ВУЗ: Национальная металлургическая академия Украины
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Маркетинг
Добавлен: 06.02.2019
Просмотров: 2037
Скачиваний: 7
6
7. Яке нове утворення матимемо при об’єднанні А – множини прямих, які
проходять через точку а деякої площини, В – множини прямих, які про-
ходять через точку с цієї ж площини.
Розв’язок. Нехай А – множина прямих, які проходять через точку а де-
якої площини, В – множина прямих, які проходять через точку с цієї ж пло-
щини. Тоді А
∩
В = {l}, де l – пряма, яка проходить через точки а і с.
В
ИЗНАЧЕННЯ
:
Якщо множина А являє собою об’єднання підмножин А
1
,
А
2
, …, А
n
, …, то сукупність підмножин {А
1
, А
2
, …, А
n
, …} називається пок-
риттям множини А. Якщо ж сукупність підмножин покриття множини А такі,
що А
і
∩
A
j
=
∅
при i = j, то сукупність {А
1
, …, А
n
, …} називається розбиттям
множини а, а підмножини А
і
– класами цього розбиття, і = 1, 2, …, n, …
8. Нехай А – множина всіх студентів деякого вузу Х, які його закінчили, а
А
і
– підмножина тих студентів вузу Х, які закінчили і-тий факультет цьо-
го вузу. Чи є сукупність підмножин А
1
, А
2
, … А
к
покриттям множини А?
Розв’язок. Оскільки невиключена можливість, що якась людина з
множини А закінчила кілька факультетів даного вузу, і така людина попа-
дає в кілька відповідних підмножин сукупностей, то ясно, що сукупність
підмножин А
1
, А
2
, … А
к
є покриттям множини А. Якщо ж взяти сукупність
всіх студентів вузу Х, які навчаються в даний час, то сукупність студентів
А
1
, А
2
, …, А
к
є, очевидно, розбиттям множини всіх студентів даного вузу,
які навчаються в динний час.
В
ИЗНАЧЕННЯ
:
Різницею множин А і В називається множина В \ А =
={a | a
∈
B i a
∉
A}. Очевидно, що В \ А = В \ (А
∩
В). Якщо А
⊆
В, то В \ А
називається доповненням множини А в множині В і позначається А
′
в
або
просто А
′
, коли В можна визначити із контексту.
Симетричною різницею множин А і В називається множина А
÷
В =
=(А \ В)
∪
(В \ А).
9. Визначте елементи, які є різницею множин A = {1, 2, 3}та B = {1, 3, 4, 5}
7
Розв’язок. Нехай A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 4, 5}. Тоді В \ А = {1, 3, 4,
5} \ {1, 2, 3} = {4, 5} = B \ (A
∩
B) = {1, 3, 4, 5} \ {1, 3} = {4, 5}.
10.
Яке нове утворення є різницею П – множини всіх парних натуральних
чисел, та Н – множини всіх непарних натуральних чисел?
Розв’язок. Множина N \ П = Н, тобто N \ П являє собою множину
віх непарних натуральних чисел. Навпаки, N \ Н = П.
В
ИЗНАЧЕННЯ
:
Введені операції (малюнок 1) називають теоретико-
множинними операціями. Їх можна ілюструвати графічно за допомогою так
званих діаграм Венна. На цих діаграмах множини-аргументи зображуються
у вигляді областей площини, а результат виконання операцій – у вигляді
заштрихованої області.
а – діаграма для А
∪
В;
б – діаграма для А
∩
В;
в – діаграма для А
′
;
г – діаграма для А
÷
В
З
АДАЧІ ТА ВПРАВИ ДО ТЕМИ
М
НОЖИНИ
I Множини, операції над множинами
Рис. 1
8
1. Довести, що умови A
⊆
B,
A
∩
B = A,
A
∪
B = B
еквівалентні між собою.
2. Довести, що A
∩
B
⊆
A
⊆
A
∪
B,
A
∩
B
⊆
B
⊆
A
∪
B,
A \ B
⊆
A.
3. Довести, що
∅
≠
{
∅
},
{{a}, {b, c}}
≠
{a, b, c}.
4. Пояснити, чому
3
∈
{1, 2, 3, 4}
{1, 2}
∉
{{1, 2, 3}, {2, 3}, 1, 2}.
5. Описати словами кожну з множин:
a) {x
∈
N | x ділиться на 2 і х ділиться на 3};
b) {x | x
∈
A i x
∈
B};
c) {x | x
∈
A i x
∉
B};
d) {(x, y)
∈
D
2
| x
2
+ y
2
= 1}
e) {(x, y)
∈
D
2
| y = 2x i y = 3x}.
6. Нехай універсальною множиною U служить множина натуральних чи-
сел N, тобто U = N, a
a) A = {x
∈
N | для деякого y
∈
N
+
x = 2y},
b) B = {x
∈
N | для деякого y
∈
N
+
x = 2y – 1},
c) C = {x
∈
N | x
<
10}.
Побудувати або описати словами множини
А
′
, (А
∪
В)
′
, С
′
, А \ С
′
, С
′
\ (А
∪
В).
7. Знайти множини:
∅
∩
{
∅
}, {
∅
}
∩
{
∅
},
{
∅
, {
∅
}} \
∅
,
{
∅
, {
∅
}} \ {
∅
},
{
∅
, {
∅
}} \ {{
∅
}}.
8. Довести, що множина всіх коренів многочлена F(x) = f
1
(x) * f
2
(x) – це
об’єднання множин коренів многочленів f
1
(x) i f
2
(x).
9. Довести: ((A
∩
B
∩
X)
∪
(A
∩
B
∩
C
∩
X
∩
Y)
∪
(A
∩
X
∩
X
′
)) =
= A
∩
B
∩
X.
10. Довести тотожності:
a) A
∪
A
′
= U;
b) A \ (B
∪
C) = (A \ B)
∪
(A \ C);
c) A \ (B
∪
C) = (A \ B) \ C;
d) A \ (B
∩
C) = (A \ B)
∪
(A \ С);
e) A \ (B \ C) = (A \ B)
∪
(A
∩
С);
f) (A \ B) \ С = (A \ C) \ (B \ C);
9
g) A
∩
B = A \ (A \ B);
h) A
∪
B = A
∪
(B \ A);
i) (A
′
∪
B)
∩
A = A
∩
B;
j) A
∩
(B \ A) =
∅
;
k) (A
∪
B) \ C = (A \ C)
∪
(B \ C);
Довести співвідношення:
a) A
∪
B
⊆
C
⇔
А
⊆
С i B
⊆
С;
b) A
⊆
(B
∩
C)
⇔
A
⊆
B i A
⊆
C;
c) A
∩
(B \ C) = (A
∩
B) \ (A
∩
C) = (A
∩
B) \ C;
d) (A
∩
B)
∪
(A
∩
B
′
) = (A
∪
B)
∩
(A
∪
B
′
) = A;
e) A = B
⇔
A
∪
B = B
⇔
A
∩
B = A
⇔
A \ B =
∅
i A
′
∪
B = U,
де U – універсальна множина, а А
′
– доповнена множина А в U.
11. Чи існують такі множини А, В, С, що
A
∩
B
≠
∅
, A
∩
C =
∅
, (A
∩
B) \ C =
∅
?
12. Знайти всі підмножини множин:
∅
, {
∅
}, {x}, {1, 2}.
13. Довести, що множина А, яка складається з n елементів, має 2
n
підмножин.
14. Що являє собою множина D
× D, якщо D – множина дійсних чисел.
15. Довести, що A
⊆
(B
∪
C)
⇔
(A
∩
B
′
)
⊆
C.
16. Які з наведених нижче тверджень справедливі для будь-яких множин А,
В, С:
A
⊆
B i B
⊆
С
⇒
A
⊆
C;
A
≠
B i B
≠
C
⇒
A
≠
C;
A
⊆
(B
∪
C)
′
i B
⊆
(A
∪
C)
′
⇒
B = 0.
17. Нехай U – універсальна множина і A
⊆
U. Довести, що U = A
⇒
A = U.
18. Довести, що А = В
′
⇔
A
∩
В =
∅
і А
∪
В = U.
19. Довести, що коли А
1
⊇
А
2
⊇
…А
n
⊇
A
1
, то А
1
= А
2
= … = А
n
для довіль-
них множин А
1
, А
2
, …, А
n
.
20. Довести, що:
a) A
÷
B = B
÷
A;
b) A
÷
(B
÷
C) = (A
÷
B)
÷
C;
c) A = B
⇔
A
÷
B =
∅
;
d) A
∩
(B
÷
C) = (A
∩
B)
÷
(A
∩
C);
e) A
÷
(A
÷
B) = B;
f) A
∪
B = A
÷
B + (A
∩
B);
10
g) A \ B = A
÷
(A
∩
B);
h) A
÷
∅
= A;
i) A
÷
A =
∅
j) A
÷
U = A
′
.
21. Довести, що:
a) A
∪
B = A
∩
B
⇒
A = B;
b) (A
∩
B)
∪
C = A
∩
(B
∪
C)
⇔
C = A;
c) A
⊆
B
⇒
A
∪
C
⊆
B
∪
C;
d) A
⊆
B
⇒
A
∩
C
⊆
B
∩
C;
e) A
⊆
B
⇒
A \ C
⊆
B \ C;
f) A
⊆
B
⇒
C \ B
⊆
C \ A;
g) A
⊆
B
⇒
B
′
⊆
A
′
;
h) (A
∩
B)
∪
C = A
∩
(B
∪
C)
⇔
C
⊆
A.
22. Довести, що коли А, В, С, D – непусті множини, то:
a) A = B i C = D
⇔
A
×
C = B
×
D;
b) A
⊆
B i C
⊆
D
⇔
A
×
C
⊆
B
×
D.
23. Довести, що:
a) B(A
∩
C) = B(A)
∩
B(C);
b) B (
∩
A
i
) =
∩
B(A
i
);
c) B(
∪
A
i
) = {
∪
C
i
| C
i
∈
B(A
i
)},
де і пробігає деяку множину цілих чисел І.
24. Довести, що
)
(
)
(
U
I
n
i
i
n
i
i
A
B
A
B
1
1
=
=
∩
=
∪
.
25. Довести, що {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, u}}
⇔
x = z i y = u.
26. Довести, що
a) A
×
(B
×
C)
≠
(A
×
B)
×
C,
b) (A
∩
B)
×
(C
∩
D) = (A
×
C)
∩
(B
×
D).
II Відносини на множинах, булеві функції та відображення
27. Дати геометричну інтерпретацію відношень:
a) {(x, y)
∈
D
2
| y = x}
b) {(x, y)
∈
D
2
| y
≥
x}