Файл: Обработка результатов измерений.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.12.2023

Просмотров: 67

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Стерлитамаке Кафедра автоматизированных технологических и информационных систем ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Учебно-методическое пособие УФА 2016 2 Учебно-методическое пособие «Обработка результатов измерений» по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» предназначено для студентов всех форм обучения направлений подготовки: 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств», а также для студентов, обучающихся по специальности 21.05.06 Нефтегазовые техника и технологии, специализация «Системы автома- тизации и управления в нефтегазовой промышленности». Учебно-методическое пособие посвящено выполнению расчётов по об- работке результатов многократных прямых и косвенных видов измерений фи- зических величин, методике расчёта характеристик погрешностей и определе- ния класса точности средств измерений, а также методика построения функци- ональных схем систем автоматизации технологических процессов. Для облег- чения выполнения курсовой работы в приложении приведены все необходимые табличные данные, а также основная рекомендуемая литература. Пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация», может быть рекомендовано при выполнении экспериментальной и расчётной части курсовой работы и вы- пускных квалификационных работ, связанных с расчётом погрешностей средств измерений. Составитель: Чариков П.Н., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС Рецензенты: Кадыров Р.Р., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС Быковский Н.А., канд. техн. наук, доц. каф. АТИС © Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2016 3 СОДЕРЖАНИЕ С Введение ..................................................................................................................... 4 1 Методика обработки результатов прямых видов измерений ............................ 5 1.1 Обработка результатов прямых равноточных измерений .............................. 5 1.2 Варианты заданий к разделу 1.1 ........................................................................ 9 1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии ....................................... 11 1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений ........................ 13 2 Методика обработки результатов косвенных видов измерений ..................... 15 2.1 Общий случай .................................................................................................... 15 2.2 Частный случай ................................................................................................. 17 2.3 Критерий ничтожных частных погрешностей ............................................... 18 2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений для наиболее распространенных уравнений связи .............................................. 19 2.5 Варианты заданий к разделу 2 ......................................................................... 20 3 Методика расчета статистических характеристик погрешности СИ в эксплуатации. Определение класса точности ................................................... 21 4 Методика построения функциональных схем систем автоматизации технологических процессов ......................................................... 25 4.1 Виды и типы схем автоматизации ................................................................... 25 4.2 Функциональные схемы автоматизации (ФСА) ............................................ 26 4.3 Графические условные обозначения приборов и средств автоматизации .. 30 4.4 Буквенные условные обозначения приборов и средств автоматизации ..... 31 4.5 Примеры условных обозначений приборов и средств автоматизации ....... 34 4.6 Варианты заданий к разделу 4 ......................................................................... 38 Список использованных источников ................................................................... 39 Приложение ............................................................................................................. 40 4 Введение Методическое пособие посвящено выполнению расчётов по обработке результатов многократных прямых и косвенных видов измерений физических величин, методике расчёта характеристик погрешностей и определения класса точности средств измерений, а также методика построения функциональных схем систем автоматизации технологических процессов. Для облегчения вы- полнения курсового проекта в приложении приведены все необходимые таб- личные данные, а также основная рекомендуемая литература. Пособие предна- значено для студентов очной и заочной форм обучения по дисциплине «Метро- логия, стандартизация и сертификация», может быть рекомендовано при вы- полнении экспериментальной и расчётной части РГР и дипломных проектов, связанных с расчётом погрешностей средств измерений. 5 1 Методика обработки результатов прямых видов измерений К прямым видам относятся измерения, результаты которых получаются из опытных данных одного измерения. Прямые виды измерений бывают равно- точные и неравноточные. 1.1 Обработка результатов прямых равноточных видов измерений Результаты равноточных измерений получаются при многократных измере- ниях одного и того же истинного значения Xˆ измеряемой физической величи- ны (ФВ), одним и тем же средством измерения, одним наблюдателем, при неиз- менных условиях измерения. Результат измерения при этом равен siiixx++=0ˆ, (1.1) где xˆ - истинное значение; i0 и si- соответственно случайная и систематическая составляющие i - го результата. Обычно величина si известная и в результат измерения вносится поправ- ка siiC−=, (1.2) т.е. получается исправленный результат 0 0ˆ+= xx. (1.3) Задача обработки результатов найти оценку (приближенная характеристика) истинного значения xˆx=)(0ixf. (1.4) Для оценки результата измерений, являющегося случайной величиной находят его характеристики: оценку математического ожидания )(xM - среднее значение, вокруг которого группируются все результаты и оценку среднего квадратического отклонения (с. к. о.) )( x, которая является мерой рассеяния результатов относительно центра группирования. А Точечная оценка При обработке результатов измерений необходимо воспользоваться свой- ствами математического ожидания и дисперсии. Оценка называется точечной, если ее значения можно представить на чис- ловой оси геометрически в виде точки. 1 Исправленный ряд результатов ранжируется nxxx2 12 Находится среднее арифметическое x (оценка математического ожида- ния )(xM) 6 1)(1===niixnxxM (1.5) 3 Проверяется правильность вычислений x==−niixx1;0( (1.6) =−niixx1 2)(4 Определяется оценка среднего квадратического отклонения (с. к. о.) а) Оценка с. к. о. отдельного результата наблюдения (формула Бесселя) )(1 1)(1 2=−−==niixxnSx (1.7) Полученные точечные оценки по формулам (1.5) и (1.7) являются случай- ными, т.к. при повторных измерениях получим другую группу результатов, а для нее другие значения x и )( x. Поэтому для оценки полученного результа- та измерения величины x необходимо оценить с. к. о. среднего арифметиче- ского xб) Оценка с. к. о. среднего арифметического x)()1(1)(1 2=−−===niixxxnnnSSx (1.8) В полученной группе результатов измерений один или два наблюдения (обычно это крайние результаты в ряде) могут резко отличаться от остальных. Поэтому их следует проверить на наличие в них грубых погрешностей с целью их исключения из ряда измерений, т.к. они могут сильно искажать x, )( x, за- кон распределения и доверительный интервал. Б Критерии грубых погрешностей Задача решается статистическими методами, основанными на том, что рас- пределение, к которому относится рассматриваемая группа наблюдений, можно считать нормальным. Существуют разные критерии. Рассмотрим один из них. 5 Критерий Грабса или  - критерий. Определяются расчетные значения )(maxxxxtii−= (1.9) и сравниваются с табличными (Таблица П3.shs) tГ = f (q; k), (1.10) где q = (1 – pД) - уровень значимости, % pД - принятая доверительная вероятность, % k = (n - 1) - число степеней свободы, n - число результатов измерений. 7 Обычно уровень значимости берется равным 5% или 10%. Если выполняется критерий ti  tГ , (1.11) то в результате Xi грубых погрешностей нет и расчет продолжается. Если критерий (1.11) не выполняется, то результат ix- как промах отбрасы- вается и расчеты по п.1 – п.4 повторяют при новом числе наблюдений n/ = n - 1. 6 Записываются результаты точечной оценки x =, =)( x, =)( xСледует отметить, что величины )(x используются при оценке погреш- ности окончательного результата измерения, а )( x - при оценке погрешности метода измерения. Точечные оценки результатов измерений указывают интервал значений из- меряемой величины, внутри которого находится истинное значение )(ˆxxx=. (1.12) Но т.к. x и )( x - величины случайные, то необходимо рассмотреть во- прос о точности и надежности этой оценки, т.е. проводится их интервальная ве- роятностная оценка. В Интервальная оценка При интервальной оценке определяется доверительный интервал, который накрывает истинное значение измеряемой величины (истинное значение оказы- вается внутри этого интервала) с заданной доверительной вероятностью pДДpxxxP=+−)ˆ(, (1.13) где J (pД) = 2 - доверительный интервал; (x)- доверительные границы. 7 Оценка доверительного интервала математического ожидания )(xM: а) при нормальном законе распределения погрешностей )(xt=, (1.14) где t = f (pД) - коэффициент стандартного нормального закона распределения находится по таблице функций Лапласа (Таблица П1.shs) −=ttdtetФ0 22 21)(, (1.15) Ф(t) = 0,5pДб) при распределении Стьюдента )(xtp=, (1.16) 8 где t p = f(q; k) - коэффициент Стьюдента находится по таблице распределения Стьюдента (Таблица П4.shs). При оценке доверительного интервала случайной погрешности 0 по фор- мулам(1.14) и (1.16) необходимо знать закон распределения случайных резуль- татов. Приближенно это можно сделать по формуле Петерса =−−=niiПxxn1,5,0 253,1 (1.17) если Пx=)(, (1.18) то опытное распределение считается нормальным. В противном случае пользу- ются распределением Стьюдента. В практике измерений доверительную вероятность при оценке доверитель- ного интервала )(xM принимают равной pД = 0.95. 8 Оценка доверительного интервала с. к. о. )( x),()()(xxxВН (1.19) где );(1)();(1)(xnxxnxВННВ−=−= (1.20) 2В = f (k; qВ); 2Н = f (k; qН); qВ = 1– pВ; qН = 1– pН; pВ = (1 + pД)/2; pН = (1 – pД)/2; k = (n –1) – число степеней свободы ряда результатов измерений. Значения 2 находят по таблице распределения Пирсона ),(2kqf=, а доверительная вероятность берётся равной 0.9 (Таблица П2.shs). 