. 
   Задание для решения задачи аппроксимации
   

Для решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов выберем функцию y(x), заданную следующей таблицей:

	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
	0.634	2.44	3.326	2.926	2.24	2.634

2. 
   Линейная аппроксимация:
   

Вычислить и записать в табл. 3-3 элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов:

0	1.0	0.634	0.634	1
1	1.2	2.44	2.928	1.44
2	1.4	3.326	4.6564	1.96
3	1.6	2.926	4.6816	2.56
4	1.8	2.24	4.032	3.24
5	2.0	2.634	5.268	4
	9	14.2	22.2	10.2

---