ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 51
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Амплитуда гармонического колебания равна 0,07. За 2 минуты совершается 240 колебаний. Начальная фаза колебаний равна 
радиан. Тогда уравнение гармонического колебания имеет вид: 1) 
, 2) 
, 3) 
.
Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид
. Из условия А = 0,07; 
. 2 мин = 120 сек, тогда период равен 
. Найдем круговую частоту из формулы 
. Следовательно, уравнение гармонического колебания имеет вид .
Пример 5. Функция
, представленная как сумма гармоник, имеет вид…. Варианты ответов: 1) 
, 2) 
, 3) 
.
Решение.
Выше было показано, что наложение простых гармонических колебаний создает разнообразие периодических движений, отнюдь не похожих на простые гармонические колебания. Подобрать простые гармонические колебания так, чтобы их наложение вызвало заранее данное периодическое движение, то есть представить всякое периодическое движение как сложное гармоническое колебание, можно, если привлечь к рассмотрению бесконечные суммы простых гармоник, а именно ряды.
Удобнее рассматривать представление периодических функций в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности. Следовательно, если требуется разложить на простые гармоники функцию с периодом 2π, необходимо, чтобы каждая из этих простых функций имела 2π в качестве одного из своих периодов, т.е. необходимо, чтобы
ω = n, где n – целое. Это означает, ч то в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами.
Для решения ряда практических задач обычно требуется разложить сложную периодическую функцию периода Т на простые периодические функции вида (acosωx+bsinωx), имеющие период
.
§ 3. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье.
Основные понятия. Разложение в ряд Фурье функций
с периодом 2.
Определение 7. Функциональный ряд вида:
+ 
( ancos nx + bnsin nx ) (1)
называется тригонометрическим, причем an и bn – действительные числа, не зависящие от x.
Пусть y= f(x) – произвольная периодическая функция с периодом Т = 2, следовательно, функцию можно рассматривать в любом интервале длины 2, например, (–; ). На других участках оси (Ох) функция f(x) и ее разложение в ряд будет повторять свои значения и свое поведение в основном интервале.
Предположим, что для любого x(–; ) периодическая функция оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного вида:
f(x) =
+ ( akcos kx + bksin kx ) ( 1.1)
Такое представление дает возможность находить численные значения функции, устанавливать различные свойства функций, решать дифференциальные уравнения и т.п.
Получим формулы для вычисления коэффициентов ak и bk. Проинтегрируем почленно данное равенство в пределах от – π до π (законное в силу предложенной сходимости):
. (1.2)
Вычислим отдельно следующие интегралы:
если n– целое,
(1.3)
(1.4)
если n, m – целые, положительные
(1.5)
= (1.6)
. (1.7)
С учетом формул (1.3) и (1.4) почленное интегрирование равенства (1.2) дает:
(1.8)
Умножая (1.1) на cos nx и интегрируя почленно от – π до π, с учетом (1.3), (1.5), (1.7), получим:
(1.9)
Аналогично, умножая (1.1) на sin nx и интегрируя почленно от – π до π и учитывая (1.4), (1.6), (1.7), получим:
(1.10)
Таким образом, из равенств (1.8), (1.9), (1.10) получим выражения для нахождения коэффициентов.
Теорема 1. Если функция f(x), заданная и непрерывная на отрезке [-; ], разлагается в тригонометрический ряд, то коэффициенты его определяются единственным образом.
Определение 8. Пусть f(x) – произвольная функция с периодом 2, заданная в интервале (–; ). Пусть существует интеграл от данной функции в интервале (–; ), при этом f(x) может иметь конечное число точек разрыва 1-го рода. Рядом Фурье этой функции называется ряд
+
коэффициенты которого определяются по формулам:
а0 =
; ( 1.11)
аn=
(n=1,2,...); ( 1.12 )
bn =
(n=1,2,...). ( 1.13 )
Замечание 1. Для вычисления интегралов потребуются следующие формулы:
для любого n, 
,
, 
, 
Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует следующая теорема:
Теорема 2 (единственности). Если непрерывная на [-; ] функция разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд будет обязательно ее рядом Фурье.
Замечание 2. Исходя из теоремы, в определении можно рассматривать не интервал (–; ), а отрезок [–; ].
