Файл: Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа.pdf

37
где ????
0
— давление в начальном сечении. Расчёты по (
2.10
) показывают,
что убывание приведённой скорости λ приводит к росту статического давле­
ния. Как известно [
54
], рост давления в сверхзвуковом потоке может привести к возникновению скачков уплотнения. Поэтому в дальнейшем будем рассмат­
ривать решения только для равномерных или ускоряющихся течений.
Из баланса энергии для до- и сверхзвукового потоков можно вычислить изменение энтальпии торможения дозвукового потока:
η
????
”
ℎ
˚
????
ℎ
˚
0
“ 1 ´ ???? pη ´ 1q .
(2.11)
Кроме того, если задаться начальным значением энтальпии торможения
ℎ
˚
0
, то можно перейти к разности энтальпий или, в случае совершенного газа, и принимая равенство теплоёмкостей, разности температур торможения:
Δ????
˚
“ ????
˚
0
pη ´ 1q .
(2.12)
В работе [
30
] также показано, что оптимальным является сверхзвуковой канал, в котором поддерживается постоянная приведённая скорость. В этом случае
1
????
????
????????
????????
“
„ ????
????
pλ
2
` 1q???? pλ
2
, ηq
4p1 ` ????qη
`
????λ
2
???? ` 1
ȷ ˆ
1 ´
???? ´ 1
???? ` 1
λ
2
˙
´1
(2.13)
Если при интегрировании уравнения (
2.1
) использовать соотноше­
ние (
2.13
), то на плоскости pλ
2
, ηq решение будет выглядеть вертикальной линией. Горизонтальное положение будет зависеть от начальной скорости λ
0
, а длина определяться соотношением (
2.9
). Таким образом соотношение (
2.9
) опре­
деляет предельное значение η для заданных значений ????, ????, ???? и λ. На рис.
2.3
показаны результаты расчётов для воздуха (Pr “ 0.7, ???? “ 1.4) и водород-ксе­
ноновой смеси (Pr “ 0.2, ???? “ 1.67) в зависимости от соотношения массовых расходов, кроме изменения относительной энтальпии (η и η
????
) на рисунок также нанесена шкала разности температур торможения, вычисленных по соотноше­
нию (
2.12
) при ????
˚
0
“ 15
°C. Для удобства дальнейшего сравнения на рисунке использовано число Маха, связанное с приведённой скоростью соотношением
M
2
“
2
????`1
λ
2 1 ´
????´1
????`1
λ
2
(2.14)
Как видно из рисунка, существенное влияние на величину энергоразде­
ления оказывают число Маха и вид рабочего тела, а точнее, коэффициент

38 0
2 4
6 8
10 1{????
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
η
η
????
M
1.5 3.0 6.0
´60
´40
´20 0
20 40 60
Δ????
˚
,
˝
C
Δ????
˚
????
,
˝
C
Pr “ 0.7
Pr “ 0.2
Рисунок 2.3 — Предельные значения энергоразделения для каналов M “ ????????????????????
(λ “ ????????????????????). Разности температур торможения вычислены для ????
˚
0
“ 15
°C
восстановления, что напрямую следует из (
1.7
). Кроме того, можно сделать вывод о том, что при соотношении расходов 1{???? ă 1 теплообменный аппарат эффективнее работает на охлаждение дозвукового потока, а при 1{???? ą 1 — на нагревание сверхзвукового потока.
2.2 Математические модели устройства
Для детального исследования процессов, протекающих в устройстве га­
зодинамического энергоразделения (см. рис.
2.4
), воспользуемся одномерной и двумерной (осесимметричной) математическими моделями [
55
]. Одномерная модель позволяет оперативно и с достаточной степенью точности производить расчёты устройства и получать распределения основных параметров (скорость,
давление, температура и т. д.) вдоль оси канала. При этом предполагается, что все параметры равномерно распределены по сечению.