9 Записываются результаты измерения = xxˆ, при pД = 0,95, ),()()(xxxВН при pД = 0,9. При расчёте погрешностей необходимо пользоваться следующими прави- лами округления: 1)погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифра- ми, если первая из них равна 1 или 2; и одной - если первая цифра равна 3 и бо- лее; 2)результат измерения округляется до того же десятичного разряда, кото- рым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности; 3)округление производится лишь в окончательном ответе, а все предвари- тельные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками. 9 1.2 Варианты заданий к разделу 1.1 (результаты измерений исправлены) 1 Результаты измерения тока амперметром (А): 0.111; 0.085; 0.091; 0.101; 0.109; 0.086; 0.102; 0.111; 0.098; 0.085; 0.105; 0.112; 0.098; 0.113; 0.087; 0.109; 0.115; 0.099;0.099; 0.094;0.105 2 Результаты измерения напряжения вольтметром (В): 1.07; 0.99; 1.25; 0.89; 1.04; 1.13; 0.96; 1.03; 1.45; 1.04;1.05; 0.88; 1.03; 0.97; 1.15; 1.09; 0.89; 1.08; 1.07; 0.97 3 Результаты измерения длины детали (мм): 10.6; 9.6; 10.9; 11.6; 10.9; 11.7; 10.8; 10.9; 11.7; 10.3;12.7; 11.9; 11.8; 12.5; 10.5; 11.6; 10.1; 11.3; 10.7; 10.5 4 Результаты измерения диаметра детали (мм): 12.205; 12.208; 12.212; 12.209; 12.204; 12.206; 12.209; 12.210;12.203; 12.208; 12.206; 12.213; 12.205; 12.207; 12.208; 12.209;12.208; 12.207; 12.209 5 Результаты измерения среднего диаметра резьбового калибра (мм): 8.911; 8.913; 8.915; 8.917; 8.919; 8.921; 8.923; 8.927; 8.925;8.923; 8.921; 8.919; 8.917; 8.915; 8.913; 8.925 6 В результате измерений получена следующая совокупность: 20.15; 20.20; 20.23; 20.26; 20.17; 20.21; 20.25; 20.27; 20.19;20.21; 20.25; 20.28; 20.19; 20.23; 20.25; 20.30; 20.20; 20.23;20.26 7 Измерение температуры объекта дало результаты (0C): 119; 107; 111; 112; 129; 113; 106; 104; 106; 98.0; 123; 108; 93.0; 105; 106; 139; 108; 107; 93.0; 117 8 Рассчитать характеристики погрешности следующего ряда: 20.42; 20.43; 20.40; 20.43; 20.42; 20.43; 20.39; 20.30;20.40;20.43; 20.42; 20.41; 20.39; 20.39; 20.40 9 Результаты измерения объемного расхода жидкости (м3/с): 10.7; 11.8; 9.9; 10.8; 11.9; 10.8; 10.1; 10.9; 12.8; 12.7; 12.1;11.8; 12.2; 11.6; 12.4; 12.5; 11.4; 12.6; 13.1; 14.3; 11.9; 11.3;12.5 10 Результаты измерения длины металлического стержня (мм): 358.52; 358.51; 358.49; 358.48; 358.46; 358.45; 358.42; 358.59; 358.55; 358.53 11 Результаты измерения длины детали (см): 18.305; 18.306; 18.309; 18.308; 18.306; 18.309; 18.313; 18.308; 18.312; 18.310; 18.305; 18.307; 18.309; 18.303; 18.307; 18.309; 18.304; 18.308; 18.308; 18.310 10 12 Результаты измерения индуктивности (Гн): 10.13; 10.12; 10.08; 10.07; 10.40; 10.20; 10.17; 10.16; 10.15 13 Результаты измерения напряжения милливольтметром (мВ): 31.56; 31.82; 31.73; 31.68; 31.49; 31.73; 31.74; 31.72 14 Результаты измерения ёмкости конденсатора (мкФ): 2.151; 2.132; 2.113; 2.165; 2.144; 2.157; 2.150; 2.148; 2.135; 2.145; 2.139 15 Результаты измерения уровня жидкости (м): 7.15; 7.19; 7.27; 7.18; 7.13; 7.14; 7.21; 7.11; 7.17; 7.20; 7.16 16 Измерение объёма жидкости дало результаты (м3): 3.05; 3.121; 3.172; 3.009; 3.117; 3.120; 3.140; 3.150; 3.161; 3.092; 3.112 17 Обработать следующий ряд результатов измерений: 1.112; 1.007; 1.117; 1.210; 1.021; 1.110; 1.112; 1.092; 1.104; 1.075; 1.107 18 Результаты измерения расстояния между двумя пунктами (км): 9.150; 9.290; 9.370; 9.272; 9.197; 9.159; 9.162; 9.251; 9.302; 9.501; 9.117 19 Результаты измерения проводимости материала (сименс): 4.720; 4.851; 4.757; 4.804; 4.791; 4.651; 4.712; 4.751; 4.792; 4.698; 4.582 20 Результаты измерения сопротивления резистора (кОм): 8.821; 8.795; 7.695; 8.751; 8.821; 8.797; 8.781; 8.807; 8.789; 8.731; 8.605 21 Результаты измерения уровня жидкости в резервуаре (м): 6.125; 6.178; 6.131; 6.271; 6.251; 6.171; 6.373; 6.291; 6.222; 6.198; 6.201 22 При измерении массы вещества получены следующие результаты (кг): 4.480; 4.521; 4.617; 4.555; 4.498; 4.432; 4.510; 4.518; 4.612; 4.595; 4.606; 4.189; 4.805 23 При поверке рабочего манометра получены следующие результаты из- мерения давления (МПа): 36.28; 36.59; 36.30; 36.12; 38.21; 35.96; 35.85; 35.98; 36.01; 35.97; 36.05; 36.13; 36.02; 35.87; 33.89; 36.04 24 Многократные измерения сопротивления терморезистора (Ом): 459.6; 460.2; 463.1; 460.8; 457.0; 458.5; 459.8; 445.7; 461.2; 460.7; 458.8; 458.4; 449.6; 458.9 25 Результаты измерения влажности воздуха (%): 11 78.64; 78.04; 79.12; 80.56; 78.97; 79.02; 78.54; 78.91; 79.48; 78.00; 78.09; 72.18; 79.02; 78.13; 79.04 26 Результаты измерения массы алмаза (караты): 1.956; 1.978; 1.975; 1.967; 1.985; 1.977; 1.972; 1.969; 1.978; 1.982; 1.985; 1.991; 1.976 27 При калибровке резервуара получены следующие данные (м3): 65.45; 65.54; 62.48; 65.47; 65.52; 65.53; 65.49; 65.52; 65.61; 65.58; 65.49; 65.50; 65.47; 63.08; 65.55; 65.59 28 Результаты измерения диаметра резервуара (м): 5.0678; 5.0669; 5.0638; 5.0645; 5.0642; 5.0655; 5.0645; 5.0652; 5.0657; 5.0644; 5.0648; 5.0651; 5.0653; 5.0612; 5.0661; 5.0601 Примечания: 1) обработку результатов измерений необходимо провести с учётом свойств математического ожидания M(x) и дисперсии D(x) /1/; 2) номер варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы по зачётной ведомости.   1   2   3   4   5

