Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

(угол близок к нулю), то связь сильная и близка к линейной. В случае промежуточного значения r_xy (и угла) связь достаточно сильна и существенно нелинейная.

2.ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Пусть для изучаемой случайной величины X получен ряд ее значений x₁, x₂, …, x_n, который называют выборкой объема n из множества всех возможных значений X (генеральной совокупности). Эти значения x_i являются случайными величинами, так как меняются от выборки к выборке.

Важно, чтобы опыты для получения достоверных и правильно представляющих (репрезентативных) генеральную совокупность результатов проводились в одинаковых условиях и независимо друг от друга. Значит, случайные величины x_i будут независимы и одинаково распределены. Согласно центральной предельной теореме (ЦПТ) распределение среднего значения

будет приближаться к нормальному распределению при

.

Если число n невелико (

), то полученные значения можно упорядочить по величине и указать число повторений (частоту) каждого из значений: x₁ < x₂ < … < x_k с частотами m₁, m₂, …, m_k, где m₁ + m₂ + …+ m_k = n (вариационный ряд). При большом числе наблюдений вводятся интервалы группировки

, которые охватывают все значения вариационного ряда (причем, первое и последнее значения – с запасом). Интервалы выбираются равными, а их концы возможно более простыми (в целых точках или в целых десятках: 10, 20,…). Обычно удобно ввести не более двух-трех десятков таких интервалов. Например, если x₁ = 0, …, x_k = 20, то вводим промежутки [–10, 0], [0, 10], [10, 20], [20, 30]. Каждому интервалу сопоставляется его середина x_i и частота m_i, равная сумме частот значений ряда, попадающих в этот интервал. При этом для значения, попавшего на границу двух интервалов, частота делится пополам между ними. Таким образом, составляется сгруппированный вариационный ряд, для которого определяются относительные частоты (или эмпирические вероятности)

и эмпирические плотности

. По этим данным строятся полигон эмпирического распределения (см. рис.1), гистограмма

(рис.3) и эмпирическая функция распределения

по накопленной эмпирической вероятности (рис.4).

Рис.3. Гистограмма

Рис.4. Эмпирическая функция

распределения

По теореме Бернулли (т.е. по следствию закона больших чисел) эмпирическая вероятность приближается к теоретической вероятности при

, что справедливо и для значений эмпирической функции распределения и гистограммы на интервалах группировки.
Пример 14. Выборка задана вариационным рядом:

	0	3	5	9	11	13	17	19	20	24	26	28	31	34	39	40	42
	4	2	5	3	6	3	3	4	3	2	1	3	3	2	1	3	2

(k = 1,2,…,17).

Произвести группировку значений и по сгруппированному вариационному ряду построить эмпирическую функцию распределения и гистограмму плотности.

Решение. Вводим интервалы группировки: