Файл: Билет 18 Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости.doc

Сделать презентацию

Скачать файл (0,28Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.12.2023

Просмотров: 83

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Билет №181. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости.Тригонометрический ряд периодической функции f(x) с периодом 2 , определенной на интервале называется рядом Фурьекоэффициенты определяются по формуламФункция может быть задана не только на отрезке длиной 2π, но также на отрезке любой длины 2l. Тогда функция разложима в ряд Фурье следующего вида:причем коэффициенты ряда вычисляются по формуламРазлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом,отличным от 2

.Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l,l], имеет период 2где l:— произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.Сделав подстановку

данную функцию f(x) преобразуем в функцию

, которая определена на отрезке [-

;

] и имеет период

. .Действительно, если t

= -, то х = —l, если t = , то х = lи при —< t<имеем -l<х<l; т.е. ,.,,'Разложение функции (t) в ряд Фурье на отрезке [—;] имеет видгде • -Возвращаясь к переменной x и заметив, что

,, получим⁽¹⁾где(2)Ряд (1) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (2), называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 2l.Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций

, период которых Т = 21. В частности, если f{x) на отрезке [— l, l ] четная, то ее ряд Фурье имеет вид
(3)
где •

(4)

если f(x) — нечетная функция, то (5)

где (6)

2. Найти градиент функции в точке М(1;1).

Градиент функции равен .

Найдем частные производные:

и их значения в точке М(1,1)

,

.

Тогда градиент в точке М равен: .

3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Строим область интегрирования G по пределам интегрирования:

Справа область G ограничена кривой

А слева – прямой х=0. Поэтому имеем:

4. Определить область сходимости ряда.Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:Согласно признаку Даламбера ряд сходится при тех значениях х, для которых: .Следовательно, при любом конечном х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости данного ряда вся числовая ось.5. Найти решение дифференциального уравнения , при данном начальном условии .Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядкаПоложим , тогда .Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим: или (1).Выберем так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда .Уравнение (1) при запишем так: .Интегрируем по частям.Полагаем , ,

.

Тогда .

Тогда

Следовательно, - общее решение.

При заданных начальных условиях х=1, .

Искомое частное решение имеет вид:

7. Найти частное решение дифференциального уравнения

Общий вид уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни r₁=r₂=2. Следовательно, .

Частное решение ищем в виде , так как число k=2 является корнем характеристического уравнения; m=2, так как k-двукратный корень, тогда

.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Откуда

4А=1,

Следовательно,

Следовательно, общее решение уравнения

Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную общего решения: .

Подставив в выражения для общего решения и его производной значения х=0, y=0 и , получаем систему уравнений: