ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 50
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
bn sin nx , (1.20)
гдеbn=
(1.21)
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, определенную равенством f(x) = x при – < x .
Решение:
f
(x) имеет период 2, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f(–x) = f(x), т.е. она четная. (См. рис. 3.)
По формулам (1.17) и (1.18) найдем коэффициенты Фурье:
а0 =
= 
= ,
аn =
=
=
- 
dx =
=
cos nx
= 
= 
Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:
f(x) =
–
(cos x +
cos3x+
cos5x + ... + 
cos((2n+1)x) +...) = 
cos((2n+1)x).
На интервале [–; ] ряд сходится к функции x .
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию: f(x)=
Решение:
f(x) имеет период 2. Она удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье.
f(–х) = – f(x) (см. рис. 4), т.е. f(x) – нечетна, следовательно а0 = 0 и аn= 0.
Рис. 4.
По формуле (1.21) найдем коэффициент Фурье:
b n =
sin nx dx = -
cos nx 
= ( 1–(–1)n ) = 
b2k+1 =
.
Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:
f(x) =
(sin x + 
sin x + 
sin x + ... + 
sin((2k+1)·x ) ), ( k = 0,1,2,... )
f(x) =
sin (( 2k + 1) x).
На интервале [–; ] ряд сходится к функции f(x), в точках х = 0 и х = – к нулю.
§ 5. Сдвиг основного промежутка.
Вся теория рядов Фурье излагалась для функций, заданных на отрезке [–; ], однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу рассуждения любой другой отрезок длины 2, так как 2 есть период всех функций системы 1, cos x, sin x, cos 2x, …, и справедлива
Теорема 9. Если функция f(x) имеет период 2, то интеграл
от числа а не зависит. Поэтому всю теорию можно перенести с отрезка [–; ] на любой отрезок [а, а+2].
Теорема 10. Если f(x) дифференцируема на отрезке [0; 2], то всюду на открытом промежутке (0, 2) будет
f(x) =
+ 
, где
а0 =
, (1.22)
аn=
, (n=1,2,...); (1.23)
bn=
, (n=1,2,...); (1.24)
ряд сходится в точках x= 0, x= 2, где его сумма равна
( без доказательства)
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на отрезке [0; 2].
Рис. 5.
Решение:
График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь
а0 =
= 
,
аn =
, (n=1,2,...),
bn =
.
Стало быть, при 0 < x < 2π будет x =
.
В точках x= 0 и x= 2 сумма S(x) ряда равна .
§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
Пусть функция f(x) задана и дифференцируема на отрезке [–l; l]. Положим φ(z) =
.
Тогда φ(z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ(z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z< π будет
φ(x) =
+ 
.
Положим в этом равенстве
. Тогда для – l < x< l , то есть для функций с любым периодом 2ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:
f(x) =
+
cos
+ 
sin ), ( 1.25 )
где а0 =
(x)dx; аn= 
x) cos dx; bn= 
x) sin dx (1.26)
Если f(x) – четная, то
, (1.27)
где а0 =
(x)dx; аn= (x) cos dx . (1.28)
Если f(x) – нечетная, то
, (1.29)
где bn=
(x) sin dx. (1.30)
Замечание. Можно от периода 2
перейти к периоду 2, произведя замену переменной по формуле х = 
или х/ = (x–l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2 - периодических функций.
Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на интервале –2 х 2.
Решение:
Рис. 6
График функции f(x) =
x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.
bn=
dx= 
= –
х cos
dx =
= –
cos n + 
= – cos n + 
sin n = – cos n =
=
Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f(x) имеет вид:
f(x) = x =
– 
+ 
– ... = – 
.
Пример 6.
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =
Решение:
Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х =
, т.о. получаем функцию:
f
при 0 < х / < .
при - < х / 0,
(x) =
Найдем коэффициенты Фурье.
а
0 = 
dx / + 
dx / = 3/2.
an=
гдеbn=
(1.21)Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, определенную равенством f(x) = x при – < x .