Функция f(x) не всегда разлагается в свой ряд Фурье, т.е. является его сумой, даже если он сходится, а лишь тогда, когда она удовлетворяет условиям основной теоремы:
Теорема 3 (основная). Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке [-; ], то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению
, где 
– точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменной к этим точках изнутри интервала 
(без доказательства).
Замечание. Функция называется гладкой в интервале, если в этом интервале она непрерывна вместе со своей первой производной. Функция называется кусочно-гладкой в интервале, если данный интервал можно разбить точками разрыва 1-го рода на конечное число интервалов, в каждом из которых функция гладкая.
Следствие теоремы.
Теорема гарантирует разложимость всякой дифференцируемой на отрезке [–; ] функции в ее ряд Фурье не на всем этом отрезке, а лишь на открытом промежутке (–; ), однако если разлагаемая функция удовлетворяет еще дополнительному условию, что
, то она будет представима своим рядом Фурье на всем отрезке [–; ].
Существуют и иные достаточные признаки разложимости функций в ряд Фурье, например, следующая теорема:
Теорема 4 (Дирихле).
Если функция f(x) имеет на интервале (-; ) лишь конечное число максимумов и минимумов и непрерывна, за исключением, м.б., конечного числа точек разрыва 1-го рода, то f(x) разлагается в ряд Фурье, сходящийся в точках непрерывности к самой функции, а в точках ее разрыва
– к значению 
. (без доказательства)
В силу основной теоремы, если ряд является рядом Фурье функции f(x), можно написать:
f(x) =
+ 
( ancos nx + b nsin nx ) ( 1.14 )
Пример 1: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2:
f(x) =
Решение:
Из определения f(x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, поэтому f(x) разлагается в ряд Фурье. (См. рис. 1.)
Рис. 1.
По формулам (1.11)-(1.13) находим коэффициенты Фурье:
а0 =
= 
= 
= а/.
аn=
= 
= 
= 
, при n 0.
Замечание.
Если n = 0, то для вычисления аn поступаем следующим образом: рассмотрим предел при n0
радиан. Тогда уравнение гармонического колебания имеет вид: 1) , 2) , 3) .Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид
. Из условия А = 0,07; . 2 мин = 120 сек, тогда период равен . Найдем круговую частоту из формулы . Следовательно, уравнение гармонического колебания имеет вид .Пример 5. Функция
, представленная как сумма гармоник, имеет вид…. Варианты ответов: 1) , 2) , 3) .Решение.
Выше было показано, что наложение простых гармонических колебаний создает разнообразие периодических движений, отнюдь не похожих на простые гармонические колебания. Подобрать простые гармонические колебания так, чтобы их наложение вызвало заранее данное периодическое движение, то есть представить всякое периодическое движение как сложное гармоническое колебание, можно, если привлечь к рассмотрению бесконечные суммы простых гармоник, а именно ряды.
Удобнее рассматривать представление периодических функций в виде тригонометрического ряда или его частичной суммы с достаточной степенью точности. Следовательно, если требуется разложить на простые гармоники функцию с периодом 2π, необходимо, чтобы каждая из этих простых функций имела 2π в качестве одного из своих периодов, т.е. необходимо, чтобы
ω = n, где n – целое. Это означает, ч то в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами.
Для решения ряда практических задач обычно требуется разложить сложную периодическую функцию периода Т на простые периодические функции вида (acosωx+bsinωx), имеющие период
. § 3. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье.
Основные понятия. Разложение в ряд Фурье функций
с периодом 2.
Определение 7. Функциональный ряд вида:
+ ( ancos nx + bnsin nx ) (1) называется тригонометрическим, причем an и bn – действительные числа, не зависящие от x.
Пусть y= f(x) – произвольная периодическая функция с периодом Т = 2, следовательно, функцию можно рассматривать в любом интервале длины 2, например, (–; ). На других участках оси (Ох) функция f(x) и ее разложение в ряд будет повторять свои значения и свое поведение в основном интервале.
Предположим, что для любого x(–; ) периодическая функция оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного вида:
f(x) =
+ ( akcos kx + bksin kx ) ( 1.1)Такое представление дает возможность находить численные значения функции, устанавливать различные свойства функций, решать дифференциальные уравнения и т.п.
