= = = ,

b_n = = = – = – + = , при n 0.

Следовательно,

f(x) = .

В интервале [-; ] ряд сходится к функции f(x), в точках х =   к 0: ( 1/2 [ f(–+0) + f(–0)] = 0 ), в точках х = a, x= 0 к 1/2 : ( 1/2 [ f(х-0) + f(х+0)] = =1/2 ).
Ряд Фурье в виде простых гармоник. Спектры.
Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье):

f(x) = + ( a_ncos nx + b_nsin nx ), (*)

Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными a_n= A_nsin_n, b_n= A_ncos_n . Получим: a_ncos _n + b_nsin_n = A_nsin( nx+ _n ), где

A_n = , tg _n = . (**)

Тогда ряд (*) в виде простых гармоник примет вид

---

f(x) = .
Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение.

Иногда n-ую гармонику записывают в виде a_ncos nx + b_nsin nx = A_ncos(nx – _n) , где a_n= A_ncos_n , b_n= A_n sin_{n .}

При этом A_n и _n определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид

f(x) = .
Определение 9. Операция представления периодической функции f(x) рядом Фурье называется гармоническим анализом.

Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме:



Коэффициенты a_n, b_n определяются по формулам:





величина C₀выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле:



В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f(t) в ряд Фурье записывается в виде:

(***)

т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой С_n и начальной фазой _n, то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения С_n и _n должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [С_n = А_n].

Перепишем ряд Фурье (***) в виде где ₁

---

– основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f(t) определяется совокупностью величин С_n и _n .
Определение 10. Совокупность величин С_n , то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции или спектром амплитуд.

Определение 11. Совокупность величин _n носит название спектра фаз.
Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр (то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник).

Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты С_n и  = n₁. Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению n₁ соответствует одно определенное значение С_n . График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2).
Р ис. 2.


Этот дискретный спектр часто называют линейчатым. Он - гармонический спектр, т.е. состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, в том числе первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, но это не нарушает гармоничности спектра.

Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический.
Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/Т введем круговую основную частоту ₁= 2/Т. Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2n/Т. Если Т  ∞, то ₁  d и 2n/Т  , где  – текущая частота, изменяющаяся непрерывно, d – ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых

---

непрерывно меняются от 0 до ∞:



Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a() и b() дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты .

---

§ 4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций периода 2.
Определение 12. Функция f(x) называется четной, если она не меняется при изменении знака ее аргумента, т.е. если f(–х) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси координат.
Определение 13.Функция f(x) называется нечетной, если при изменении знака аргумента она меняет знак, но сохраняет абсолютную величину, т.е. если

f(–х) = – f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция может не быть ни четной, ни нечетной.
Теорема 5. Произведение двух функций одинаковой (различной) четности четно (нечетно). Сумма четных функций – четная функция, нечетных функций – нечетная.

Лемма. Верна формула .

Теорема 6. Если f(x) четна, то . (1.15)

Если же f(x) нечетна, то . (1.16)
Пусть f(x) – четная функция, тогда ее коэффициент Фурье а₀ по формуле (1.15) может быть записан в виде

а₀ = . (1.17)

Поскольку произведение f(x) cos nx четно по теореме 5, то по той же формуле (1.15)

а_n = . (1.18)

b_n = 0, так как произведение f(x) sin nx нечетно по теореме 5 и к b_n применима формула (1.16). Отсюда следует
Теорема 7. Ряд Фурье четной функции f(x) не содержит членов с синусами и имеет вид:

f(x) = + , (1.19)

причем его коэффициенты можно находить по упрощенным формулам (1.17), (1.18).

Таким же способом устанавливается
Теорема 8. Ряд Фурье нечетной функции f(x) не содержит ни свободного члена, ни членов с косинусами и имеет вид:

---

Смотрите также файлы

• Строевая записка противотанковой артиллерийской батареи 20 г.docx

• Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Чернятинская средняя школа 150.docx

• Протокол 1 Утверждаю Директор мбудо Центр дополнительного образования Хлебин А. С.docx

• Плоды с фруктовых деревьев упали на соседний участок.docx

• Тип урока Урок изучения нового материала Тема урока Охранять природу значит охранять жизнь Цель урока.docx