Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

, находят критическое значение . Вычисленное по выборке значение сравнивают с критическим значением: если , то различие эмпирических данных с теоретическим распределением можно считать несущественным и гипотеза о согласии эмпирических данных с теоретическим распределением не отвергается; если , называемой критической областью, то различия существенны и гипотезу о согласии следует отвергнуть.

Отметим, что при использовании критерия Пирсона значения, частоты которых малы можно объединить (обычно это крайние значения или интервалы).

---

Пример 15. При проведении испытаний материала на разрыв получено 50 значений, характеризующих прочность на разрыв. По этим данным составлен сгруппированный вариационный ряд (масштаб 10⁴ Па).

Интервал i	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220	220-240	240-260	260-280
xi	130	150	170	190	210	230	250	270
mi	2	4	10	13	11	6	3	1

Оценить согласие полученных данных с нормальным распределением при уровне значимости и получить приближенную интервальную оценку для параметра с надежностью .

Решение. Введем условную варианту, определив шаг h = 20 и выбрав ложный нуль C = 190, и найдем и (табл.2).

Таблица 2

Интервал i	xi	mi
1	130	2	–3	–6	9	18
2	150	4	–2	–8	4	16
3	170	10	–1	–10	1	10
4	190	13	0	0	0	0
5	210	11	1	11	1	11
6	230	6	2	12	4	24
7	250	5	3	9	9	27
8	270	1	4	4	16	16
__________		50		12		122

---

По данным табл.2 имеем n = 50 и

;

;





Найдем теоретические частоты (табл.3) для интервалов , используя формулу вероятности попадания значений в этот интервал (для нормального распределения с параметрами и ):

.

Таблица 3

i
120-140	–2,43	–1,78	–0,4924	0,4624	0,0300	1,5  1
140-160	–1,78	–1,13	–0,4624	–0,3708	0,0916	4,58  5
160-180	–1,13	–0,48	–0,3708	–0,1844	0,1864	9,34  9
180-200	–0,48	0,17	–0,1844	0,0675	0,2519	12,59  13
200-220	0,17	0,81	0,0675	0,2910	0,2235	11,17  11
220-240	0,81	1,46	0,2910	0,4279	0,1369	6,87  7
240-260	1,46	2,11	0,4279	0,4826	0,0547	2,78  3
260-280	2,11	2,73	0,4826	0,4968	0,0142	0,71  1

---

Найдем выборочное значение , объединив крайние интервалы для маленьких частот m_i (табл.4). Это объединение не является необходимым, но вполне применимо для упрощения в случае маленьких частот.
Таблица 4

Номер интервала		mi	npi	mi – npi	(mi – npi)2
1	120-140		6	0	0	0
2	140-160
3	160-180	10	9	1	1	0,111
4	180-200	13	13	0	0	0
5	200-220	11	11	0	0	0
6	220-240	6	7	–	1	0,143
7	240-260		4	0	0	0
8	260-280

Таким образом, если после объединения число интервалов а число наложенных связей , то число степеней свободы . Поэтому по таблице критических значений

---

(прил.3) имеем . Сравнивая найденное значение с критическим (0,254 < 7,82), получим, что рассматриваемые данные могут быть из нормально распределенной совокупности.

Для получения интервальной оценки найдем из условия , т.е. и , и радиус интервала .

Вычислим доверительный интервал для параметра с надежностью :

.

Пусть для изучаемой системы случайных величин (X, Y) получена выборка значений системы (x_i, y_i) с соответствующими совместными частотами m_ij . Объем выборки , каждое значение x_i встречается с частотой , а каждое значение y_j встречается, соответственно, с частотой . Условные средние и представляют отдельные значения для регрессий соответственно Y на X и X на Y:

, (

---