Файл: Параметрлі есептерді шешуді дістсілдері.docx

Рациональные алгебраические уравнения с параметрами.

1. P(x, a) = x - |a| = 0. а параметрінің әрбір мәні үшін теңдеуді шешіңіз.



Сурет -1

Шешім: бастау үшін модульді оң жаққа жылжытыңыз: . Енді біз модульдің анықтамасын қолданамыз және жүйені жазамыз:



Екі жағдайды талдайық:

1. x = |a| функция графигі, мұнда a параметрі – аргумент, 1-суретте көрсетілген. График-көлденең параметрлік осі Oa бар xoy координаталық-параметрлік жазықтығындағы барлық нүктелердің жиынтығы (Х, a), олардың әрқайсысының координаталық мәндері мен параметрлері алынған жүйені қанағаттандырады. XОУ координаталық-параметрлік жазықтығының нүктелері, координаталық мәндер және олардың әрқайсысының параметрлері (I) өрнегін қанағаттандырады, жартылай жазықтықта орналасқан х = a түзу бөлігінде орналасқан a ≥ 0 шекарамен a = 0 (1-сурет).

Сол сияқты біз (II) өрнегінің шешімін табамыз. Нүктелер a < 0 жартылай жазықтығында орналасқан X = -a түзу бөлігінде орналасқан (1 – сурет).

Осылайша, а параметрінің әрбір мәні x координатының жалғыз мәніне сәйкес келеді. Егер a < 0, онда x = -a, егер a = 0, онда x = 0, егер a > 0, онда x = a.



Сурет -2

2. 2-суретте бірдей жиын бейнеленген, бірақ Oa тік параметрлік осі бар aox координаталық-параметрлік жазықтығында. а = const түзулерінің әрқайсысы бастапқы теңдеудің шешімін анықтайтын x координатасы бар нүктеде бейнеленген жиынды қиып өтеді.

Егер a = const < 0, онда x = -a, егер a = const = 0, онда x = 0, егер a = const > 0, онда x = a. Осылайша, біз бірінші жағдайдағыдай жауап аламыз.

Жауап: Егер a < 0,онда x = -a, егер a = 0, онда x = 0, егер a > 0, онда x = a.

2. 3|x+2a| - 3a + x – 15 = 0.

а параметрінің қандай мәндерінде теңдеудің барлық шешімдері 4 ≤ x ≤ 6 теңсіздікті қанағаттандырады?

Шешім: біз модульді ашамыз, екі жүйенің жиынтығын аламыз:



2)

---

Бұл нөмірде тікелей x + 2a = 0 xoa координаталық-параметрлік жазықтығын екі "жартылай аймаққа" бөледі 1) және 2).

Сурет 3

Шартты қанағаттандыратын 1) жүйенің шешімімен 4 ≤ x ≤ 6, координаталық-параметрлік жазықтықта нүктеде басы бар сәуленің сегменті болады a = -3, x = 6 және соңында a = , x = 4 (а табу үшін х мәндері теңдеуге ауыстырылады).

Сол сияқты біз жүйенің шешімін табамыз

2). Бұл нүктеде басы бар сәуле сегменті a = -3, x = 6 и a = , x = 4 (бұл сегменттер қалың сызықтармен 4 суретте көрсетілген).

Екі шешім де сегменттегі а параметрінің барлық мәндеріндегі теңсіздікті қанағаттандырады [-3; ].

Жауап: -3 ≤ a ≤ .

3. (2–x)(x+a) = 0. Теңдеудің екі түрлі теріс емес түбірі бар а параметрінің барлық мәндерін табыңыз.

Шешім: ХОa координаталық-параметрлік жазықтығында барлық нүктелер жиынтығы (х, a), координаталық мәндер және олардың әрқайсысының параметрлері берілген теңдеуді қанағаттандырады, парабола-функцияның графигі

a = (2-x)(x+1)



Сурет -4

Парабола нүктелерде Ox осін кесіп өтеді x = -1, a = 0 и x = 2, a = 0. Параболаның төбелері x = 1/2, a = 9/4 екі түбірі де сәйкес келеді. 2 ≤ a ≤ 9/4 болғанада, екі түбір де теріс емес.

Рациональные алгебраические неравенства с параметрами.

4. X - |a| > 0. А параметрінің әрбір мәні үшін теңсіздікті шешіңіз.


Сурет -5

Шешім: 5-суретте xoy координаталық-параметрлік жазықтығында (x, a) көптеген нүктелер бейнеленген, олардың әрқайсысының координаталық мәндері мен параметрлері берілген теңсіздікті қанағаттандырады. Функция графигінің үстінде орналасқан нүктелер x = |a|, бұл жиынның элементтері.

А параметрінің әрбір мәні қажетті координат мәндерімен бейнеленген жиынның нүктелеріне сәйкес келеді.

Жауап: Егер a < 0, онда x > -a, егер a = 0, онда x > 0, егер a > 0, онда

---

x > a.

5. Теңсіздік болатын a параметрінің барлық мәндерін табыңыз

барлық x үшін 2 ≤ x ≤ 3орындалады.

Шешімі:Теңсіздікті шешейік F(x, a) =

Координаталық-параметрлік жазықтықта түзу x = 3а + 1 нумератор нөлге, ал бөлгіш x = 2–2a-ға айналады. Бұл түзулер координаталық-параметрлік жазықтықты төрт "ішінара аймаққа"бөледі.



Сурет - 6

Енді біз әр аймақтағы белгілерді анықтауымыз керек, ол үшін зерттелетін аймақтан кез-келген нүктені алу керек. Мысалы, x=2, a=1 F(2, 1) > 0. Демек, барлық жерде І облыста F(x, a) > 0. Қалған аймақтарда біз белгілерді ұқсастық бойынша анықтаймыз. Осылайша, теңсіздік I және III облыстарда орындалады, x=3а+1 шекарасы оның шешімі болып табылады, ал х=2-2a шекарасы қарастырылып отырған теңсіздіктің көптеген шешімдеріне жатпайды.

Берілген жиынның 2 ≤ x ≤ 3 теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиынымен қиылысуы берілген теңсіздіктің 2 ≤ x ≤ 3 аралығындағы шешімін береді. Демек, берілген теңсіздік a < -1/2 және a ≥ 2/3 кезінде 2 ≤ x ≤ 3 аралығындағы барлық x үшін бірден орындалады.

Жауап: a < -1/2, a ≥ 2/3.

6. Q параметрінің әрбір бүтін мәні үшін x²-5(x-1)+3|x-q|-q ≤0 теңсіздігінің бүтін шешімдерін табыңыз.

Шешім: екі жүйеден тұратын эквивалентті жиынтық құрайық:

1)

2)

ХОУ координаталық-параметрлік жазықтығында алынған теңсіздік жүйелерінің жиынтығын қанағаттандыратын мәндер жиыны (x, q) екі параболамен шектеледі. Шыңдарда парабола x= 1, q=1 және x = 4, q=11/2. Біз бұл жиынды x_m координаталары мен q_n параметрінің бүтін мәндері бар тікбұрышты тормен жабамыз: 1 ≤ x_m ≤ 5, 1 ≤ q_n ≤ 6.

Біз торлы тіктөртбұрыштың түйіндеріндегі барлық нүктелер жиынтығының ішінен көлеңкеленген жиынға жататын нүктелерді табамыз, яғни. координаталық-параметрлік жазықтықта теңсіздіктің бүтін шешімдерін береді (7 – суретте бұл нүктелер қалың, ал шешім бермейтін нүктелер квадраттармен бейнеленген)

.

Сурет 7

Жауап: Егер q=1, онда x=1;

---

егер q=2, онда x=2, x=3;

егер q=3, онда x=2, x=3;

егер q=4, онда x=3, x=4

егер q=5, онда x=3, x=4, x=5.

7. Теңсіздіктер жүйесі болатын барлық а мәндерін табыңыз жалғыз шешімі бар.

Шешім: ХОa координаталық-параметрлік жазықтықта берілген теңсіздіктер жүйесінің шешімі I және II жиындардың қиылысы болып табылады. I жиын a = -x² – 2x (1) (1) параболасында және оның сол жағында орналасқан жазықтықтың барлық нүктелерінен тұрады, ал II жиын a = 1/6 ∙ (x²-4x) (2) параболасында және оның оң жағында орналасқан нүктелерден тұрады.



Сурет 8

Параболалар (1) және (2) олар үшін нүктелерде қиылысады x = 0, a = 0 және x = -8/7 < -1 және a = 48/49 < 1.

А парабола төбесінде (1) x = -1, a=1.

O және A нүктелері сәйкесінше теңсіздіктер жүйесінің алынған шешімдер жиынтығының ең сол және оң нүктелері болып табылады.

Демек, a < 0 және a > 1-де берілген теңсіздіктер жүйесінің шешімдері жоқ; a = 0 және a = 1-де-жалғыз шешімі бар; 0 < a < 1 – де-шешімдердің шексіз жиынтығы.

Жауап: a = 0, a = 1.

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.

8. а параметрінің әрбір мәні үшін теңдеуді шешіңіз =a.

Шешім: квадрат арифметикалық түбірді анықтау арқылы жүйені құруға болады:



XОа координаталық-параметрлік жазықтығында бастапқы рационалды теңдеудің шешімі-оң жақ жарты жазықтықта орналасқан x = a² параболасының бөліктерінде орналасқан осы жазықтықтың нүктелерінің жиынтығы a ≥ 0.



Сурет 9

Жауап: Егер a < 0, онда шешім жоқ, егер a ≥ 0, онда x = a².

9. а параметрінің қандай мәндерінде теңдеу шешімі болады?

Шешімі: болсын, берілген өрнекті квадраттайық: . Алынған өрнектен

---

x: x = t² + 1 айнымалысын білдіреміз. Енді сіз жүйені жасай аласыз:



tOb координаталық-параметрлік жазықтығында қалың сызық жүйенің шешімін көрсетеді.



Сурет 10

Бастапқы теңдеудің шешімі бар

b = 1+a ≤ 1/4

a ≤ -3/4

Жауап: a ≤ -3/4.

10. Теңсіздікті шешіңіз а параметрінің барлық мәндері үшін.

Шешімі: Жүйені құрайық:



XОa координаталық-параметрлік жазықтығында алынған жүйенің шешімі (x,a) нүктелерінің жиыны болып табылады, бір уақытта түзу сызықтан төмен орналасқан x = 1 және оған, параболада a = x² және оның сол жағында, түзу сызықтан төмен .



Сурет 11

түзуі a = x² параболаға қатысты Шартта анықталған параметрдің координаты мен мәні бар нүктеде



Параболаның жоғарғы және төменгі тармақтарының теңдеулері a = x² түрі бар және .

11-суретте көптеген шешімдер штрихталған.

Жауап: Егер a ≤ 0, онда ; егер 0 < a < 1, онда , егер a ≥ 1, онда .

11. Теңсіздікті шешіңіз а параметрінің барлық мәндері үшін.



Сурет 12

Шешім: жүйені құрайық:

---