Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

n различных элементов называются выборки, отличающиеся только составом самих элементов. Число таких сочетаний находится по формуле:

.

Пример 1. Игральную кость бросают один раз. Найти вероятность появления четного числа очков.

Решение. При подбрасывании одной игральной кости пространство элементарных событий (число выпавших очков) состоит из шести исходов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Пусть A – событие, состоящее в появлении четного числа очков. В этом случае событию А благоприятствуют исходы выпадения 2, 4, 6 очков, т.е. тогда

.

Пример 2. В ящике пять белых и четыре черных шара. Из ящика вынимают три шара. Какова вероятность того, что эти шары белые? Какова вероятность того, что один шар белый?

Решение. Пусть событие A состоит в извлечении трех белых шаров. Общее число исходов (столько различных выборок по три шара можно составить из имеющихся в ящике девяти шаров). Число m исходов опыта, благоприятных A, равно ( ), так как столько различных выборок по три шара можно составить из имеющихся пяти белых шаров.

Тогда

.

Пусть событие B состоит в извлечении трех шаров, один из которых – белый. Этот шар можно вынуть способами из пяти белых, а оставшиеся 3 – 1 = 2 шара выборки можно вынуть

---

способами из четырех черных шаров. Тогда число выборок, благоприятных B, определяется комбинированием всех этих способов заполнения выборки, т.е. . Откуда

.

Суммой A+ B двух случайных событий A и B называется событие, состоящее в появлении события A или события B,или обоих этих событий.

Произведением AB двух событий A и B называется событие, состоящее в совместном появлении события Aи события B.

Противоположным по отношению к событию A называется событие  , происходящее всегда, когда не происходит A.

Вероятность суммы совместных событий



Если события A и B несовместны, то следовательно,



Так как противоположные события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей



Условное событие – это событие A при условии, что событие B уже произошло.

Вероятность произведения событий



где и – вероятности условных событий.

Если события Aи B независимы, , , и имеет место формула



Пример 3. Разрыв электрической цепи происходит при выходе из строя двух элементов

---

A и B или двух элементов C и D. Найти вероятность разрыва цепи, если элементы выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3 и 0,6, 0,4 и 0,5 соответственно.

Решение. Если события A, B, C, D – выход из строя соответствующих элементов, то по определению произведения и суммы событий согласно условию задачи разрыв цепи есть событие

События A, B, C, Dнезависимы, но могут быть совместными, и следовательно,



Пример 4. Два стрелка попадают в мишень с вероятностями соответственно 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что после залпа в мишени будет одна пробоина? Какова вероятность, что в мишени будет хотя бы одна пробоина?

Решение. Если – попадание первого стрелка, – попадание второго стрелка, то после залпа (совместная стрельба) в мишени будет одна пробоина от кого-то одного и промаха другого стрелка, т.е. , где слагаемые, очевидно, несовместны, а попадания или промахи стрелков независимы. Поэтому, используя формулу вероятности противоположного события, получим



.

Пусть событие  = (хотя бы одна пробоина); тогда противоположное ему событие  = (ни одной пробоины), т.е. Так как

---

, то .

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Вероятность события А, котороеможет произойти при наступлении одного из несовместных событий (гипотез) , ,…, , образующих полную группу событий ,вычисляется по формуле



где – вероятность события ; – условная вероятность события A при наступлении события ,

Полученная формула для называется формулой полной вероятности и применяется при наличии полной группы несовместных событий.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до проведения опыта вероятности (априорные) гипотез были а в результате опыта событие Aпроизошло, то с учетом этого «новые», т.е. условные вероятности (апостериорные) гипотез, вычисляются по формуле

,

где .

С помощью формулы Байеса возможно «пересмотреть» вероятность гипотез с учетом полученного (известного) результата опыта.

Пример 5. Имеются два ящика с шарами. В первом ящике шесть белых и четыре черных шара, во втором ящике десять белых и пять черных шаров. Из

---

первого ящика во второй, не глядя, перекладывается один шар. После этого из второго ящика берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Пусть событие A – появление белого шара из второго ящика при гипотезах: – из первого ящика во второй переложен белый шар, – из первого ящика во второй переложен черный шар. Вероятности гипотез и равны вероятности извлечения из первого ящика одного белого или одного черного шара соответственно:



После того, как во второй ящик из первого переложен один шар, количество шаров во втором ящике увеличится на единицу и станет равным 16. При перекладывании белого шара из первого ящика число белых шаров во втором ящике станет равным 11, а при перекладывании черного шара число белых шаров во втором ящике останется прежним. Тогда условные вероятности извлечения белого шара после перекладывания из второго ящика следующие: .

Искомая вероятность:

.

Пример 6.На трех станках производятся одинаковые детали, причем на первом станке производят 25 %, на втором 35 %, на третьем 40 % всех деталей. В продукции трех станков брак составляет 5, 4 и 2 % соответственно. Все детали поступают на склад.

Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной.

Случайно взятая на складе деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на первом станке

Решение. Пусть событие A – выбор бракованной детали. Есть три гипотезы: – деталь изготовлена на первом станке;

---