1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии Математическое ожидание )(Mслучайной величины – это среднее зна- чение, вокруг которого группируются все результаты измерения. Дисперсией )(Dслучайной величины  называется математическое ожи- дание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания )(M).()()()(2 22MMMMD−=−=В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной вели- чины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.) ).)()(D=1 Если все значения случайной величины , не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число a, то: а) математическое ожидание )(Mуменьшится (увеличится) на это же число ;),....,()),....((),(2 12 1aXXXMaXaXaXMnn=б) дисперсия )(D не изменится ).,....,()),....((),(2 12 1nnXXXDaXaXaXD=2 Если все значения случайной величины , не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель b ( 1 или  1), то: а) математическое ожидание )(Mумножится на этот же множитель 12 );,....,(),....,(2 12 1nnXXXbMbXbXbXM=б) дисперсия D () умножится на квадрат этого множителя ).,....,(),....,(2 12 21nnXXXDbbXbXbXD=3 а) математическое ожидание )(Mсуммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых );()()()(2 12 1nnXMXMXMXXXM+++=+++б) дисперсия )(Dсуммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых ).()()()(2 12 1nnXDXDXDXXXD+++=+++4 а) математическое ожидание )(Mпроизведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей );()()()(2 12 1nnXMXMXMXXXM=б) дисперсия постоянной величины a равна 0 0)(=aDПример: При измерении случайной величины  с математическим ожиданием )(M и дисперсией )(D получен следующий исправленный ряд результатов nXXX,....,2 1Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число aи умножается на один и тот же постоянный множитель b. Получается случайная величина ba −=)(для другого ряда результатов ,....,2 1nXXXПо формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание )(M и дис- персия )(D второго ряда. Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и диспер- сии, определяются )(M и )(D для исходного ряда результатов измерений: а) aMbbaMM−=−=)()()(; ;)(1)(aMbM+=б) );()()()(2 2DbaDbbaDD=−=−=).(1)(2DbD=Величины aи b выбираются исходя из максимального уменьшения разря- дов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычис- лений. 13 1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений Результаты прямых неравноточных измерений получаются при повторных многократных измерениях одного и того же истинного значения измеряемой ФВ, разными наблюдателями, разными СИ, в разное время. При этом получает- ся несколько серий таких результатов. nmnimjxxxxxxxxxврезультатосерийmjсериивизмеренийврезультатоnmnmmnnn−==−−;1;1 21 222 21 112 11 21Проводится точечная оценка результатов серий: ==jnijijjxnx1 1=−−=jnijjijjjxxnnx1 2)()1(1)(Записываются результаты их точечной оценки: )(),...,(),(,...,,2 12 1mmxxxxxxПосле точечной оценки неравноточные измерения приводят к результатам ;,....,,3 21mXXXX).(),....(),(),(3 21mxxxxДля оценки наиболее вероятного значения ФВ по результатам неравноточ- ных измерений вводится понятие “вес” для каждой серии результатов измере- ний в общей их совокупности, т. е. проводится оценка степени их доверия для получения значения измеряемой ФВ, наиболее близкого к истинному. Таким образом, понятие “вес” отражает степень доверия к результату изме- рения. Чем больше степень доверия, тем больше число, выражающее этот “вес”. Среднее взвешенное значение 0X измеряемой ФВ, наиболее близкое к ис- тинному её значению Xˆ, определяется по формуле ,1 13 21 33 22 11 0===++++++++=mjjmjjjmmmgXggggggXgXgXgXX (1.23) 14 где mXXXX,....,,3 21 - средние значения для отдельных серий результатов, полученных тем или иным способом; mgggg,....,,3 21 - “веса” соответствующих серий результатов. “Веса” серий результатов можно определить следующими способами: а) при известных jn и )(jx каждой серии результатов по формуле ;)(2jjjxng= (1.24) б) при неизвестных jn ;)(1::)(1:)(1:)(1::::2 32 22 12 32 1mmxxxxgggg= (1.25) в) при constxj=)( (одинаковые в каждой серии результатов) mmnnnngggg::::::::3 21 32 1= . (1.26) Среднее квадратическое отклонение )(0x среднего взвешенного 0X вы- числяется по формуле )(1 1)(1 20 2==mjjxx (1.27) Окончательный результат записывается в виде 0 0ˆXXX=, при pД =, где 0X - абсолютная погрешность (доверительный интервал) среднего взве- шенного 0XДоверительный интервал 0X определяется таким же образом, как и при равноточных измерениях (см. раздел 1.1): )(0 0xtX= - при нормальном законе распределения, где t находится по таблице функций Лапласа Д5,0)(ptФ=; )(0 0xtXp= - при распределении Стьюдента, где );(ДpkftP= находится по таблице Стьюдента =−=mjjnmk1 21 1 15 2 Методика обработки косвенных видов измерений При косвенных видах измерений значение искомой величины Y получают на основании прямых видов измерений величин jX, связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью ),....,,,(3 21mXXXXfY =, (2.1) где jX - подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой вели- чины Y. 2.1 Общий случай В уравнениях связи аргументы jX представлены в виде результатов много- кратных прямых видов измерений ;,....,,,1 113 12 11nXXXX;,....,,,2 223 22 21nXXXX………………….; ;,....,,,3 21kknkkkXXXX (2.2) ;ln3 21,....,,,lXXXXlll………………….; ,,....,,3 21mmnmmmXXXXгде )(1mnn  - число результатов прямых видов измерений аргументов jX; )1(mj= - число аргументов в уравнении связи (2.1). Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат Y1 На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения jX и )(jx. Точечная оценка приводит к результатам ;,....,,,3 21mXXXX).(),....,(),(),(3 21mxxxx (2.3) 2 Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат ),....,,,(3 21mXXXXfY =. (2.4) 3 Оценка дисперсии искомого результата =+=mjmlklkkllkjjxxrbbxby1 22 2)()(2)()(, (2.5) где jjXYb= - частная производная аргумента jX, которая называется коэф-фициентом влияния. Следует отметить, что при %)1,0(001,0jb- такие коэффициенты влияния не учитываются. 16 Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностя-ми косвенного измерения )()(jjjxXYE=. (2.6) Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов опре- деляется по формуле )()())((1lkhillikkiklxxhXXXXr=−−=, (2.7) где );min(lknnh = - наименьшее из чисел наблюдений nk и nlсоответственно аргументов kX и lXКоэффициент корреляции определяет степень связи между случайными вели- чинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале 11+−klrКоэффициент корреляции 1 =klr тогда и только тогда, когда между ре- зультатами наблюдений kiX и liX существует линейная функциональная за- висимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми). Если 0 =klr, то погрешности измерения аргументов kX и lX некоррелиро- ваны (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид ==mjjjxby1 22 2)()(. (2.8) Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы kX и lX измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устрой- ству средства измерений. Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений. Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргумен- тов kX и lX является выполнение неравенства rK pt, (2.9) где 21klklrrhrK−=; (2.10) ))1(;(−=hqftp - коэффициент Стьюдента находится по табл. П-4; )1(Дpq−= - уровень значимости; 17 Дp - принятая доверительная вероятность. 4 Оценка погрешности искомого результата: а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то ),( ytY= (2.11) где t = f (рД) - коэффициент стандартного нормального распределения нахо- дится по таблице П.1 функции Лапласа. б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента (см. табл. П-4) ),( ytYp= (2.12) где tp=f(q; kэф) - коэффициент Стьюдента. Эффективное число степеней свободы kэфопределяется по формуле ,)(1 1)(1 44 21 22==−=mjjjjmjjjэфxbnxbk (2.13) где nj– число результатов прямых измерений аргумента jXПри равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при n1= …= nm= n)()()1(1 44 21 22==−=mjjjmjjjэфxbxbnk (2.14) Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэто- му для отыскания величины tpданные табл. П-4 приходиться интерполировать. Окончательный результат записывается в виде YYY=, при =Дp . (2.15) 1   2   3   4   5

2.2 Частный случай В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде ;1 11XXX=;2 22XXX= ….; ,mmmXXX= (2.16) т. е. заданы своими доверительными интервалами )(jpjjxtX=, (2.17) где pjt - коэффициент аргумента jX, зависящий от принятого закона распреде- ления результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной веро- ятности ДpПри отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями изме- рений аргументов (коэффициент корреляции 0 =r) и при одинаковой довери- 18 тельной вероятности Дp всех аргументов jX (constttppj==) уравнения свя- зи (2.1), оценка погрешности Y искомого результата будет иметь вид 2 22 22 22 12 1mmXbXbXbY+++=. (2.18) Формула (2.17) получена из равенства (2.8) путём умножения левой и пра- вой частей его на коэффициент pt. Окончательный результат записывается ана- логично (2.15). 2.3 Критерии ничтожных частных погрешностей Оценка дисперсии косвенного результата измерения (2.8), с учётом частных погрешностей (2.6), может быть выражена через частные погрешности jE2 22 22 21 12 2)(mlkmjjEEEEEEy++++++===. (2.19) В соответствии с ГОСТом 8.011-72 “Показатели точности измерения и формы представления результатов измерения” погрешность результата округ- ляется до одной, двух значащих цифр. Это соответствует 5% изменения по- грешности результата. Следовательно, изменение левой части выражения (2.19) на 5% (0,05) не повлияет на округлённое значение )( y, т. е. при округлении справедливо равенство ==mjjEy1 205,1)(. (2.20) Если имеется частная погрешность kE составляющая менее 5% от )( y, то справедливо неравенство )( y =−mjkjEE1 22 05,1. (2.21) Решим неравенство (2.21) относительно kE)(2y =−mjkjEE1 22);(1025,1 21025,1kE  =−mjjyE`1 22),(1025,1т. к. в соответствии с (2.19) ==mjjyE1 22),(2 1025,1kE  )()(1025,1 22yy−и после преобразований получим kE  )(306,0yили kE  )(3 1y. (2.22) 19 Формула (2.22) в метрологии называется критерием ничтожных частных погрешностей, а сами погрешности, отвечающие неравенству (2.22) называют- ся ничтожными или ничтожно малыми. На основании ничтожных частных погрешностей (2.22) можно пренебречь целой группой частных погрешностей, если выполняется неравенство 2 2++lkEE  max1 31E, (2.23) где max1E - максимальная из всех частных погрешностей. 2.4 Погрешности результата косвенного вида измерений для наиболее распространённых уравнений связи 1.)()();();(xXfyXfYXfY===. (2.24) 2.)()(;;xXYayXkYkXYaa===. (2.25) 3.)()(;;xXaYyXkYXkYaa===. (2.26) 4.)()(;;xXYayXkYXkYaa−===. (2.27) 5 )()()(...;....;2 22 12 22 12 1++=++=++=xbxayXbXaYbXaXY. (2.28) 6.)()()(....;....;2 22 21 12 12 1++===xXbxXaYyXXkYXkXYbaba (2.29) Если в уравнениях связи (2.28) и (2.29) аргументы заданы своими довери- тельными интервалами (2.16) и (2.17), то уравнения погрешностей (2.28) и (2.29) соответственно примут вид 2 22 21 2++=XbXaY, (2.30) 2 22 21 1++=XXbXXaYY. (2.31) Примечания: 1 Во всех формулах для с. к. о. считается, что аргументы некоррелированы (независимы). 20 2 При возведении в степень значительно увеличивается погрешность ре- зультата, поэтому измерение величин, которые при дальнейших вычис- лениях возвышаются в степень, должно производится с особой точно- стью. 3 Величины, из которых при дальнейшей обработке извлекаются корни, могут измеряться с меньшей точностью, поскольку погрешность таких величин при обработке уменьшается. 2.5 Варианты заданий к разделу 2 Провести обработку косвенных видов измерений по заданным уравнениям связи в соответствии с данными таблицы 2.1. Таблица 2.1 - Уравнения связи № варианта 0 1 2 3 4 Уравнение связи 2 1XXY =2 1XXY =2 1XXY =2 21XXY =2 21XXY =№ варианта 5 6 7 8 9 Уравнение связи 2 21XXY =2 12 1XXXXY+=2 12 1XXXXY+=2 1XXY =2 1XXY =Примечание к табл. 2.1: № варианта уравнения связи соответствует послед- ней цифре № зачётной книжки студента. Варианты заданий аргументов jX для уравнений связи приведены в табли- це 2.2 Таблица 2.2 - Варианты заданий аргументов Варианты заданий Номера аргументов Варианты заданий Номера аргументов 1X2X1X2X1 1 12 15 15 5 2 2 13 16 16 6 3 3 14 17 17 7 4 4 15 18 18 8 5 5 16 19 19 9 6 6 17 20 20 10 7 7 18 21 21 11 8 8 19 22 22 4 9 9 20 23 23 14 10 10 21 24 24 15 11 11 22 25 25 16 12 12 2 26 26 17 13 13 3 27 27 12 14 14 4 28 28 13 Примечания к табл. 2.2: 1 №варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в зачетной ведомости. 2 №аргументов соответствует номерам вариантов заданий к разделу 1.1. 21 3 Методика расчёта статистических характеристик погрешностей СИ в эксплуатации. Определение класса точности Для рабочих условий эксплуатации метрологические характеристики (МХ) конкретного экземпляра аналоговых средств измерений (СИ) и цифроаналого- вых преобразователей (ЦАП) в соответствии с ГОСТ 8.009-84 /2/ погрешности нормируются комбинациями: систематическая (S), случайная 0)( составляю- щие и вариация (H), которые рассчитываются по результатам одной и той же серии наблюдений одного и того же действительного значения физической ве- личины X01 Оценка систематической составляющей S погрешности СИ - с учетом вариации ,2БМSH+= (3.1) где М и Б - средние значения погрешностей в точке результата X0 , полу- ченные экспериментально при медленных изменениях измеряемого параметра со стороны соответственно меньших и больших значений до значения X0==niiММn1;1;1 1==niiББn (3.2) М i= XМi- X0;Бi = XБi - X0;(3.3) где n- число результатов XМ(XБ),- без учета вариации ,2 12 1==niiSn (3.4) где 2n - число наблюдений при определении S2 Оценка среднего квадратического отклонения (с.