Решение:
f
(x) имеет период 2, удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье. f(–x) = f(x), т.е. она четная. (См. рис. 3.)По формулам (1.17) и (1.18) найдем коэффициенты Фурье:
а0 =
= = ,аn =
= = - dx ==
cos nx = = Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:
f(x) =
– (cos x + cos3x+ cos5x + ... + cos((2n+1)x) +...) = cos((2n+1)x).На интервале [–; ] ряд сходится к функции x .
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию: f(x)=
Решение:
f(x) имеет период 2. Она удовлетворяет условиям теоремы, т.е. разлагается в ряд Фурье.
f(–х) = – f(x) (см. рис. 4), т.е. f(x) – нечетна, следовательно а0 = 0 и аn= 0.
Рис. 4.
По формуле (1.21) найдем коэффициент Фурье:
b n =
sin nx dx = - cos nx = ( 1–(–1)n ) = b2k+1 =
.Следовательно, ряд Фурье для данной функции имеет вид:
f(x) =
(sin x + sin x + sin x + ... + sin((2k+1)·x ) ), ( k = 0,1,2,... )f(x) =
sin (( 2k + 1) x).На интервале [–; ] ряд сходится к функции f(x), в точках х = 0 и х = – к нулю.
§ 5. Сдвиг основного промежутка.
Вся теория рядов Фурье излагалась для функций, заданных на отрезке [–; ], однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу рассуждения любой другой отрезок длины 2, так как 2 есть период всех функций системы 1, cos x, sin x, cos 2x, …, и справедлива
Теорема 9. Если функция f(x) имеет период 2, то интеграл
от числа а не зависит. Поэтому всю теорию можно перенести с отрезка [–; ] на любой отрезок [а, а+2].Теорема 10. Если f(x) дифференцируема на отрезке [0; 2], то всюду на открытом промежутке (0, 2) будет
f(x) =
+
, где
а0 =
, (1.22)аn=
, (n=1,2,...); (1.23) bn=
, (n=1,2,...); (1.24)ряд сходится в точках x= 0, x= 2, где его сумма равна
( без доказательства)
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на отрезке [0; 2].
Рис. 5.
Решение:
График функции изобразим на рис. 5. Видно, что функция – разрывная. Найдем коэффициенты Фурье. Здесь
а0 =
= ,аn =
, (n=1,2,...),bn =
. Стало быть, при 0 < x < 2π будет x =
.В точках x= 0 и x= 2 сумма S(x) ряда равна .
§ 6. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2ℓ.
Пусть функция f(x) задана и дифференцируема на отрезке [–l; l]. Положим φ(z) =
.Тогда φ(z) будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке [–π; π].Значит к φ(z) применима теория, изложенная выше, поэтому при – π < z< π будет
φ(x) =
+ .Положим в этом равенстве
. Тогда для – l < x< l , то есть для функций с любым периодом 2ℓ разложение в ряд Фурье, когда оно возможно, и формулы для коэффициентов Фурье таковы:
f(x) =
+ cos + sin ), ( 1.25 )где а0 =
(x)dx; аn= x) cos dx; bn= x) sin dx (1.26)Если f(x) – четная, то
, (1.27)где а0 =
(x)dx; аn= (x) cos dx . (1.28)Если f(x) – нечетная, то
, (1.29)где bn=
(x) sin dx. (1.30)Замечание. Можно от периода 2
перейти к периоду 2, произведя замену переменной по формуле х = или х/ = (x–l) и затем вычислять коэффициенты Фурье для 2 - периодических функций.Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на интервале –2 х 2.
Решение:
Рис. 6
График функции f(x) =
x изображен на рисунке 6. Видно, что функция нечетная с периодом 2ℓ = 4, то есть ℓ = 2. Найдем коэффициенты Фурье по формуле 1.30.
bn=
dx= = – х cos dx = = –
cos n + = – cos n + sin n = – cos n = =
Следовательно, по 1.29 разложение в ряд Фурье функции f(x) имеет вид:
f(x) = x =
– + – ... = – .Пример 6.
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =
Решение:
Воспользуемся замечанием. Произведем замену переменой х =
, т.о. получаем функцию:f
при 0 < х / < .
при - < х / 0,
(x) =
Найдем коэффициенты Фурье.
а
0 = dx / + dx / = 3/2.an=