39
В свою очередь, двумерная модель позволяет получить более детальную информацию о процессах происходящих внутри устройства. Однако использо­
вание таких моделей требует значительно б´ольших временных затрат, как на этапе построения модели, так и на этапе получения решения.
T
∗
0
P
∗
0
m
2
T
∗
h
T
∗
c
T
∗
0
P
∗
0
m
1
ôîðêàìåðà
ñîïëî
ñòåíêà
äîçâóêîâîé êàíàë
ñâåðõçâóêîâîé êàíàë
äèôôóçîð
2 1
Рисунок 2.4 — Схема устройства газодинамического энергоразделения.
1 — дозвуковой канал; 2 — сверхзвуковой канал
2.2.1 Одномерная модель
В случае одномерного моделирования можно выделить две субмодели: мо­
дель течения газа в канале и модель распространения тепла в стенке. Ниже последовательно рассмотрены каждая из них.
Модель течения газа в канале
Для модели течения газа воспользуемся хорошо известным методом
Шапиро-Хоторна [
56
]. Метод позволяет анализировать течения при наличии различных внешних воздействий на поток. Идея метода состоит в том, что дифференциал каждой из рассматриваемых величин (скорости, давления,
температуры и т.д.) выражается через линейную комбинацию независимых элементарных факторов воздействия (таких, как трение, изменение площади

40
поперечного сечения, подвод тепла и т.д.); коэффициенты этих линейных комби­
наций, называемые «коэффициентами влияния», выражаются в виде функций одной переменной (числа Маха).
Поскольку этот метод будет использоваться нами в дальнейшем, рассмот­
рим наиболее общие типы течений, включающие в себя случаи влияния трения о стенки (????
????
), изменения площади поперечного сечения (????????), торможения потока погруженными в него телами (????????
????
), химических реакций или подво­
да/отвода тепла (????????), перемешивания и фазовых превращений впрыскиваемых веществ (????????
????
) и изменений молекулярного веса (????ℳ) (вызванных химически­
ми реакциями или перемешиванием). На основе балансовых соотношений для выделенного элементарного объёма и привлекая уравнение состояния совершен­
ного газа можно получить следующее уравнение для изменения числа Маха вдоль канала:
????M
2
M
2
“ ´
2
`1 `
????´1 2
M
2
˘
1 ´ M
2
????????
????
`
1 ` ????M
2 1 ´ M
2
????????
????????
????
????
`
`
????M
2
`1 `
????´1 2
M
2
˘
1 ´ M
2
„
4????
????
????????
????
ℎ
`
2????????
????
????????????M
2
`
´
1 ´
????
????
????
¯
????????
????
????
ȷ
`
`
2
`1 ` ????M
2
˘ `1 `
????´1 2
M
2
˘
1 ´ M
2
????????
????
????
´
1 ` ????M
2 1 ´ M
2
????ℳ
ℳ
´
????????
????
(2.15)
Уравнения для остальных переменных (давление, температура и т.д.) мо­
гут быть получены при использовании коэффициентов влияния из табл.
1
Для рассматриваемой конфигурации устройства (см. рис.
2.4
) внешними воздействиями на поток будут:
– геометрическое ????????;
– тепловое ????????
????
;
– воздействие трением ????
????
Необходимо записать дополнительные соотношения, связывающие внеш­
ние воздействия с параметрами потока. Количество переданного тепла:
????????
????
“ 4????
????
????
????
ℎ
????????,
????
????
“ α p????
????
´ ????
˚
????????
q ,
α “
Nuλ
????
ℎ
(2.16)
Значения числа Нуссельта Nu и коэффициента гидравлического сопро­
тивления ξ определялись по-разному для внутреннего (цилиндрического) и внешнего (кольцевого) каналов [
57
]:

41
Таблица
1
—
Коэффициенты влияния
[
56
]
????????
????
????????
????????
????
????
4
????
????
????????
????
ℎ
`
2
????????
????
????
????????
M
2
`
`
1
´
????
????
????
˘
????????
????
????
????????
????
????
????
ℳ
ℳ
????????
????
????
M
2
M
2
´
2
p
1
`
????
´
1 2
M
2
q
1´
M
2 1
`
????
M
2 1
´
M
2
????
M
2
p
1`
????
´
1 2
M
2
q
1
´
M
2 2
p
1
`
????
M
2
qp
1`
????
´
1 2
M
2
q
1´
M
2
´
1
`
????
M
2 1
´
M
2
´
1
????????
????
´
1 1´
M
2 1
1
´
M
2
????
M
2 2
p
1´
M
2
q
1
`
????
M
2 1´
M
2
´
1 1
´
M
2 0
????????
????
p????
´
1
q
M
2 1
´
M
2 1
´
????
M
2 1
´
M
2
´
????
p????
´
1q
M
4 2p
1
´
M
2
q
´
p????
´
1
q
M
2
p
1
`
????
M
2
q
1´
M
2
p????
´
1q
M
2 1´
M
2 0
????
ρ
ρ
M
2 1
´
M
2
´
1 1´
M
2
´
????
M
2 2p
1
´
M
2
q
´
p????
`
1q
M
2 1´
M
2 1
1´
M
2 0
????????
????
????
M
2 1
´
M
2
´
????
M
2 1´
M
2
´
????
M
2
r
1`p
????
´
1q
M
2
s
2p
1
´
M
2
q
´
2????
M
2
p
1`
????
´
1 2
M
2
q
1´
M
2
????
M
2 1´
M
2 0

42
– Цилиндрический канал (полностью развитое турбулентное течение)
Nu
????????????????
“
ξ
8
Re Pr
1 ` 12.7
b
ξ
8
´
Pr
2{3
´1
¯
«
1 `
ˆ ????
ℎ
????
˙
2{3
ff
;
(2.17)
ξ “ p1.8 log
10
Re ´ 1.5q
´2
(2.18)
– Кольцевой канал (полностью развитое турбулентное течение)
Nu
????????????????
“
ξ
????????????
8
Re Pr
1 ` 12.7
b
ξ
????????????
8
´
Pr
2{3
´1
¯
«
????
1
`
ˆ ????
ℎ
????
˙
2{3
ff
????
????????????,????
;
(2.19)
????
1
“ 1.07 `
900
Re
´
0.63 1 ` 10 Pr
, ???? “
????
????
????
????
, ????
????????????,????
“ 0.75????
´0.17
;
ξ
????????????
“ p1.8 log
10
Re
˚
´ 1.5q
´2
, Re
˚
“ Re
`1 ` ????
2
˘ ln ???? ` `1 ` ????
2
˘
p1 ´ ????
2
q ln ????
(2.20)
Поскольку в расчётах для дозвукового канала (кольцевой канал) значения массового расхода варьировались в широких пределах, то для расчёта коэффи­
циентов теплоотдачи использовались также соотношения и для ламинарного течения [
57
]. Переключение между режимами осуществлялось по следующе­
му правилу:
Nu “ p1 ´ γq Nu
????????????
` γNu
????????????????
,
(2.21)
γ “
Re ´ Re
????????
1
Re
????????
2
´ Re
????????
1
,
где
Re
????????
1
“ 2300,
Re
????????
2
“ 10 4
(2.22)
Коэффициент трения определялся из следующего соотношения с учётом поправки на сжимаемость [
58
]:
????
????
“ Ψ
M
ξ
4
, Ψ
M
“
¨
˝
arctg M
b
????
????´1 2
M
b
????
????´1 2
˛
‚
2
(2.23)
Коэффициент восстановления температуры рассчитывался при помощи соотношения Ротта [
25
]:
???? “ Pr
????
`
????
????
2
pPr ´ Pr
????
q ???? ` 7 p1 ´ Pr
????
q c ????
????
2
(2.24)

43
Таблица 2 — Значения функции ????, необходимой для вычисления коэффициента восстановления (
2.24
), от Pr{Pr
????
[
25
]
Pr{Pr
????
????
Pr{Pr
????
????
Pr{Pr
????
????
0.5 123.8 5.
47.5 100.
10.9 0.72 108.1 10.
34.3 200.
7.7 1.44 82.2 20.
24.5 1000.
3.4 2.0 71.6 30.
20.1
Значения функции ???? как отношения Pr{Pr
????
приведены в табл.
2
Закон изменения площади поперечного сечения задавался аналитической зависимостью ???? “ ???? p????q.
Модель стенки
Для моделирования распространения тепла использовалось решение од­
номерной задачи теплопроводности для цилиндрической стенки [
59
]:
????
????
“ ???? p????
˚
????????1
´ ????
˚
????????2
q ,
???? “ π
ˆ
1
α
1
????
????
`
1 2λ
????
ln
????
????
????
????
`
1
α
2
????
????
˙
´1
,
(2.25)
где индекс 1 относится к дозвуковому потоку, а 2 — к сверхзвуковому.
Граничные условия
Таким образом, имеется замкнутая система уравнений (
2.15
)–(
2.25
), опи­
сывающих течение и теплообмен в системе коаксиальных каналов, разделённых теплопроводной стенкой. Граничными условиями для этой системы будут сле­
дующие соотношения:
M “ M
0
, ???? “ ????
0
, ???? “ ????
0
, ρ “ ρ
0
, ???? “ ????
0
при ???? “ 0.
(2.26)
Заметим, что предложенная модель не ограничена никакими допущени­
ями о законах изменения площадей каналов (за исключением гладкости), т.е.
могут быть использованы любые вариации, необходимо лишь использовать под­
ходящие законы трения и теплообмена для соответствующих каналов.

44 2.2.2 Двумерная модель
Двумерная модель основана на уравнениях Навье-Стокса осреднённых по
Рейнольдсу (RANS), уравнении энергии (как для жидкости, так и для твёрдого тела) и уравнениях соответствующей модели турбулентности. Дискретизация уравнений проводилась на основе метода контрольного объёма при исполь­
зовании противопоточных схем второго порядка [
60
]. При построении сетки использовался препроцессор ANSYS ICEM CFD. Для моделирования исполь­

45
проанализированы результаты расчётов при использовании четырёх моделей турбулентности:
– модели семейства ???? ´ ε
– Standard (ske) [
61
]
– Realizable (rke) [
62
]
– модели семейства ???? ´ ω
– Standard (skw) [
63
]
– SST [
64
]
Кроме того, для уравнения энергии турбулентное число Прандтля за­
давалось как постоянное значение, так и на основе аналитической модели
Кейса-Кроуфорда [
65
]:
Pr
????
´1
“
0.5
Pr
????8
` 0.3Pe
????
c
1
Pr
????8
´ p0.3Pe
????
q
2
„
1 ´ exp
´1 0.3Pe
????
?
Pr
????8
ȷ
(2.30)
Модель (
2.30
) была реализована в виде функций определяемых пользова­
телем (UDF) на языке C.
Стоит отметить, что значение турбулентного числа Прандтля для ядра потока Pr
????8
является параметром данной модели. Рекомендованное значение
Pr
????8
“ 0.85
было получено исходя из анализа логарифмического участка теп­
лового пограничного слоя [
66
]. Однако, в работе [
66
] показано, что диапазон изменения Pr
????8
для воздуха составляет 0.73–0.92.
Граничные условия
На входной границе сверхзвукового канала (вход в сопло) задавались па­
раметры торможения ????
˚
0
и ????
˚
0
, на выходной границе — статическое давление равное атмосферному. Для дозвукового канала на входе задавался массовый расход как доля от расхода по сверхзвуковому каналу.