к.о.) случайной составляю- щей 0)(погрешности СИ - с учетом вариации ;1 2)()()(2 12 10−−+−===nБniiБМniiМН (3.5) - без учета вариации 1 2)()(2 12 0−−==nniSi (3.6) 3 Оценка вариации 22 БМH−= (3.7) 4 Наибольшее значение основной погрешности с вероятностью, близкой к единице, определяется по формуле 12)(2 20 00 20max0HSP++= (3.8) Предельное значение систематической составляющей основной погрешности SP0 нормируется всегда, т.к. реальные СИ не могут быть изготовлены идеаль- но точно. В свою очередь, одной из случайной составляющей основной по- грешности (H0или )(0 0) можно пренебречь, если она менее 10% другой. Критерии нормирования в соответствии с двумя неравенствами приведены в табл. 3.1. Таблица 3.1 - Критерии нормирования составляющих случайной погрешности Неравенства NN0 левая часть правая часть 1 HO)(0 0,9  0,1  0,1 и  0,9 2 OSPO0)( 0,1 − )(3,8 100 10 22OOH+OSPH−  0,3 − Нормируются )(0ОOH)(0О и HoПримечания к таблице 3.1: H0и )(0 0 - не нормируются, если: 1)не выполняется любое из вторых неравенств, при соблюдении соответству- ющих первых; 2)выполняется неравенство 12)(2 20 00 2H+SP05 Определение класса точности СИ. 23 При технических измерениях, когда не предусмотрено выделение S и 0 со- ставляющих погрешности по ГОСТ 8.401-80 /3/ каждому СИ присваивается определенный класс точности (А). Класс точности - это обобщенная МХ, определяющая различные свойства СИ и включает в себя систематическую S и случайную 0 составляющие по- грешности. В основу класса точности (А) заложены следующие положения: 1) в качестве норм служат пределы допускаемых погрешностей, включающие S и 0; 2)основная погрешность 0 и дополнительная C нормируются порознь. Основная погрешность СИ формируется при нормальных условиях экс- плуатации, когда влияющие величины (неинформативные параметры) равны нормам refl=, где l – число влияющих величин. Для аналоговых СИ класс точности нормируется пределом допускаемой основной приведенной погрешностью op%,10%100nOPOPAN== (3.9) где N - предел измерения СИ N = XВ – XН; (3.10) XВи XН - верхний и нижний пределы измерения СИ; А - класс точности СИ выбирается из следующего ряда (ближайшее боль- шее): (1.0; 1.5; (1.6); 2.0; 2.5; (3,0); 4,0; 5.0; и 6.0)10n; n = 1; 0; (-1); (-2). Предельное значение основной погрешности opв выражении (3.9) вы- числяется следующим образом: а) если случайная составляющая основной погрешности 0Онесущественна (0)(О) - не нормируется) +=2OPOSPOPH, (3.11) б) если 0О существенна (0)(О- нормируется): - при отсутствии вариации (Hо- не нормируется) 24 +=)(0 0PSPOOPk; (3.12) - при наличии вариации (Hо - нормируется) ++=2)(0 0OPPOSPOPHk (3.13) В формулах (3.12) и (3.13) коэффициент k зависит от принятой доверительной вероятности pД При pД= 0,96; k = 2. Таблица 3.2 - Варианты заданий к разделу 3 № вар. P0, кг/см2 PМ, кг/см2 PБ, кг/см2 N, кг/см2 0 120.0 119.3; 119.7; 119.4; 119.6; 119.8 121.2; 120.8; 122.3; 121.0; 123.0 150.0 1 3.0 2.97; 2.89; 2.94; 2.96; 2.84 3.03; 3.01; 3.00; 3.02; 3.06 5.0 2 6.0 5.91; 5.93; 5.87; 5.93; 5.89 6.11; 6.09; 6.21; 6.15; 6.19 10.0 3 9.0 8.97; 8.79; 8.88; 8.85; 8.92 9.15; 9.07; 9.01; 9.14; 9.02 15.0 4 20.0 19.3; 19.7; 19.4; 19.6; 19.5 21.2; 20.8; 21.1; 21.0; 20.9 30.0 5 40.0 39.3; 39.0; 39.5; 38.9; 39.1 41.3; 40.9; 40.8; 41.0; 41.1 50.0 6 60.0 59.2; 59.4; 58.8; 58.9; 59.6 61.7; 61.5; 61.0; 60.8; 60.3 100 7 80.0 79.2; 79.6; 79.8; 78.9; 80.0 81.2; 81.0; 81.3; 80.9; 80.5 100 8 100.0 100.8; 99.7; 100.6; 99.8; 99.5 101.2; 100.5; 100.6; 100.9; 100.0 150.0 9 2.0 1.97; 1.89; 1.94; 1.96; 1.84 2.03; 2.01; 2.02; 2.04; 2.06 5.0 Примечания к табл. 3.1: 1 В таблице введены следующие обозначения: P0 – действительные значения измеряемого давления; PМ и PБ – результаты из- мерений, полученные со стороны соответственно меньших и больших значе- ний до значения P0; N – предел измерения СИ. 2 № варианта задания соответствует последней цифре № зачётной книжки студента. 25 4 Методика построения функциональных схем автоматизации технологи-ческих процессов При разработке схем систем автоматизации применяют различные средства измерения, соединяемые между собой и с объектом управления по определен- ным схемам. Функциональные схемы отражают функционально - блочную структуру отдельных узлов автоматического контроля, сигнализации, управле- ния и регулирования технологического процесса и определяют оснащение объ- екта управления приборами и средствами автоматизации. Построение функци- ональной схемы системы автоматизации заключается в размещении на техно- логической схеме и в соответствующих местах связанных между собой датчи- ков и вторичной аппаратуры (показывающей, регистрирующей или регулиру- ющей). 1   2   3   4   5

