Файл: А. П. Господариков, И. А. Лебедев.doc

).

По выборке системы СВ определяют выборочные наилучшие линейные регрессии, которые приближенно выражают регрессионную (или корреляционную) зависимость между рассматриваемыми в системе случайными величинами:

, ,

где , – выборочные отклонения для X и Yсоответственно. выборочный коэффициент корреляции

.

выборочные регрессии Y на X и X на Y приближают точки ( ) и ( ) соответствующих условных средних и соответственно. По величине коэффициента или по значению угла между прямыми выборочных регрессий можно сделать вывод о качестве связи между случайными величинами. Для расчета , и удобно использовать условные варианты для X и Y:

, , .

Пример 16. Пусть имеется 100 сгруппированных наблюдений двух измеримых признаков X и Y, по которым составлена корреляционная таблица ( ) (табл.5).

Таблица 5

Y	X						nj
	30	35	40	45	50	55
18 28 38 48 58	4	6 8	10 4 4	35 12 1	5 6 3	2	10 18 44 22 6	33,0 37,78 45,11 45,45 50,83
mi	4	14	18	48	14	2	n = 100
	18,00	23,71	34,67	40,92	46,57	58,0

---

Найти выборочные регрессии и оценить качество связи признаков.

Решение. В табл.5 уже найдены отдельные частоты n_j для y_j (суммы частот m_ij по строкам), частоты m_i для x_i (сумма частот m_ij по столбцам) и условные средние. Например:

, .

Соответствующие точки условных средних есть точки и .

Для определения выборочных регрессий перейдем к условным вариантам.

Наибольшая частота, ближайшая к центру таблицы, и, следовательно, соответствующие ложные нули и шаг (для x_i) и (для y_j).

Составим новую таблицу в условных вариантах для расчета характеристик (табл.6).
Таблица 6

	–3	–2	–1	0	1	2
–2	4	6					10	–20	40
–1		8	10				18	–18	18
0			4	35	5		44	0	0
1			4	12	6		22	22	22
2				1	3	2	6	12	24
	4	14	18	48	14	2	n = 100
	–12	–28	–18	0	14	4
	36	56	18	0	14	8

---

По данным табл.6 получим выборочные характеристики:

;

;

;

;

;

;



;



.

Для вычисления найдем средние суммы всех произведений u_iv_jm_ij:





.

Выборочный коэффициент корреляции

.

Уравнения выборочных регрессий имеют вид

для регрессии Y на X



;

для регрессии X на Y



.

Обе прямых регрессий проходят через точку средних

---

; и для построения последних достаточно найти еще по одной точке для каждой прямой.

Так как значительно отличаются от нуля, то связь между изучаемыми случайными величинами достаточно сильная, а так как это значение еще не близко к единице, связь нелинейная. Аналогичные выводы можно сделать и по величине угла между прямыми регрессий.

Для наглядности все точки условных средних и следует нарисовать на одном чертеже вместе с прямыми регрессий, причем масштаб на осях координат должен быть одинаков (чтобы избежать искажений).

---

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6

Задача1. В ящике имеются a белых и b черных шаров. Найти вероятность того, что:

а) первый вынутый из ящика шар будет белым;

б) все вынутые из ящика kшары будут черными.

Значения a,b и k по вариантам следующие:

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	6	3	5	10	4	6	3	5	8	7
b	5	7	8	5	66	8	7	10	4	5
k	3	4	2	3	4	5	3	4	3	3

Задача 2.

Вариант 1. В ящике имеются 5 деталей, изготовленных на станке № 1, и 10 деталей, изготовленных на станке № 2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная на станке № 1.

Вариант 2. Из трех орудий одновременно произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9, для второго и третьего орудия эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,7.

Найти вероятность того, что:

а) только одно орудие попало в цель;

б) только два орудия попали в цель;

в) все три орудия попали в цель.

Вариант 3. Три автомата производят детали

---