Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

– деталь изготовлена на втором станке; – деталь изготовлена на третьем станке.

По условию вероятности этих гипотез Условные вероятности события A – вероятности появления бракованной детали в продукции первого, второго или третьего станков:

Тогда:

а) вероятность события A находим по формуле полной вероятности:



б) вероятность изготовления на первом станке находим по формуле Байеса:

.

---

1.2. Повторение независимых опытов

Испытания называются независимыми, если результаты любого испытания не зависят от результатов других испытаний.

Формула Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний в одинаковых условиях и каждое испытание имеет только два исхода: событие A (успех) или событие Ā (неуспех). Вероятность появления события A (успех) при одном испытании обозначим а вероятность неуспеха обозначим Вероятность постоянна во всех испытаниях и отлична от нуля и единицы. Вероятность того, что при повторных испытаниях успех произойдет ровно раз, определяется по формуле Бернулли:

.

Вероятность сначала увеличивается при изменении m от нуля до некоторого значения , а затем уменьшается при изменении от до . Величина называется наивероятнейшим числом наступления события A в  испытаниях и удовлетворяет условию: . При целом значении

---

имеются два значения: и ; принецелом значении одно – .

Вероятность хотя бы одного успеха в nнезависимых испытаниях, произведенных в одинаковых условиях,

.

Для приближенного вычисления вероятностей применяют предельные теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если число независимых испытаний, производимых в одинаковых условиях, достаточно велико, и вероятность p появления события Aв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность

,

где ; .

Отметим, что функция Гаусса (х) – четная и для нее составлены таблицы (прил.1).

Вероятность появления события A в независимых испытаниях не менее и не более раз

.

При большом числе испытаний вероятность находят с помощью интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

---

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если число испытаний достаточно велико и вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность

,

где ;

функция Лапласа Ф(t) – нечетная и для нее составлены таблицы (прил.2).

Теорема Бернулли. Если в n независимых испытаниях вероятность появления события A постоянна для каждого испытания и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе испытаний с вероятностью как угодно близкой к единице (практически достоверной) относительная частота события A будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.

Например, из интегральной теоремы Муавра – Лапласа следует, что для любого ( – малое положительное число) имеет место формула

.

Закон Пуассона. Пусть число n независимых испытаний велико, вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и представляет малое число. Тогда при (среднее число появлений события в испытаниях) имеем приближенную формулу вероятности редких событий:

.

Такое событие A называют редким событием, а закон распределения Пуассона – законом редких событий.

---

Пример 7. Производятся четыре независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,8. Найти вероятность:

 двух попаданий в мишень;

 не менее двух попаданий в мишень.

Решение. По условию имеем число выстрелов , вероятность попадания в мишень при одном выстреле ; тогда вероятность промаха при одном выстреле .

 Вероятность двух попаданий в мишень при четырех выстрелах:

.

 Не менее двух попаданий в мишень при четырех выстрелах означает два или три, или четыре попадания в мишень. Вероятность не менее двух попаданий в мишень





Пример 8. При установившемся технологическом процессе из 100 изготовленных деталей 10 деталей имеют дефект. Найти вероятность того, что среди 80 изготовленных деталей семь будут иметь дефект.

Решение. В этой задаче испытание состоит в проверке каждой детали на наличие дефекта. Пусть событие A – обнаружение дефекта при проверке детали. По условию задачи вероятность события A в каждом опыте постоянна и равна 0,1. Так как число опытов велико, искомую вероятность находят с помощью локальной теоремы Муавра – Лапласа.

Итак,

Тогда

---