Файл: Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа.pdf

107
Кроме того, необходимо учесть влияние поперечного потока вещества также и на коэффициент восстановления. Численные [
112
] и эксперименталь­
ные [
113
] исследования показывают, что отсос существенным образом влияет на коэффициент восстановления (см. рис.
3.2
). Данные экспериментов и рас­
чётов в литературе (см., например, [
58
]) обобщаются в виде зависимости ???? от параметра проницаемости ????
M
:
????
M
“
????
????
St
M
,
(3.8)
где St
M
— число Стентона при отсутствии вдува или отсоса, но с учётом сжи­
маемости (
2.23
), которое определяется с использование аналогии Рейнольдса:
????
????
“
St
M
????
???? M
“ Pr
´2{3
,
(3.9)
где ????
???? M
— коэффициент трения, учитывающий только влияние сжимаемо­
сти (
2.23
).
При рассмотрении течений с вдувом/отсосом также используется ещё
один параметр проницаемости:
????
1
“
????
????
????
????
{2
(3.10)
В случае асимптотического отсоса параметр проницаемости |????
1
| “ 1
соглас­
но (
3.7
). Связь между всеми рассмотренными выше параметрами проницаемо­
сти можно записать в следующем виде:
????
M
“
????
????
????
Ψ
M
“
????
1
Ψ
????
????
????
(3.11)
Для расчёта коэффициента восстановления на проницаемой поверхности было использовано следующее соотношение [
113
]:
???? “ ????
0
´ 0.05????
M
p1 ` 0.1????
M
q ,
????
0
“ 0.88 p для Pr “ 0.7q,
(3.12)
где ????
0
— коэффициент восстановления для непроницаемой поверхности.
Согласно имеющимся данным, при увеличении уровня отсоса коэффици­
ент восстановления стремится к единице (см. рис.
3.2
). В случае асимптоти­
ческого отсоса (????
M
Æ ´4
) коэффициент восстановления равен единице ???? “ 1,

108
´6
´4
´2 0
2 4
6
????
M
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
????
Расчёт по (
3.12
)
Расчёт [
112
]
Эксперимент [
113
]
Эксперимент [
114
]
Эксперимент [
58
]
Рисунок 3.2 — Влияние вдува и отсоса газа на коэффициент восстановления а адиабатическая температура стенки равна температуре торможения потока
????
˚
????????
“ ????
˚
(см. (
1.7
)).
Изменение расхода определялось из следующего соотношения:
????????
????
“ ????
????
????
ℎ
π
????????.
(3.13)
Таким образом, используя таблицу
1
, и замыкающие соотноше­
ния (
3.1
)–(
3.13
) можно составить замкнутую систему уравнений, описывающих течение в канале с проницаемыми стенками. Система может быть численно проинтегрирована при соответствующих граничных условиях (
2.26
).
3.2 Двумерная модель
В общем случае пористая среда состоит из твёрдой фазы (матрицы)
и одной или нескольких жидких (газообразных) фаз, занимающих пустые пространства (поры) между твёрдыми частицами. Разнообразие и сложность пористых сред объясняют сложность их моделирования. Бетон, керамика, ме­
таллическая пена и спечённые порошки относятся к пористым материалам и отличаются матрицами различного состава и чрезвычайно изменчивых разме­
ров пор. Пористые спечённые порошки, которые использовались в качестве

109
материала образцов при проведении экспериментов [
12
], имеют, например, диа­
метры пор порядка нескольких сотен микрон.
Попытки описать связь между потоком внутри пористого материала и внешним потоком в микроскопическом масштабе сталкиваются со значительны­
ми трудностями: сетки, необходимые для разрешения уравнений Навье-Стокса и для локального расчёта теплопроводности внутри пористой среды требуют чрезвычайно мощных вычислительных средств.
Полноценное описание вдува/отсоса газа в канал через пористые (прони­
цаемые) стенки требует сопряжённого расчёта течения и теплообмена в канале и пористой матрице. Это приводит к следующим задачам:
– расчёт поля течения в канале с учётом потоков массы, количества дви­
жения и энергии на границе с пористой стенкой;
– расчёт поля течения в пористой матрице.
В данной работе ограничимся только первым пунктом: расчётом поля те­
чения в канале.
Рассмотрим способ моделирования, позволяющий учитывать взаимодей­
ствие между потоком и пористой стенкой при наличии вдува/отсоса. Следу­
ющие замечания позволяют указать важные критерии, которые необходимо учитывать при моделировании:
– Расходное воздействие характеризуется одновременным присутствием твёрдой стенки и газа, который вдувается или отсасывается через стен­
ку. Эти два аспекта должны приниматься во внимание используемой моделью.
– Соотношение между характерным масштабом пор и масштабами длины в потоке определяет влияние микроструктуры материала на развитие вихревых структур. В случае, когда это соотношение велико, можно предположить, что необходимо дискретное моделирование стенки. В
противном случае достаточно модели непрерывного типа, чтобы опи­
сать явление вдува/отсоса. В работах [
115
;
116
] рассмотрены модели,
реализующие эти два случая.
В первой модели (модель отверстий) пористая матрица моделируется последовательностью участков стенок, на которых происходит трение между газом и твёрдым телом, и отверстий, через которые вдувается/отсасывается газ (см. рис.
3.3
a). Модель отверстий является макроскопической моделью,
которая позволяет получить общую картину при вдуве/отсосе при условии

110
соблюдения минимального размера пор и создания достаточно мелкой сетки.
Проведённые тестовые расчёты [
115
] показывают, что использование этой мо­
дели довольно затратно с точки зрения вычислений. Кроме того, встаёт вопрос о влиянии дискретизации (колличество ячеек на один участок стенки/поры),
используемой в этой модели, в частности, ввиду грубого перехода от одного граничного условия (стенка) к другому (жидкость), которое может привести к расхождению итерационного процесса. В связи с этим в данной работе исполь­
зовалась вторая модель, описанная ниже.
Модель источников была преложена в работе [
116
] в качестве альтернати­
вы модели отверстий для случая поперечного обтекания пористого цилиндра.
Стенка в этом случае однородна и вдув моделируется серией источников, рас­
положенных в первой пристеночной ячейке сетки (см. рис.
3.3
б).
????
8
????
????
непроницаемая стенка поры
????
8
а)
б)
Рисунок 3.3 — Модели пористой стенки. а — модель отверстий, б — модель источников
Значения источниковых членов для уравнений (
2.27
–
2.29
) определяются из соотношений:
????
????
“ ????
????
,
????
????????????
“ ????
????
|????
????
|,
(3.14)
????
ℎ
“ ????
????
ℎ
????
,
где плотность тока ????
????
определяется из уравнения Дарси-Форхеймера (
3.2
).
Значения скорости ????
????
и удельной энтальпии на стенке ℎ
????
вычисляются в хо­
де интегрирования уравнений (
2.27
–
2.29
) (при отсосе) или задаются явно (при вдуве).
Модель источников ранее была применена для моделирования несжи­
маемого течения над проницаемой пластиной и при поперечном обтекании пористого цилиндра в сочетании с ???? ´ ε моделью турбулентности [
117
]. Ре­
зультаты расчётов сравнивались с экспериментальными профилями скорости

111
и температуры, полученными в [
118
;
119
]. Продемонстрировано хорошее согла­
сование расчётных и экспериментальных данных. Однако, по нашему мнению,
необходимо более детальное обоснование правомерности использования тако­
го подхода.
В дальнейшем для моделирования течения с проницаемыми границами будем использовать модель источников. Модель источников была реализова­
на при помощи UDF.
Для двумерного анализа течения в канале с проницаемыми стенками вос­
пользуемся разработанной в п.
2.2.2
моделью, дополнив её соотношениями для проницаемой стенки (
3.14
).
3.3 Валидация моделей
В первую очередь рассмотрим применимость, описанного в п.
3.2
подхода для решения задач течения с проницаемыми границами.
3.3.1 Течение над проницаемой пластиной
Течение несжимаемого газа
Рассмотрим течение над проницаемой пластиной, экспериментально ис­
следованной в работе [
120
]. Длина пластины составляла ???? “ 2.54 м, в 12-ти сечениях поперёк потока замерены значения продольной скорости и термодина­
мической температуры (для некоторых запусков). Схема расположения сечений показана на рис.
3.4
, численные значения положения сечений приведены в табл.
7
. Для всех случаев массовое воздействие (вдув/отсос) осуществлялось по закону ????
????
“ ????????????????????
На рис.
3.5
показано сопоставление расчётных и экспериментальных про­
филей скорости ω “ ????
????
{????
8
в различных сечениях по длине пластины при отсутствии вдува. Скорость основного потока составляла ????
8
“ 7.9
м{с.

112
C D E F
G
H
I
J
K
L
M
N
????
8
????
????
Рисунок 3.4 — Схема течения над проницаемой пластиной
Таблица 7 — Позиции сечений для течения над проницаемой пластиной (см. рис.
3.4
)
Сечение ????, мм ????{???? Re
????
ˆ 10
´5
Сечение ????, мм ????{???? Re
????
ˆ 10
´5
C
91.4 0.04 0.48
I
985.5 0.39 5.14
D
175.3 0.07 0.91
J
1191.3 0.47 6.21
E
284.5 0.11 1.48
K
1480.8 0.58 7.72
F
411.5 0.16 2.14
L
1798.3 0.71 9.37
G
561.3 0.22 2.93
M
2115.8 0.83 11.0
H
764.5 0.30 3.98
N
2448.6 0.96 12.8 0-C 0-D 0-F 0-G 0-H 0-I 0-J 0-L 0-N 0.5 1.0
ω
0 20 40 60
y, мм
Сечение
C
D
F
G
H
I
J
L
N
Рисунок 3.5 — Профили скорости при отсутствии вдува ????
????
“ 0.0
,
????
8
“ 7.9
м{с. Символы — эксперимент [
120
], сплошные линии — расчёт
Влияние вдува и отсоса на распределение скоростей в пограничном слое показано на рис.
3.6
. Как видно из рисунка, массовое воздействие оказывает существенное влияние на толщину пограничного слоя.
Кроме того, для случая вдува при скорости внешнего потока ????
8
“ 6.1
м{с и ????
????
“ 2.0 ˆ 10
´3
были замерены также профили температур. Сопоставление между экспериментальными и расчётными данными приведены на рис.
3.7