Получим формулы для вычисления коэффициентов ak и bk. Проинтегрируем почленно данное равенство в пределах от – π до π (законное в силу предложенной сходимости):
. (1.2)Вычислим отдельно следующие интегралы:
если n– целое,
(1.3)
(1.4)
если n, m – целые, положительные
(1.5) = (1.6) . (1.7)С учетом формул (1.3) и (1.4) почленное интегрирование равенства (1.2) дает:
(1.8)Умножая (1.1) на cos nx и интегрируя почленно от – π до π, с учетом (1.3), (1.5), (1.7), получим:
(1.9)Аналогично, умножая (1.1) на sin nx и интегрируя почленно от – π до π и учитывая (1.4), (1.6), (1.7), получим:
(1.10)Таким образом, из равенств (1.8), (1.9), (1.10) получим выражения для нахождения коэффициентов.
Теорема 1. Если функция f(x), заданная и непрерывная на отрезке [-; ], разлагается в тригонометрический ряд, то коэффициенты его определяются единственным образом.
Определение 8. Пусть f(x) – произвольная функция с периодом 2, заданная в интервале (–; ). Пусть существует интеграл от данной функции в интервале (–; ), при этом f(x) может иметь конечное число точек разрыва 1-го рода. Рядом Фурье этой функции называется ряд
+ коэффициенты которого определяются по формулам:
а0 =
; ( 1.11) аn=
(n=1,2,...); ( 1.12 )bn =
(n=1,2,...). ( 1.13 )Замечание 1. Для вычисления интегралов потребуются следующие формулы:
для любого n,
,
, , Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует следующая теорема:
Теорема 2 (единственности). Если непрерывная на [-; ] функция разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд будет обязательно ее рядом Фурье.
Замечание 2. Исходя из теоремы, в определении можно рассматривать не интервал (–; ), а отрезок [–; ].
Функция f(x) не всегда разлагается в свой ряд Фурье, т.е. является его сумой, даже если он сходится, а лишь тогда, когда она удовлетворяет условиям основной теоремы:
Теорема 3 (основная). Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке [-; ], то ее ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех точках, в которых она непрерывна. В точках разрыва функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому ее предельных значений слева и справа, т.е. к значению
, где – точка разрыва 1-го рода. В обеих граничных точках интервала сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при стремлении независимой переменной к этим точках изнутри интервала (без доказательства).Замечание. Функция называется гладкой в интервале, если в этом интервале она непрерывна вместе со своей первой производной. Функция называется кусочно-гладкой в интервале, если данный интервал можно разбить точками разрыва 1-го рода на конечное число интервалов, в каждом из которых функция гладкая.
Следствие теоремы.
Теорема гарантирует разложимость всякой дифференцируемой на отрезке [–; ] функции в ее ряд Фурье не на всем этом отрезке, а лишь на открытом промежутке (–; ), однако если разлагаемая функция удовлетворяет еще дополнительному условию, что
, то она будет представима своим рядом Фурье на всем отрезке [–; ].
Существуют и иные достаточные признаки разложимости функций в ряд Фурье, например, следующая теорема:
Теорема 4 (Дирихле).
Если функция f(x) имеет на интервале (-; ) лишь конечное число максимумов и минимумов и непрерывна, за исключением, м.б., конечного числа точек разрыва 1-го рода, то f(x) разлагается в ряд Фурье, сходящийся в точках непрерывности к самой функции, а в точках ее разрыва
– к значению . (без доказательства)В силу основной теоремы, если ряд является рядом Фурье функции f(x), можно написать:
f(x) =
+ ( ancos nx + b nsin nx ) ( 1.14 ) Пример 1: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2:
f(x) =
Решение:
Из определения f(x) следует, что она удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, поэтому f(x) разлагается в ряд Фурье. (См. рис. 1.)
Рис. 1.
По формулам (1.11)-(1.13) находим коэффициенты Фурье:
а0 =
= = = а/.аn=
= = = , при n 0.Замечание.
Если n = 0, то для вычисления аn поступаем следующим образом: рассмотрим предел при n0