ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2023
Просмотров: 25
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Еселі интеграл
Қос интеграл
- cызығымен шенелген D облысында үзіліссіз екі аргументті функциясы берілсін. Еркімізше D облысын n ауданшаларға бөлшектейміз, яғни . Ондай ауданшаларды көп жағдайда элементар ауданшалар деп атайды. Осы әріппен олардың сәйкес аудандарын белгілейміз. Әр ауданшаның кез-келген бір нүктесін аламыз да функцияның осы нүктедегі мәнін табамыз.
- Осы мәндердің өзінің сәйкес ауданшаларына көбейтінділерінің қосындысын құрамыз: (1)
- Бұл қосындының геометриялық мағынасы-цилиндрлік денелердің көлемдерінің қосындысын береді.Бұл интегралдық қосынды деп аталады
- Облысты басқаша рет бөлікке бөлеміз, сонда әрбір бөлу варианттарына
көлемдері сәйкес келеді, яғни мынадай тізбек
аламыз:
Егер функциясы тұйық D облысында үзіліссіз және бөлу саны және де кез-келген ауданшаның max диаметрі , онда (1) интегралдық қосындысының ақырлы шегі бар, ал ол бөлу тәсіліне, нүктелерін таңдап алуға тәуелсіз және былай белгіленеді: (2)
- Сонымен, қос интеграл: егер болса, онда жоғарыдан бетімен, бүйірі
D облысының тұйық сызығы бойымен
қозғалатын түзулерден пайда болған
цилиндрлік бетпен, ал төменнен D облысымен
шенелген дене көлемін кескіндейді.
- Екі функцияның қосындысының қос интегралы сол функциялардың әрқайсысының қос интегралдарының қосындысына тең.
- Тұрақты көбейткішті қос интеграл таңбасының алдына шығаруға болады.
- Егер D облысы ортақ бөлігі жоқ екі облыстың қосындысынан тұратын болса, онда D облысы бойынша алынған қос интеграл D1 және D2 облыстары бойынша алынған қос интегралдың қосындысына тең:
Жоғарыдан , төменнен
қисықтармен, ал бүйір жақтары ,
түзулермен шенелген дұрыс D облысын
қарастырамыз
Бұл өрнек екі еселі интеграл деп аталады.
Мұны есептеу үшін алдымен ішкі интегралды
айнымалы y бойынша, x-const деп, есептеу
қажет. Екі еселі интегралды былай белгілейді
Екі еселі интегралды есептеу
- Теорема. Егер f(x,y) функциясы дұрыс D облысында үзіліссіз болса, онда қос интеграл осы функцияның D облысында Екі еселі интегралына тең.
Мысал
Екі еселі интегралды есептеңдер
Екі еселі интегралдың қасиеті
- Егер D облысы саны санаулы D1, D2,…, Dn облыстарынан қосындысынан тұратын болса, онда D облысы бойынша алынған екі еселі интеграл сәйкес облыстар бойынша алынған екі еселі интегралдың қосындысына тең:
- (Екі еселі интегралды бағалау). Егер функциясы D дұрыс облысында екі аргументі бойынша үзіліссіз және D облысында М-max , ал m-min болса, онда
теңсіздігі орындалады, мұндағы S - D облысының ауданы.
- (орта мән туралы) Егер функциясы D дұрыс облысында үзіліссіз болса, онда екі еселі интеграл осы облыстың кез-келген p нүктесіндегі мәні мен D облысының ауданының көбейтіндісіне тең, яғни шартын қанағаттандыратын ең болмағанда бір p нүктесі міндетті түрде табылады.
Үзіліссіз функцияның
геометриялық кескінін осылай
көрсетуге болады.
- Декарт және полярлық координаталар арасындағы байланыстарды қарастырамыз: Жаңа айнымалы үшін мен -ді аламыз, яғни
. Сонда якобиан былай болады:
- Қос интегралдың анықтамасынан оның геометриялық мағынасы көрініп тұр. Ол жоғарыдан бетімен және оның ХОҮ осіне проекциясы есебіндегі D облысымен шенелген дененің көлемі:
- Егер интегралдық қосындыда кез келген нүктесі үшін десек, онда интегралдық қосынды барлық элементар облыстардың аудандарының қосындысына келеді, ал ол D облысының ауданы:
-кез келген D облысының ауданының формуласы.
- сызықтарымен шенелген фигураның ауданын есептелік. Түзу мен параболаның қилысу нүктесін табалық: , ,
;
,
Беттің ауданы
- -бұл бет ауданының формуласы.
- Ескерту. Егер бет басқа уОz ,zOx координаталар жазықтығына проекцияланатын болса, онда: