Файл: Билет 18 Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.12.2023
Просмотров: 15
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Билет №18
1. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости.
Тригонометрический ряд периодической функции f(x) с периодом 2
, определенной на интервале 
называется рядом Фурье
коэффициенты определяются по формулам
Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2π, но также на отрезке любой длины 2l. Тогда функция разложима в ряд Фурье следующего вида:
причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом,
отличным от 2
. Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l,l], имеет период 2
где l:— произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.Сделав подстановку
данную функцию f(x) преобразуем в функцию
, которая определена на отрезке [- ; ] и имеет период
. .Действительно, если t
= -
, то х = —l, если t = , то х = lи при — < t< имеем -l<х<l;
т.е.
, .,,'Разложение функции (t) в ряд Фурье на отрезке [—
; ] имеет вид
где
• - Возвращаясь к переменной x и заметив, что
,
, получим
(1)где
(2)Ряд (1) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (2), называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 2l.
Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2
-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций
, период которых Т = 21. В частности, если f{x) на отрезке [— l, l ] четная, то ее ряд Фурье имеет вид
(3)где •
(4) если f(x) — нечетная функция, то
(5)где
(6)2. Найти градиент функции
в точке М(1;1). 
Градиент функции
равен 
.Найдем частные производные:
и их значения в точке М(1,1)
,
.Тогда градиент в точке М равен:
.3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
Строим область интегрирования G по пределам интегрирования:
Справа область G ограничена кривой
А слева – прямой х=0. Поэтому имеем:
4. Определить область сходимости ряда.
Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
Согласно признаку Даламбера ряд сходится при тех значениях х, для которых:
.Следовательно, при любом конечном х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится.
Область сходимости данного ряда вся числовая ось.
5. Найти решение дифференциального уравнения
, при данном начальном условии 
.Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка
Положим
, тогда 
.Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
или 
(1).Выберем
так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда 
.Уравнение (1) при
запишем так: 
.
Интегрируем по частям.
Полагаем
, 
,
.
Тогда
.Тогда
Следовательно,
- общее решение.При заданных начальных условиях х=1,
.Искомое частное решение имеет вид:
7. Найти частное решение дифференциального уравнения
Общий вид уравнения
.Характеристическое уравнение
имеет корни r1=r2=2. Следовательно, 
.Частное решение ищем в виде
, так как число k=2 является корнем характеристического уравнения; m=2, так как k-двукратный корень, тогда 
.Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
Откуда
4А=1,
Следовательно,
Следовательно, общее решение уравнения
Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную общего решения:
.Подставив в выражения для общего решения и его производной значения х=0, y=0 и
, получаем систему уравнений: