ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2023
Просмотров: 44
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вариант 2
Теория множеств
№ 1. Найти все подмножества множества
{1, 2, 3 }.Решение:
Выпишем одноэлементные подмножества: {1}, {2}, {3}, затем двухэлементные: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, трехэлементные: {1, 2, 3} и множество, не содержащее ни одного элемента (пустое множество) – .
Количество подмножеств множества, состоящего из n элементов равно
. В нашем примере множество состоит из трех элементов, значит количество подмножеств равно 
=8.№ 2. А – множество студентов в одной из групп факультета, а В – множество отличников на факультете. Какие множества студентов описывают множества: А
В; А\В; В\А?Решение:
Пересечением множеств А и В называется множество А
В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и В: А
В = {х | х
А и х В}.Тогда А
В – это множество отличников данной группы.Разностью множеств A и B называется множество А\В элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B.
Тогда А\В – множество студентов данной группы, не являющихся отличниками.
В\А – множество отличников факультета за исключением отличников данной группы.
№ 3. Множества А и В есть подмножества множества I (рис.)
А
В
I
Заштриховать на рис. следующие множества: 1) А
В; 2) А
В; 3)
; 4)
Решение:
1) А
В – объединение множеств А и В (все точки обоих множеств):
2) А
В – пересечение множеств А и В (общие точки двух множеств):
3)
– дополнение множества А (точки, не принадлежащие множеству А):
4)
– объединение множества А и дополнения множества В:
№ 4. Дано множество К={a;b;{c,d};{e;f;m}}. Определите, какие из следующих высказываний истинны и почему:
а) {a;{c;d}}
K; б) {c;d}
K; в){{c;d}}
K; г){c;d}
K. Решение: Если любой элемент множества А принадлежит так же и множеству В, то А называют подмножеством В. Записывают А В. Знак называют знаком включения. Знак обозначает принадлежность какого-либо элемента к множеству. Поэтому высказывания а), в) и г) являются истинными, а высказывание б) – ложным. Действительно, множество {a;{c;d}}, состоящее из двух элементов a и {c;d} является подмножеством В. Множество {{c;d}}, состоящее из одного элементa {c;d} является подмножеством множества К. Элемент {c;d} принадлежит множеству К. А вот множество {c;d}, состоящее из двух элементов с и d не является подмножеством множества К, потому что отдельные элементы с и d не являются элементами множества К.
№ 5. Найдите разность множеств P и S, если:
P={x|x
Z, -4
x 6} , S={ x|x
N, 3
x 10}. Здесь Z – множество целых чисел, N - множество натуральных чисел.Решение:
Разностью множеств P и S называется множество элементов, принадлежащих P и не принадлежащих S. Обозначают P\S и читают "разность P и S".
.
Получаем, что разность множеств P и S – это все точки отрезка
за исключением четырех точек х = 3,4,5,6.№ 6. Найдите дополнение к множеству В до множества А, если
а) А={11;12;43;54;7}, B={7;12}.
Решение:
Это множество называют дополнением множества
до множества 
. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А).Тогда
.б) А – множество учащихся некоторого класса; В – множество отличников в этом классе.
– множество учащихся данного класса, не являющихся отличниками.№ 7. Даны множества А= {a,b,c},B={1,2} C={2,3,4}.
Запишите множества
и 
.Решение:
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом А В = {(x;y) | x A, y B}. Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.
А В={(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}.
А С={(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.
В С={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.
№ 8. Запишите множество различных цифр в записи числа 235 535. Запишите кортеж цифр этого числа. Какова длина этого кортежа?
Решение:
В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.
Множество различных цифр в записи числа 235 535 имеет вид: {2,3,5}.
Кортеж числа 235 535 имеет вид (2; 3; 5; 5; 3; 5). Его длина равна 6.
№ 9. Пусть Х={”мама”;“папа”;“рама”;“яма”}; Y={а,м,р,п,я}. Составьте декартово произведение
. Отметьте в нем пары, связанные соответствием «В слово х входит буква у».Решение:
Декартово произведение
= { (”мама”, а), (”мама”, м), (”мама”, р), (”мама”, п), (”мама”, я), (“папа”, а), (“папа”, м), (“папа”, р), (“папа”, п), (“папа”, я), (“рама ”, а), (“рама ”, м), (“рама ”, р), (“рама ”, п), (“рама ”, я), (“яма ”, а), (“яма ”, м), (“яма ”, р), (“яма ”, п), (“яма ”, я)}.Выделим подчеркиванием среди выписаных пары, связанные соответствием «В слово х входит буква у».
№10. А – множество прямых на плоскости. Выясните, какие из следующих отношений в множесве А являются отношениями эквивалентности.
а) « прямая а перпендикулярна прямой b»
б) “ прямая а паралельна прямой b”
в) “ прямая а пересекает прямую b”.
Решение:
Отношение эквивалентности (
) на множестве 
— это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:-
Рефлексивность:
для любого 
в , -
Симметричность: если
, то 
, -
Транзитивность: если и 
, то 
.
а) «прямая а перпендикулярна прямой b» не является отношением эквивалентности, т.к. это отношение не рефлексивно: прямая не является перпендикулярной сама себе.
б) “ прямая а паралельна прямой b” - это отношение эквивалентности:
1) а параллельна а (рефлексивность)
2) а параллельна b ⇒ b параллельна а (симметричность)
3) а параллельна b, b параллельна с ⇒ а параллельна с (транзитивность).
в) “прямая а пересекает прямую b” – не является отношением эквивалентности, т.к. это отношение не транзитивно: если а параллельна с, а b пересекает обе прямые, то (a,b) и (b,с) находятся в отношении, а (а,с) - нет.
№11. На рис. изображены графы различных соответствий. Какие из этих соответствий являются отображениями?
X Y X Y X Y
Решение:
Отображением (функцией) f из A в B называется правило, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B.
Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением ХвY, если каждому элементу х из множества Хсоответствует только один элемент множества Y. Этот элемент называют образом элементах при данном отображении: f(x).На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка.
Следовательно, отображением является только второе соответствие, т.к. у него каждому элементу из Х соответствует только один элемент Y (ax, bz, cy). Соответствия на первом и третьем графах не являются отображениями, так как некоторым элементам Х соответствуют по два-три элемента Y.