113 0-C 0-D 0-F 0-H 0-J 0-M 0.5 1.0
ω
0 20 40 60 80 100
y, мм
Сечение
C
D
F
H
J
M
а)
0-C 0-D 0-E 0-F 0-G 0-H 0-I 0-J 0-L 0.5 1.0
ω
0 2
4 6
8 10
y, мм
Сечение
C
D
E
F
G
H
I
J
L
б)
Рисунок 3.6 — Профили скорости при вдуве ????
????
“ 7.529 ˆ 10
´3
(а) и отсосе
????
????
“ ´7.588 ˆ 10
´3
(б). ????
8
“ 7.9
м{с. Символы — эксперимент [
120
], сплошные линии — расчёт
0-D 0-E 0-G 0-I 0-K 0-M 0.5 1.0
ω
0 20 40 60
y, мм
Сечение
D
E
G
I
K
M
а)
0-D 0-E 0-G 0-I 0-K 0-M 0.5 1.0
θ
0 20 40 60
y, мм
Сечение
D
E
G
I
K
M
б)
Рисунок 3.7 — Профили скорости (а) и температуры (б) при вдуве

114
Ψ
????8
“
ˆ ????
????
????
???? 0
˙
Re
????
“
p1 ´ 0.25????q
2
p1 ` 0.25????q
0
.2
,
????
????
“
????
p1 ` 0.25????q
0
.2
,
????
????????????
“ 3.5.
(3.15)
На рис.
3.8
приводится сопоставление расчётных данных для проницаемой пластины с результатами, полученными при использовании соотношений (
3.15
).
Согласование данных моделирования с предельным законом трения можно при­
знать вполне удовлетворительным, небольшой разброс объясняется влиянием конечных чисел Рейнольдса.
0.0 1.0 2.0 3.0
????
????
“
2????
????
????
???? 0????
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Ψ
????8
“
ˆ ????
????
????
???? 0
˙
Re
????
Отсос
Вдув
????
????
ˆ 10
´3 0.000 7.529
-7.588 2.000
Рисунок 3.8 — Влияние вдува/отсоса на коэффициент трения на проницаемой пластине. Сплошные линии — расчёт по (
3.15
), символы — двумерный расчёт

115
Течение сжимаемого газа
Поскольку основной целью данного исследования является энергораз­
деление, то необходимо рассмотреть применимость предложенного метода моделирования также и в течениях сжимаемого газа.
В работе [
121
] экспериментально исследовано течение над проницаемой пластиной в плоском сверхзвуковом профилированном сопле M
????????
“ 2.5
. Высота критического сечения составляла ℎ
????????
“ 28.6
мм, длина проницаемой пласти­
ны — ???? “ 678.4 мм. В шести сечениях поперёк потока (см. рис.
3.9
) измерялись профили продольной скорости при различных значениях вдува.
A CE G I K
????
????
????
˚
0
“ 3.04
атм
????
˚
0
“ 20
˝
C
M “ 2.5
Рисунок 3.9 — Схема течения над проницаемой пластиной в сверхзвуковом сопле
Вдув осуществлялся по закону ????
????
“ ????????????????????
. Всего рассматривалось четыре случая: ????
????
“ 0;
1.3 ˆ 10
´3
; 2.4 ˆ 10
´3
и 3.6 ˆ 10
´3
. На рис.
3.10
приведено сопоставление расчётных и экспериментальных профилей скорости для всех случаев. Как видно из рисунков получено удовлетворительное совпадение дан­
ных. Некоторое различие в распределении скорости наблюдается для сечений
????, ????, ????
и непосредственно вблизи стенки для случаев ????
????
“ 2.4 ˆ 10
´3
и
3.6 ˆ 10
´3
. Это может быть объяснено положением системы скачков уплотне­
ния (см. рис.
3.11
). С увеличением уровня вдува увеличивается интенсивность скачка уплотнения на входной кромке проницаемой пластины.
По аналогии с предыдущим параграфом, влияние вдува на величину по­
верхностного трения оценивалось на основе теории предельных относительных законов турбулентного пограничного слоя. Уравнение импульсов при течении сжимаемого газа над плоской проницаемой пластиной записывается в следу­
ющем виде [
58
]:
????Re
˚˚
????????
“ Re
????
pΨ
Σ
` ????q
????
???? 0 2
(3.16)