4.6 Варианты заданий к разделу 4
Построить функциональные схемы следующих систем:
0. Автоматического регулирования температуры продукта.
1. Автоматического регулирования давления газа в сепараторе.
2. Непрерывного регулирования уровня жидкости в емкости.
3. Позиционного регулирования уровня жидкости в емкости.
4. Автоматического регулирования расхода продукта в трубопроводе с реги- страцией на щите.
5. Автоматического регулирования соотношения расходов продукта в двух трубопроводах (
Q
1
= f(Q
2
)).
6. Измерение расхода жидкости в трубопроводе расходомером переменного пе- репада давления с показывающим прибором по месту.
VI
WIA
BS
E/E
TY
P/E
PT
K
FY
NS
H
HA
HS

39 7. Измерение расхода газа в трубопроводе с коррекцией по температуре и дав- лению.
8. Измерение температуры газа с коррекцией по влажности и регистрацией на щите.
9. Измерение давления газа в сепараторе с коррекцией по температуре и пока- зывающим прибором на щите.
Примечания к разделу 4:
1. При построении функциональных схем автоматизации необходимо дать информацию о применяемых в данных схемах средствах измерения, тех- нологических объектах и измеряемых, контролируемых или регулируемых параметрах.
2. При выборе вариантов задания необходимо руководствоваться номе- ром своей зачетной книжки: номер варианта задания соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента.
Список использованных источников
1.Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978. - 262с.
2.ГОСТ 8.009-84. Государственная система обеспечения единства измерений.
Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.
3.ГОСТ 8.401-80. ГСИ. Классы точности средств измерений. Общие требова- ния.
4.ГОСТ 21.404-85. Автоматизация технологических процессов. Обозначения условные приборов и средств автоматизации.
5.Клюев А.С. и др. Техника чтения схем автоматического управления и техно- логического контроля. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - С.30-49.
6.Прахова М.Ю. Основные принципы построения систем автоматического управления и технологического контроля: учебное пособие. - Уфа: Изд-во
УГНТУ, 1996. - 112 с.
7.Шаловников Э.А. Автоматизация процессов подготовки газа на газодобыва- ющих предприятиях: конспект лекций. - Уфа: Изд-во УНИ, 1983. - 51 с.


40
Приложение
Таблица П.1 - Значения нормированной функции Лапласа
( )


=

t
t
dt
e
t
0 2
/
2 2
1

0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02392 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 0,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 0,9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 1,0 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 1,8 46407 46485 46562 46638 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 2,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 2,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 2,6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643 2,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 49736 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 49861
Примечание. Значения Ф(t) при t = 3,0 ÷ 4,5 следующие:
3,0
………... 0,49865 3,4
………... 0,49966 3,8
………... 0,49993 3,1
………... 0,49903 3,5
………... 0,49977 3,9
………... 0,49995 3,2
………... 0,49931 3,6
………... 0,49984 4,0
………... 0,499968 3,3
………... 0,49952 3,7
………... 0,49989 4,5
………... 0,499999

41
Таблица П.2 - Значения χ
2
- распределения Пирсона 
2
= f (q; k)
Чи сло степ ен ей своб оды k
= n

1
Уровень значимости q, %
99 98 95 90 80 70 50 1
0,00016 0,00063 0,00393 0,0158 0,0642 0,148 0,455 2
0,0201 0,0404 0,103 0,211 0,446 0,713 1,386 3
0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 1,424 2,366 4
0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2,195 3,357 5
0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 3,000 4,351 6
0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 3,828 5,348 7
1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 4,671 6,346 8
1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 5,527 7,344 9
2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 6,393 8,343 10 2,558 3,059 3,940 4,865 6,179 7,267 9,342 11 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 8,148 10,341 12 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 9,034 11,340 13 4,107 4,765 5,892 7,042 8,634 9,926 12,340 14 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 10,821 13,339 15 5,229 5,985 7,261 8,547 10,307 11,721 14,339 16 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 12,624 15,338 17 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 13,531 16,338 18 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 14,440 17,338 19 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 15,352 18,338 20 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 16,266 19,337 21 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 17,182 20,337 22 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 18,101 21,337 23 10,196 11,293 13,091 14,848 17,187 19,021 22,337 24 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 19,943 23,337 25 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 20,867 24,337 26 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 21,792 25,336 27 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 22,719 26,336 28 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 23,647 27,336 29 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 24,577 28,336 30 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 25,508 29,336 1
1,074 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 7,879 2
2,408 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 10,597 3
3,665 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 12,838 4
4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 14,860 5
6,064 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 16,750 6
7,231 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 18,548 7
8,383 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 20,278 8
9,524 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 21,955 9
10,656 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 23,589 10 11,781 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 25,188


42
Продолжение табл. П.2
Чи сло степ ен ей свободы k
= n

1
Уровень значимости q, %
30 20 10 5
2 1
0,5 11 12,899 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 26,757 12 14,011 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 28,300 13 15,119 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 29,819 14 16,222 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 31,319 15 17,322 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 32,801 16 18,418 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 34,267 17 19,511 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 35,718 18 20,601 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 37,156 19 21,689 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 38,582 20 22,775 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 39,997 21 23,858 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 41,401 22 24,939 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 42,796 23 26,018 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 44,181 24 27,096 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 45,558 25 28,172 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 46,928 26 29,246 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 48,290 27 30,319 32,912 36,741 40,113.
44,140 46,963 49,645 28 31,391 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 50,993 29 32,461 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 52,336 30 33,530 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 53,672
Таблица П.4 - Распределение Стьюдента t p
= f (q; k)
Число степеней свободы k
Уровень значимости q = (1 – P
Д
)100, %
10 5
1 1
6,31 12,71 63,66 2
2,92 4,30 9,92 3
2,35 3,18 5,84 4
2,13 2,78 4,60 5
2,02 2,57 4,03 6
1,94 2,45 3,71 7
1,90 2,36 3,50 8
1,86 2,31 3,36 9
1,83 2,26 3,25 10 1,81 2,23 3,17 12 1,78 2,18 3,06-
14 1,76 2,14 2,98 16 1,75 2,12 2,92 18 1,73 2,10 2,88 20 1,72 2,09 2,84 22 1,72 2,07 2,82 24 1,71 2,06 2,80 26 1,71 2,06 2,78 28 1,70 2,05 2,76 30 1,70 2,04 2,75

1,64 1,96 2,58

43
Таблица П.3 - Значения q-процентных точек распределения
)
;
( n
q
f
t
Г
=
Число наблюдений
Уровень значимости q, %
0,1 0,5 1
5 10 3
1,414 1,414 1,414 1,414 1,412 4
1,732 1,730 1,728 1,710 1,689 5
1,994 1,982 1,972 1,917 1,869 6
2,212 2,183 2,161 2,067 1,996 7
2,395 2,344 2,310 2,182 2,093 8
2,547 2,476 2,431 2,273 2,172 9
2,677 2,586 2,532 2,349 2,238 10 2,788 2,680 2,616 2,414 2,294 11 2,884 2,760 2,689 2,470 2,343 12 2,969 2,830 2,753 2,519 2,387 13 3,044 2,892 2,809 2,563 2,426 14 3,111 2,947 2,859 2,602 2,461 15 3,171 2,997 2,905 2,638 2,494 16 3,225 3,042 2,946 2,670 2,523 17 3,274 3,083 2,983 2,701 2,551 18 3,320 3,120 3,017 2,728 2,577 19 3,361 3,155 3,049 2,754 2,601 20 3,400 3,187 3,079 2,779 2,623 21 3,436 3,217 3,106 2,801 2,644 22 3,469 3,245 3,132 2,823 2,664 23 3,500 3,271 3,156 2,843 2,683 24 3,529 3,295 3,179 2,862 2,701 25 3,556 3,318 3,200 2,880 2,718 26 3,582 3,340 3,220 2,897 2,734 27 3,606 3,360 3,239 2,913 2,749 28 3,629 3,380 3,258 2,929 2,764 29 3,651 3,399 3,275 2,944 2,778 30 3,672 3,416 3,291 2,958 2,792 31 3,692 3,433 3,307 2,972 2,805 32 3,711 3,449 3,322 2,985 2,818 33 3,729 3,465 3,337 2,998 2,830 34 3,746 3,480 3,351 3,010 2,842 35 3,762 3,494 3,364 3,022 2,853 36 3,778 3,507 3,377 3,033 2,864 37 3,793 3,521 3,389 3,044 2,874 38 3,808 3,533 3,401 3,055 2,885 39 3,822 3,545 3,413 3,065 2,894 40 3,835 3,557 3,424 3,075 2,904 41 3,848 3,568 3,435 3,084 2,913 42 3,861 3,579 3,445 3,094 2,922 43 3,873 3,590 3,455 3,103 2,931 44 3,885 3,600 3,465 3,112 2,940 45 3,896 3,610 3,474 3,120 2,948 46 3,907 3,620 3,483 3,129 2,956 47 3,918 3,630 3,492 3,137 2,964 48 3,928 3,639 3,501 3,145 2,972 49 3,938 3,648 3,510 3,152 2,980 50 3,948 3,656 3,518 3,160 2,987 51 3,957 3,665 3,526 3,167 2,994 52 3,966 3,673 3,534 3,175 3,201